8.2 两直线的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕两直线位置关系高考核心考点，涵盖平行垂直判定、距离公式及对称问题，按“基础梳理-诊断自测-考点突破”逻辑架构知识，通过知识清单夯实基础，自主诊断查漏补缺，命题点分类讲解配合学霸笔记方法指导与跟踪训练，系统构建复习体系。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用“实例探究-规律总结-应用迁移”教学法，如对称问题中引导学生观察点线对称本质，推理坐标关系培养几何直观与推理意识。设置基础、提升、综合分层练习，结合教材改编题与模拟真题，确保高效突破难点，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

第二节　两直线的位置关系 知识清单 1.两条直线平行和垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________________； ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔________________； ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 剖析　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形． 2．两条直线相交 (1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝B2y＋C2＝的公共点的坐标与方程组的解一一对应； (2)相交⇔方程组__________，交点坐标就是方程组的解； (3)平行⇔方程组无解； (4)重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝________________． 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝____________． (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝________________． (3)两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝________． 剖析　利用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式． 【常用结论】 1．两个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0； (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 2．与对称问题相关的六个结论 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)； (3)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)； (5)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) 2．(人教A版选修一P67习题T3改编)已知两点A(7，－4)，B(－5，6)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　) A．6x－5y＋1＝0 B．6x－5y－1＝0 C．5x－6y－1＝0 D．6x－5y＋5＝0 3．(人教A版选修一P72练习T3改编)直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程为________________． 4．(人教A版选修一P77练习T3改编)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　两条直线的平行与垂直 例1 (1)(2026·驻马店模拟)经过点(－2，1)且与直线x＋3y－2＝0垂直的直线的方程为(　　) A．3x－y＋5＝0 B．3x－y＋7＝0 C．3x＋y＋5＝0 D．x＋3y＋5＝0 (2)(2026·长沙模拟)已知直线l1：(2a＋1)x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋ay＋2＝0，则“a＝1或a＝0”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种： ①先求斜率(斜率存在且不为零时)，再用点斜式求直线方程，此类问题要注意斜率不存在或者为0的情况． ②与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，再代入点A的坐标求出参数m即可； 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再代入点A的坐标求出参数m即可． (2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P67T8(1))经过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程为________________． (2)(衔接·人教A版选修一P58T9)已知点M(2，2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为________________． 命题点二　距离问题 例2 (1)(2026·湛江模拟)在直角坐标系xOy中，点(2，0)到直线x－2y＋3＝0上动点的最小距离为(　　) A．1 B． C．2 D． (2)若直线x－y－2＝0与直线x－y＋a＝0(a>0)之间的距离为2，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行直线方程中x，y的系数化为相同的形式)． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P80习题T14)已知A(－3，－4)，B(6，3)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　) A．－ B．－ C．－或－ D．或 (2)(衔接·人教A版选修一P102复习参考题T4)平行于直线x－y－2＝0，且与它的距离为直线方程为________________． 命题点三　对称问题 考向1　中心对称 例3 直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是(　　) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：方法1：在已知直线上取一点，求出它的对称点，再利用两对称直线平行求得． 方法2：在已知直线上取两点，求出它们的对称点，再利用两对称点坐标求得． 　跟踪训练　直线3x－2y＝0关于点(a，0)对称的直线方程为3x－2y－2＝0，则a＝(　　) A．3 B． C．－3 D．－ 考向2　轴对称 例4 (1)直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程为(　　) A．7x－y－22＝0 B．7x＋y＋22＝0 C．6x－y＋22＝0 D．6x＋y＋22＝0 (2)已知两定点A(0，0)，B(2，－1)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A． B． C．3 D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)点关于直线对称， 若P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0，对称，则有其中B≠0，x1≠x2. (2)直线关于直线对称． ①若直线与对称轴平行，则可在直线上取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用直线的点斜式方程求解； ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后取直线上一点，求该点关于对称轴的对称点，最后由直线的两点式方程求解． 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P68习题T13改编)一条光线从点P(6，4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋2＝0 第二节　两直线的位置关系 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)k1＝k2　(2)k1·k2＝－1 2．(2)有唯一解 3．(1) (2)　(3) 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．解析：易知AB的中点坐标为(1，1)，kAB＝＝－，即AB的垂直平分线的斜率为，故所求直线方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.故选B. 答案：B 3．解析：联立解得直线经过原点可设直线方程为y＝kx，则－k＝－2，解得k＝，故直线l的方程为y＝x. 答案：y＝x 4．解析：∵点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，∴＝1，解得C＝5或15. 答案：5或15 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)设与直线x＋3y－2＝0垂直的直线方程为3x－y＋c＝0，将点(－2，1)代入，可得3×(－2)－1＋c＝0，解得c＝7，可得所求直线方程为3x－y＋7＝0，故B正确．故选B. (2)直线l1，l2平行或重合的充要条件是(2a＋1)a＝(a＋2)a，所以a＝0或a＝1.将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x＋y＋1＝0，l2：3x＋y＋2＝0，易知l1∥l2；将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x＋1＝0，l2：2x＋2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去． 综上所述，“a＝1或a＝0”是“l1∥l2”的必要不充分条件．故选B. 答案：(1)B　(2)B 跟踪训练　解析：(1)经过点A(3，2)且与直线4x＋y－2＝0平行的直线的斜率为－4，所求直线方程为y－2＝－4(x－3)．即4x＋y－14＝0. (2)设P(x，0)，∴kMP＝，kNP＝，∵∠MPN为直角，∴kMP·kNP＝·＝－1，∴x＝1或x＝6，∴P(1，0)或(6，0)． 答案：(1)4x＋y－14＝0　(2)(1，0)或(6，0) 例2　解析：(1)直线x－2y＋3＝0上的点(x，y)到点(2，0)的距离的最小值为点(2，0)到直线x－2y＋3＝0的距离d＝＝.故选D. (2)由题意知＝2，又∵a>0，∴a＋2＝4，解得a＝2.故选B. 答案：(1)D　(2)B 跟踪训练　解析：(1)由题意得＝，所以|3a＋3|＝|6a＋4|，所以27a2＋30a＋7＝0，解得a＝－或a＝－.故选C. (2)设所求直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，则直线l与直线x－y－2＝0间的距离d＝，由题意得＝2，解得m＝2或m＝－6.因此，与直线x－y－2＝0平行，且与它的距离为2的直线方程是x－y＋2＝0或x－y－6＝0. 答案：(1)C　(2)x－y＋2＝0或x－y－6＝0 例3　解析：∵直线l：y＝2x＋3，∴A(0，3)，B(－1，1)在此直线上，∵A(0，3)关于点P(2，3)的对称点为C(4，3)，B(－1，1)关于点P(2，3)的对称点为D(5，5)，∴C，D所在直线的斜率为k＝＝2，∴直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程为y－3＝2(x－4)，即2x－y－5＝0.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：在直线3x－2y＝0上任取一点(2，3)，设点(2，3)关于点(a，0)对称的点坐标为(x0，y0)，则所以x0＝2a－2，y0＝－3，代入直线3x－2y－2＝0得a＝. 答案：B 例4　解析：(1)联立解得则交点坐标为P(－，－)．取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，设点A关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为A′(x′，y′)，则由kAA′·kl＝－1，且线段AA′的中点在直线l上， 得解得故所求直线过点P(－，－)，(－3，－1)．所以所求直线方程为y＋＝(x＋)，即7x＋y＋22＝0.故选B. (2)取点A关于直线x－y＋1＝0的对称点A′，设A′(m，n)，则解得即A′(－1，1)，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝＝，当且仅当A′，P，B三点共线时等号成立．故选D. 答案：(1)B　(2)D 跟踪训练　解析：由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2，0)和P(6，4)关于x轴的对称点M(6，－4)，其直线方程为＝，即y＝－x＋2.故选A. 答案：A 学科网（北京）股份有限公司 $