2027届高考数学一轮复习讲义圆锥曲线统一定理81个 精品讲义【图文并茂】

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线核心考点，覆盖统一定义、焦半径、焦点弦等81个定理，按“定义-性质-应用”逻辑分专题系统架构，通过定理梳理、动态演示、问题探究、真题训练四环节，帮助学生构建知识网络，突破轨迹方程、定值定点等难点。 讲义创新融合动态直观与逻辑推理，如“焦点弦倒数和定值”定理通过GSP动态验证数量关系，培养数学思维与几何直观，设置基础巩固与能力提升分层问题，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题能力与应考技巧。

圆锥曲线统一定理81个精品讲义 目　录 ( 全国数学研究中心版权所有 圆锥曲线专题： 第 1 页 ， 共 82 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 17．焦弦直线，中轴分比 18．对偶焦弦，比和定值 四、相交之弦，蝴蝶特征 19．横点交弦，竖之蝴蝶 20．纵点交弦，横之蝴蝶 五、切点之弦，相关问题 21．主轴分割，等比中项 22．定点割线，倒和两倍 23．定点割线，内外定积 24．主轴交点，切线平行 六、定点之弦，张角问题 25．焦点之弦，张角相等 26．定点之弦，张角仍等 27．对称之点，三点共线 28．焦点切点，张角相等 29．倾角互补，连线定角 七、动弦中点，相关问题 30．动弦中点，斜积定值 31．切线半径，斜积仍定 32．动弦中垂，范围特定 33．定向中点，轨迹直径 34．定点中点，轨迹同型 八、向量内积，定值问题 35．焦弦张角，内积定值 36．存在定点，内积仍定 九、其它重要性质 37．光线反射，路径过焦 38．切线中割，切弦平行 39．直周之角，斜过定点 40．正交半径，斜切定圆 41．直径端点，斜积定值 42．垂弦端点，交轨对偶 43．准线动点，斜率等差 44．焦点切线，距离等比 45．共轭点对，距离等积 46．正交中点，连线定点 47．顶点切圆，切线交准 48．平行焦径，交点轨迹 49．内接内圆，切线永保 50．切线正交，顶点轨迹 51．斜率定值，弦过定点 52．直线动点，切弦定点 53．与圆四交，叉连互补 54．交弦积比，平行方等 55．补弦外圆，切于同点 56、焦点切长，张角相等 57．斜率积定，连线过定 58．斜率定和，连线过定 59．相曲线似，截割等长 60．主轴交点 等比中项 61．定点之弦 斜率定积 62．焦点焦弦，张角90度 63．焦弦中点，准线张角 64．顶点切线，斜率定积 65．正交弦积，倒和定值 66．焦弦准线，主轴正交 67．焦点准线，圆过定点 68．定点定线，圆过定点 69．对称交弦，斜率定和 70．b轴连线，截距定积 71．顶点垂线，交点轨迹， 72．到点定比，轨迹是圆 73、垂直相交，面积和差 74. 焦点准线，斜率等差1 75. 焦点准线，斜率等差2 76. 平行切线，平分线段 77. 两弦定向，相交定积 78. 定向动弦，斜率定积 79. 端点动弦，斜率定差 80．蝴蝶定理，一般情形 81．焦半相交，斜率定积 1． 距离和差，轨迹椭双 动态展示超链接 定理1 定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆。 已知定点在半径为圆心的圆内，是圆上一动点 ，是的中点, 的垂直平分线与 交于点，则点P的轨迹是椭圆。 定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线。 已知定点在半径为圆心的圆外，是圆上一动点 ，是的中点, 的垂直平分线与 交于点，则点P的轨迹是双曲线。 定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线。 问题探究1 已知动点在圆A：上运动，定点，则 （1）线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ （2）若，直线过点与直线的交于点，且，则点的轨迹又是什么？ 2． 距离定比，三线统一 动态展示超链接 定理2 动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。 动点P到定点与到定直线的距离之比为小于1的常数，则动点P的轨迹是椭圆。 动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。 动点P到点与到定直线的距离之比为大于1的常数，则动点P的轨迹是双曲线。 动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线。 动点P到点与到定直线的距离之比为等于1的常数，则动点P的轨迹是抛物线。 问题探究2 已知定点，定直线：，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点P，满足，请讨论点P的轨迹类型。 3．切线焦径，准线作法 动态展示超链接 定理3 椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线。 在椭圆C：上有动点P，过P点作切线。过右焦点(C,0)作与右焦半径垂直的直线，与切线相交于点Q。则点Q的轨迹是椭圆的右准线。 双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线。 在双曲线C：上有动点P，过P点作切线。过右焦点(C,0)作与右焦半径垂直的直线，与切线相交于点Q。则点Q的轨迹是双曲线的右准线。 抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线。 在抛物线C：上有动点P，过P点作切线。过焦点作与焦半径垂直的直线，与切线相交于点Q。则点Q的轨迹是抛物线之准线。 问题探究3 已知两定点，动点满足条件，另一动点Q满足，求动点Q的轨迹方程。 4．焦点切线，射影是圆 动态展示超链接 定理4 焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆。 过椭圆上一点P作椭圆的切线，则焦点在切线上的射影Q的轨迹圆. 焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆。 过椭圆上一点P作椭圆的切线，则焦点在切线上的射影Q的轨迹圆. 焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）。 问题探究4 已知两定点，动点满足条件，动点Q满足，，求动点Q的轨迹方程。 5． 焦半径圆，切于大圆 动态展示超链接 定理5 以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆（简称“大圆”）与椭圆内切，）相切。 椭圆上一动点A，以AF2为直径作圆，则圆与圆内切。 以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此圆（简称“小圆”）与双曲线外切）外切。 双曲线上一动点A，以AF2为直径作圆，则圆与圆外切。 以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）相切。 抛物线上一动点P，以PF为直径作圆，则圆与y轴（此圆无穷大）相切。 问题探究5 1．已知动点P在椭圆上，F为椭圆之焦点，，探究是否为定值 2．已知点P在双曲线上，F为双曲线之焦点，，探究是否为定值 6． 焦点弦圆，准线定位 动态展示超链接 定理6 椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离。 已知椭圆C:，过椭圆左焦点的直线与椭圆交于点，则以AB为直径的圆与该椭圆准线相离 双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交。 已知双曲线C:，过双曲线右焦点的直线l与双曲线交于点，则以AB为直径的圆与该双曲线的准线相交。 抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切。 在抛物线中，过焦点F作直线l交抛物线于两点，求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 问题探究6 过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点， （1）求点P的轨迹方程； （2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 7．焦三角形，内心轨迹 动态展示超链接 定理7 椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆。 双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过双曲线实顶点的两条平行且垂直于实轴的开线段(长为2b)。 抛物线焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原抛物线焦点为顶点的抛物线。 问题探究7 1．已知动点P在椭圆上，为椭圆之左右焦点，点为的内心，试求点的轨迹方程。 2．已知动点P在双曲线上，为双曲线之左右焦点，圆是的内切圆，探究圆是否过定点，并证明之。 8．焦点半径，倒和定值 动态展示超链接 定理8 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。 椭圆 为过椭圆左焦点F1的直线与椭圆交于两点，则=定值 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。 双曲线为过双曲线左焦点F1的直线与双曲线交于两点，则 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。 抛物线， 为过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点，则 。 问题探究8 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使恒成立。并由此求的最小值。（借用柯西不等式） 9．正交焦弦，倒和定值 动态展示超链接 定理9 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数。 过椭圆左焦点的两条相互垂直的直线分别交椭圆于A、B和C、D。则定值。 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数。 过双曲线左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线于A、B和C、D。则定值。 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数。 过抛物线焦点的两条相互垂直的直线分别交抛物线于A、B和C、D。则定值。 问题探究9 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，且，是否存在实常数，使恒成立。并由此求四边形面积的最小值和最大值。 10．焦弦中垂，焦交定长 动态展示超链接 定理10 设椭圆焦点弦AB的中垂线与长轴的交点为D，则与之比是离心率的一半。 若直线过椭圆的左焦点交椭圆于A、B两点，AB的中垂线交长轴于点D，则 设双曲线焦点弦AB的中垂线与焦点所在轴的交点为D，则与之比是离心率的一半若直线过双曲线的焦点交双曲线于A、B两点，AB的中垂线交长轴于点D，则 设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴的交点为D，则与之比是离心率的一半。 若直线过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，AB的中垂线交长轴于点D，求证 问题探究10 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，中垂线交轴于点D，是否存在实常数，使恒成立。 11．焦弦投影，连线截中 定理11 椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段． 过椭圆焦点的直线与椭圆交于两点，点在准线上的投影与点的连线交轴为点，若准线交轴的交点为，则为的中点。 双曲线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段． 过双曲线焦点的直线与双曲线交于两点，点在准线上的投影与点的连线交轴为点，若准线交轴的交点为，则为的中点。 抛物线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，在准线上的投影与的连线交轴为点，准线于轴的交点为，证为的中点。 问题探究11 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，直线交轴于点G，点在直线上的射影分别是，设直线的交点为D，，是否存在实常数，使恒成立。 12．焦弦长轴，三点共线 定理12 椭圆焦点弦端点A、B与长轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线。 椭圆的焦点弦AB的端点A，B与另一顶点D分别连线交相应准线于N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线。 双曲线焦点弦端点A、B与实轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线。 双曲线的焦点弦AB的端点A，B与另一顶点D分别连线交相应准线于N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线。 抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（D在无穷远处）连线与准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线。 抛物线的焦点弦AB的端点A，B与另一顶点D分别连线交相应准线于N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线。 问题探究12 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点， 分别为椭圆的左右顶点，动点满足试探究点的轨迹。 13．对焦连线，互相垂直 定理13 椭圆左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则 。 过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点A、B，过右顶点D分别作过A、B两点的直线与椭圆的左准线相交于N、M两点，则 双曲线左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则。 过双曲线左焦点的直线与双曲线相交于点A、B，过右顶点D分别作过A、B两点作直线，与双曲线的左准线相交于M、N两点，则。 抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（无穷远处）连线交相应准线于点N、M，则 问题探究13 已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线交双曲线于A，B两点， 分别为双曲线的左右顶点，动点满足动点满足试探究是否为定值。 14．相交焦弦，轨迹准线 定理14 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线（本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移。 椭圆的任意两左焦点弦端点端点的连线的交点的轨迹是一定直线。 双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线. 双曲线的任意两右焦点弦端点的连线的交点的轨迹是一定直线。 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 . 抛物线的任意两焦点弦端点的连线的交点的轨迹是一定准线。 问题探究14 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线，直线AD交直线于点P，试判断点P、B、C是否三点共线，并证明之。 15．相交焦弦，角分垂直 定理15 椭圆的任意两焦点弦AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角 双曲线的任意两焦点弦 AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角 抛物线的任意两焦点弦 AB，CD端点所在直线AC和BD交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角 问题探究15 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线，直线AD交直线于点P，试证明。 16．定点交弦，轨迹直线 定理16 过椭圆长轴直线上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 过双曲线实轴直线上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 过抛物线对称轴上任意一定点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 问题探究16 已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线， 17．焦弦直线，中轴分比 定理17 椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值。 直线过椭圆左焦点，交曲线于A，B，交y轴于点，设，且定值为。 双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值。 直线过双曲线左焦点，交曲线于A，B，交y轴于点，设， 过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值。 直线过抛物线左焦点，交曲线于A，B，交y轴于点，设 问题探究17 已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与轴于点，试求的值。 18．对偶焦弦，比和定值 定理18 过椭圆上任一点A作两焦点的焦点弦AC和AB，其共线向量模的比之和为定值．即。则 过双曲线上任一点A作两焦点的焦点弦AC和AB，其共线向量模的比之和为定值．即。 （注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差） 由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即 ,则 问题探究18 已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：。⑴求椭圆的方程；⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值。 19．横点交弦，竖之蝴蝶 定理19 过椭圆长轴所在直线上任意一点T（）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段NM（）相等，即NT＝TM 。 过双曲线实轴所在直线上任意一点T（）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段NM（）相等，即NT＝TM 过抛物线对称轴上任意一点T（）的两条弦AB和CD端点的直线AC和BD截过T点的垂线段NM（）相等，即NT＝TM 问题探究19 已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线 ，点在抛物线上，且，是抛物线在P处的切线，若过点且交 于N，M，交抛物线于，试探索是否成立。 20．纵点交弦，横之蝴蝶 定理20 过椭圆短轴上任意一点M（）的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ 过双曲线虚轴上任意一点N（）的两条弦端点作两条直线,一定截过N点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ 过抛物线对称轴上任意一点N（）的两条弦端点作两条直线,一定截过N点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ 。 问题探究20 已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，设直线过点T且，交于点N，M，试证明。 21．主轴分割，等比中项 定理21 过椭圆中心O与点的连线交椭圆于N，交切点弦于点Q，则，。且Q点平分切点弦AB。（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点P与直线沿直线PO作反向运动。 双曲线中心O与点的连线交双曲线于N，交切点弦于点Q，则，。 且Q点平分切点弦AB。（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点P与直线沿直线PO作反向运动。 设过点P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N，交切点弦于点Q，则，。且Q点平分切点弦AB。（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点P与直线作反向运动。 问题探究21 已知椭圆，过原点，点的直线交椭圆于点N，过点T的中点弦为AB，过A，B分别作切线且交于点P，求证： 22．定点割线，倒和两倍 定理22 过椭圆外一点的任一直线与椭圆的两个交点为C、D，与椭圆切点弦的交点为Q，，则成立。反之亦然。 双曲线外一点的任一直线与双曲线的两个交点为C、D，与双曲线切点弦的交点为Q，，则成立。反之亦然。 过抛物线外一点P的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦的交点为Q，，则成立。反之亦然。 问题探究22 过抛物线外一点作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，另一直线过点P与抛物线交于两点C、D，与直线AB交于点Q，试探求的值是否为定值。 23．内外定积 定理23 过椭圆外一点P的任一直线与椭圆的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。 过双曲线外一点P的任一直线与双曲线的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。 过抛物线外一点P的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。 问题探究23 过椭圆外一点作直线与椭圆交于两点C、D，点Q在线段CD上，且满足试探求点Q的轨迹。 24．主轴交点，切线平行 定理24 椭圆中心O与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦。 。 双曲线中心O与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦。 。 过抛物线中心O（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦 问题探究24 过抛物线外一点作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，另一直线：与抛物线交于点N，与直线AB交于点Q，求证：（1）N点处的切线与直线AB平行，（2）。 25．焦点之弦，张角相等 定理25 椭圆准线与长轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被长轴平分 双曲线准线与长轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被长轴平分 抛物线准线与长轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被长轴平分 问题探究25 已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P。使得斜率。 26．定点之弦，张角仍等 定理26 过椭圆长轴上任意一定点N（）的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角必被对称轴（NG所在直线）平分。 双曲线过实轴所在直线上任意一定点N（）的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角被对称轴（NG所在直线）平分。 过抛物线对称轴上任意一定点N（）的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角被对称轴（NG所在直线）平分。 问题探究26 已知双曲线，过点的直线交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P。使得斜率。 27．对称之点，三点共线 定理27 过点Q(t,0)的直线交椭圆于AB两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，三点共线。 过点Q(t,0)的直线交双曲线于AB两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，三点共线。 过点P(t,0)的任一直线交椭圆于AB两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，P’(-t,0)三点共线。 。 问题探究28 抛物线，直线过点并交抛物线于M、N，若，直线与x轴交于点E，试探究：的夹角是否为定值。 28．焦点切点，张角相等 定理28 过椭圆外一点P作椭圆的两条切线PA、PB，点P与焦点连线，则 过双曲线外一点P作双曲线的两条切线PA、PB，点P与焦点连线，则 过抛物线外一点P作抛物线的两条切线PA、PB，点P与焦点连线（另一焦点在无穷远处），则 。 问题探究28 过点作抛物线的切线PA（斜率不为0），为焦点，研究斜率的关系。 29．倾角互补，连线定角 定理29 过椭圆上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值 已知点是双曲线上一定点，直线的倾角互补分别交抛物线于两点A、B，则直线AB的倾角为定值 过双曲线上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值 已知点是双曲线上一定点，直线的倾角互补分别交抛物线于两点A、B，则直线AB的倾角为定值 过抛物线上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值 已知点是抛物线上一定点，直线的倾角互补分别交抛物线于两点A、B，则直线AB的倾角为定值 问题探究29 过点作直线PA、PB，分别交抛物线于A、B两点，且斜率，（1）探究直线AB的斜率是否为定值，（2）试研究三角形PAB的面积是否有最大值。 30．动弦中点，斜积定值 定理30 圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值 椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值 双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值 问题探究30 已知椭圆的动弦AB的中点为M，试研究斜率是否为定值（O为原点）。 31．切线半径，斜积仍定 定理31 圆的切线与切点P处半径PO的斜率积为定值 椭圆切线与切点和中心O连线的斜率积为定值 双曲线切线与切点和中心O连线的斜率积为定值 问题探究31 已知点P为椭圆上的动点，设点P的切线斜率为，试研究斜率是否为定值（O为原点）。 32．动弦中垂，范围特定 定理32 椭圆的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于长轴）若设，则必有（e为离心率，c为半焦距） 双曲线的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于长轴）若设，则必有（e为离心率，c为半焦距） 抛物线的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于对称轴）若设，则必有（P为焦准距） 问题探究32 已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，探求的取值范围。 定理33 椭圆的定向弦AB的中点M轨迹是过椭圆中心的线段。 若动弦斜率定值，则中点M的轨迹为过中心的直径，且 双曲线的定向弦AB的中点M轨迹是过双曲线中心的直线。 若动弦斜率定值，则中点M的轨迹为过中心的直径，且 抛物线的定向弦AB的中点M轨迹为平行于抛物线对称轴的射线。 33．定向中点，轨迹直径 问题探究33 1． 对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准线？ 2． 对于给定的双曲线，怎样用圆规和直尺找出双曲线的中心、对称轴、顶点、焦点、准线、渐近线？ 3．对于给定的抛物线，怎样用圆规和直尺找出抛物线的对称轴、顶点、焦点、准线？ 34．定点中点，轨迹同型 定理34 椭圆的定点弦AB的中点M轨迹为原椭圆内的椭圆弧 双曲线的定点弦AB的中点M轨迹为双曲线 抛物线的定点弦AB的中点M轨迹为抛物线。 问题探究34 过点的直线交抛物线于AB两点，试探求AB中点的轨迹 定理35 在椭圆焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值．且在椭圆、情形下定点坐标为． 在双曲线焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值．且在双曲线情形下定点坐标为． 在抛物线对称轴上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值．在抛物线情形下定点C恰为顶点 35．焦弦张角，内积定值 问题探究35 已知椭圆，直线过焦点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值 36．存在定点，内积仍定 定理36 过椭圆长轴直线上任一定点的直线交椭圆于A、B两点，则必存在一定点，它与AB弦端点所张的向量点积为定值．．。 过双曲线实轴直线上任一定点的直线交双曲线于A、B两点，则必存在一定点，它与AB弦端点所张的向量点积为定值．． 过抛物线对称轴直线上任一定点的直线交抛物线于A、B两点，则必存在一定点,定点C恰为顶点 问题探究36 已知椭圆，直线过点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值。 37．光线反射，路径过焦 定理37 由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后的光线必过另一焦点 由焦点发出的光线经双曲面反射后的光线所在直线必过另一焦点 由焦点发出的光线经抛物面反射后的光线必过另一焦点（另一焦点在无穷远处，故反射光线会平行于对称轴） 问题探究37 要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准确 38．切线中割，切弦平行 定理38 过椭圆外一定点与切点连线的中点的任一直线交椭圆于两点,这两点分别与定点的连线交椭圆于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等。 双曲线上一点的切线上一点P，取PH中点为M，过M作直线与双曲线交于C、D两点，直线PC、PD分别与抛物线交与B、A两点。则斜率 过双曲线外一定点与切点连线的中点的任一直线交双曲线于两点,这两点分别与定点的连线交双曲线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等。 双曲线上一点的切线上一点P，取PH中点为M，过M作直线与双曲线交于C、D两点，直线PC、PD分别与抛物线交与B、A两点。则斜率 过抛物线外一定点与切点连线的中点的任一直线交抛物线于两点,这两点分别与定点的连线抛物线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等. 抛物线上一点的切线上一点P，取PH中点为M，过M作直线与抛物线交于C、D两点，直线PC、PD分别与抛物线交与B、A两点。则斜率 问题探究38 抛物线上一点，点P是以H为切点的切线上一点，点M满足，过点P的直线交曲线于两点，过M，D的直线交曲线于点，过P，C的直线交曲线于点，求证： 39．直周之角，斜过定点 定理39 以椭圆上一定点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点恰在斜边的中点轨迹上。 若直角顶点在椭圆上运动时,其对应的定点在一新的椭圆上运动. 以双曲线上一定点为直角顶点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点恰在斜边的中点轨迹上。 若直角顶点在双曲线上运动时,其对应的定点在一新的双曲线上运动. 以抛物线上一定点为直角顶点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上。 若直角顶点在抛物线上运动时,其对应的定点在一新的抛物线上运动. 问题探究39 抛物线上一点，A,B是抛物线上另两点，且，。 （1） 试探求点Q的轨迹。（2）试探求直线AB是否过定点。 40．正交半径，斜切定圆 定理40 直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在椭圆上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆。 若直角三角形的直角顶点O在椭圆的中心，交椭圆于A、B两点，则点O在斜边上的射影H的轨迹是圆。 直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在双曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆。 若直角三角形的直角顶点O在椭圆的中心，交椭圆于A、B两点，则点O在斜边上的射影H的轨迹是圆。 问题探究40 1.设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆上任意一点P的切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且为定值？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 2.已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 41．直径端点，斜积定值 定理41 圆上动点对直径端点的斜率积为定值 一条直线过圆中心，交圆于A,B两点，是圆上一动点，则斜率为定值 椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值。 一条直线过椭圆中心，交椭圆于A,B两点，是椭圆上一动点，求证：为定值 双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值 一条直线过双曲线中心，交双曲线于A,B两点，是双曲线上一动点，求证：为定值 问题探究41 已知定点，P为动点且满足：PA，PB的斜率，试探求点P的轨迹 42．垂弦端点，交轨对偶 定理42 椭圆中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线交点轨迹为与椭圆共顶点的双曲线。 双曲线中垂直于实轴的弦的端点对实轴顶点的连线交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆 抛物线中垂直于对称轴的弦的端点对顶点的连线交点轨迹为与抛物线共顶点的抛物线。 问题探究42 已知椭圆的动弦垂直交x轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线交点的轨迹。 43．准线动点，斜率等差 定理43 过x轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆于两点A，B，则在直线上任一点P对弦AB端点及定点Q的连线的斜率成等差。 过x轴上一定点Q(t，0)的直线交双曲线于两点A，B，则在直线上任一点P对弦AB端点及定点Q的连线的斜率成等差 过x轴上一定点M(t，0)的直线交抛物线于两点A，B，则在直线上任一点P对弦AB端点及定点M的连线的斜率成等差。 问题探究43 过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点. （Ⅰ）试证明两点的纵坐标之积为定值； （Ⅱ）若点是定直线上的任意一点，分别记直线的斜率为，试探求之间的关系，并给出证明. 44．焦点切线，距离等比 定理44 椭圆的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为。 。 双曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为。 抛物线焦点在无穷处相应性质不矛盾 问题探究45 已知直线是过椭圆上一点的切线，（1）求两焦点到切线的距离积。 （2）当是椭圆的任一切线时，试问两焦点到切线的距离积是否为定值。 45．共轭点对，距离等积 定理45 过椭圆对称轴上一定点Q(t,0)的动弦AB，一端点B与另一端点A关于坐标轴的对称点的连线交对称轴于点P，则定值。 过双曲线对称轴上一定点Q(t,0)的动弦AB，一端点B与另一端点A关于坐标轴的对称点的连线交对称轴于点P，则定值。 。 。 抛物线焦点在无穷处相应性质不矛盾 问题探究46 设椭圆的右焦点弦AB，点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点。 （1）求的值。 （2）若点Q(t,0)是对称轴上任一定点，动弦CD所在直线过点Q，端点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点，试研究是否为定值，其定值与椭圆的几何量有何关系？ 46．正交中点，连线定点 定理46 椭圆中互相垂直的焦点弦中点连线必过定点。 过椭圆的左焦点分别作弦AC与BD，,设AC,BD中点为M,N,则直线MN过定点. 双曲线中互相垂直的焦点弦中点连线必过定点。 过双曲线的左焦点分别作弦AC与BD，,设AC,BD中点为M,N,则直线MN过定点. 抛物线中互相垂直的焦点弦中点连线必过定点。 过抛物线的左焦点分别作弦AC与BD，,设AC,BD中点为M,N,则直线MN过定点. 问题探究46 已知直线过抛物线的焦点，分别交抛物线于A，B和C，D四点，且，直线分别过AB和CD的中点，　问直线是否过定点？ 47．顶点切圆，切线交准 定理47 过椭圆中心O的直线OH垂直于并与大圆在Q点处的切线相交于点P，则点P的轨迹是与焦点对应的准线。 过双曲线中心O的直线OH垂直于并与小圆在Q点处的切线相交于点P，则点P的轨迹是与焦点对应的准线。 问题探究47： 设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．动点满足（其中，不重合）．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为．若直线与（Ⅰ）中的曲线交于两点，求的取值范围． 定理48 椭圆同侧平行的两焦半径对角连线的交点轨迹是椭圆. 设A、B分别是椭圆上的动点（长轴同侧），且，则 的交点轨迹是椭圆。 双曲线同侧平行的两焦半径对角连线的交点轨迹是椭圆. 设A、B分别是双曲线上的动点（长轴同侧），且，则 的交点轨迹是椭圆。 48．平行焦径，交点轨迹 问题探究48： 如图，椭圆的方程为.的左、右焦点分别为，．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P． （1）若，求直线的斜率； （2）求证：是定值． 49．内接内圆，切线永保 定理49 过椭圆上任一点A引椭圆内接三角形ABC的内切（旁切）圆G的切线交椭圆于另两点BC，则这另两点的连线BC必是圆G的切线。 过双曲线上任一点A引双曲线内接三角形ABC的内切（旁切）圆G的切线交双曲线于另两点BC，则这另两点的连线BC必是圆G的切线。 。 过抛物线上任一点A引抛物线内接三角形ABC的内切（旁切）圆G的切线交抛物线于另两点BC，则这另两点的连线BC必是圆G的切线。 问题探究49 若点是曲线C：上的动点，过点P与圆：的切线为，交曲线C于另两点、B，问是否存在，使对任意的动点P，直线AB必与圆相切。 50．切线正交，顶点轨迹 定理50 椭圆的两条正交切线的交点轨迹是圆(蒙日圆)。 椭圆的两条正交切线PA,PB的交点P的轨迹是圆。 双曲线的两条正交切线的交点轨迹是圆。 双曲线的两条正交切线PA,PB的交点P的轨迹是圆。 抛物线的两条正交切线的交点轨迹是准线（无穷大圆）。 抛物线的两条正交切线PA,PB的交点P的轨迹是直线（无穷大圆）。 问题探究50： 设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围. 定理51 过椭圆外一点P任作一直线交椭圆于AB两点，过点A作斜率为定值的直线交椭圆于另一点C，则弦BC必过定点G。（为直线OP与椭圆交点N处切线的斜率）。 。 过双曲线外一点P任作一直线交双曲线于AB两点，过点A作斜率为定值的直线交双曲线于另一点C，则弦BC必过定点G。（为直线OP与双曲线交点N处切线的斜率） 过抛物线外一点P任作一直线交抛物线于AB两点，过点A作斜率为定值的直线交抛物线于另一点C，则弦BC必过定点G。（为直线OP与抛物线交点N处切线的斜率） 51．斜率定值，弦过定点 问题探究51： 长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足．（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点． 定理52 直线上一动点引椭圆两切线，则过两切点的直线AB必过定点G 直线上一动点引双曲线两切线，则过两切点的直线AB必过定点G 直线上一动点引抛物线两切线，则过两切点的直线AB必过定点G 。 52．直线动点，切弦定点 问题探究52： 动点在直线上，由P引椭圆的两条切线，切点分别是A、B，试问直线AB是否必过定点。 53．与圆四交，叉连互补 定理53 若椭圆与圆有四个交点，四点两两连线，则对应边直线的斜率必互为相反数。 若椭圆与圆有四个交点，四点两两连线，则对边直线的斜率必互为相反数 若双曲线与圆有四个交点，四点两两连线，则对应边直线的斜率必互为相反数。 双曲线 , 过一点 作两直线 与椭圆分别交于 和 , 假设 斜率均存在且不为 0 , 证明： 四点共圆的充要条件为 倾斜角互补(斜率之和为 0 ). 若抛物线与圆有四个交点，四点两两连线，则对应边直线的斜率必互为相反数。 抛物线, 过一点 作两直线 与分别交抛物线于 和 , 假设 斜率均存在且不为 0 , 则 四点共圆的充要条件为 倾斜角互补(斜率之和为 0 ). 问题探究53 若椭圆与动圆有四个交点，四点两两连线，则对角线的斜率之和是否为定值。 54．交弦积比，平行方等 定理54 设椭圆的两条相交弦，则两弦各自被分成两段的乘积与平行半径的平方成比例。 椭圆, 过一点 作两直线 与椭圆分别交于 和 , 假设 斜率均存在且不为 0 , ,则 设双曲线的两条相交弦，则两弦各自被分成两段的乘积与平行半径的平方成比例。 双曲线 , 过一点 作两直线 与椭圆分别交于 和 , 假设 斜率均存在且不为 0 , ,则 问题探究54 椭圆 , 过一点 作两直线 与椭圆分别交于 和 , 假设 斜率均存在且不为 0 , 点为椭圆上两点，满足 ,问 是否为定值？ 55．补弦外圆，切于同点 定理55 设椭圆的两条共轭弦，则其三角形的外接圆与椭圆必相切于P点。 设点是椭圆任意一定点，直线是椭圆在点切线，PA,PB是两条共轭弦（），则其三角形的外接圆与椭圆必相切于P点,且直线是椭圆与圆的公切线； 设双曲线的两条共轭弦，则其三角形的外接圆与双曲线必相切于P点。 设点是双曲线任意一定点，直线是双曲线在点切线，PA,PB是两条共轭弦（），则其三角形的外接圆与双曲线必相切于P点,且直线是双曲线与圆的公切线； 设抛物线的两条共轭弦，则其三角形的外接圆与抛物线必相切于P点。 设点是抛物线任意一定点，直线是抛物线在点切线，PA,PB是两条共轭弦（），则其三角形的外接圆与双曲线必相切于P点,且直线是抛物线与圆的公切线； 问题探究55 设点是椭圆定点，直线是椭圆在点切线，PA,PB是两条共轭弦（），则其三角形的外接圆与椭圆必相切于P点,且直线是椭圆与圆的公切线； 56、焦点切长，张角相等 定理56 设Q是椭圆外一点，过Q向椭圆引两条切线QA、QB，切点分别为A、B，则 。 设Q是双曲线外一点，过Q向双曲线引两条切线QA、QB，切点分别为A、B，则 。 设Q是抛物线外一点，过Q向抛物线引两条切线QA、QB，切点分别为A、B，则 。 问题探究56 设Q是椭圆外一点，过向椭圆引两条切线QA、QB，切点分别为A、B，焦点，则 57．斜率积定，连线过定 定理57 设是椭圆上一定点，若过P的两条弦PA、PB的斜率积为定值，则直线AB必过定点 设是双曲线上一定点，若过P的两条弦PA、PB的斜率积为定值，则直线AB必过定点 设是抛物线上一定点，若过P的两条弦PA、PB的斜率积为定值，则直线AB必过定点 问题探究57 已知,A、B是椭圆C：上两个动点，且，求三角形PAB面积的最大值。 58．斜率定和，连线过定 定理58 设是椭圆上一定点，若过P的两条弦PA、PB的斜率和为定值，则直线AB必过定点 设是双曲线上一定点，若过P的两条弦PA、PB的斜率积为定值，则直线AB必过定点 设是抛物线上一定点，若过P的两条弦PA、PB的斜率积为定值，则直线AB必过定点 问题探究58 已知,A、B是椭圆C：上两个动点，且，试问：直线AB是否过定点. 59.相曲线似，截割等长 定理59 设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则. 设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则. 设A,B为抛物线上两点，其直线AB与抛物线相交于,则. 问题探究59 设A,B为抛物线上两点，其直线AB与抛物线相交于,问是否成立，并证明. 60：主轴交点 等比中项 定理60 椭圆中，过中心O的直线CH交任意弦MN于中点D，点P为椭圆上任意一点，直线PM，PN分别交直线CH于A，B，则 双曲线中，过中心O的直线CH交任意弦MN于中点D，点P为双曲线上任意一点，直线PM，PN分别交直线CH于A，B，则. 在抛物线中点A,B在无穷远处，此式不矛盾. 问题探究60 如图，已知椭圆经过不同的三点在第三象限），线段的中点在直线上． （Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标； （Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 定理61 已知，过定点的动直线交椭圆于、两点，的外心为．若直线的斜率为，直线的斜率为，则斜率积为定值． 已知，过定点的动直线交双曲线于、两点，的外心为．若直线的斜率为，直线的斜率为，则斜率积为定值． 在抛物线中点O在无穷远处，结论不矛盾. 61：定点之弦 斜率定积 问题探究61 已知，过定点的动直线交双曲线右支于、两点，的外心为．若直线的斜率为，直线的斜率为，问斜率积是否为定值？ 62：焦点焦弦，张角90度 定理62 已知点P是以为左焦点椭圆上任意一点，左准线是.过点左焦点的直线交椭圆于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、求证：. 已知点P是以为左焦点双曲线上任意一点，左准线是.过点左焦点的直线交双曲线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、求证：. 已知点P是以为焦点抛物线上任意一点，准线是.过点的直线交抛物线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、求证：. 问题探究62 如图，已知抛物线的焦点是，准线是. （Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程； （Ⅱ）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、。求证：. 63：焦弦中点，准线张角 定理63 已知椭圆过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与左准线相交于点，则. 已知双曲线过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与准线相交于点，则. 已知抛物线：过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，过点C且平行于(中心在无穷远处)抛物线对称轴的直线与准线相交于点，则. 问题探究63 已知椭圆经过点，的四个顶点围成的四边形的面积为.（1）求的方程； （2）过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与直线相交于点，是否存在直线使得为等腰直角三角形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 定理64 椭圆的左、右顶点分别为，，过动点（点Q在左顶点的切线上）的动直线与椭圆分别交于点，，点在直线上，直线与交于点.记直线，的斜率分别为，.则必有为定值. 双曲线的左、右顶点分别为，，过动点（点Q在左顶点的切线上）的动直线与双曲线分别交于点，，点在直线上，直线与交于点.记直线，的斜率分别为，.则必有为定值. 在抛物线中,中心O点在无穷远处，结论不矛盾. 64．顶点切线，斜率定积 问题探究64 已知点，为特例：椭圆的左、右焦点，，都在圆上，椭圆和圆在第一象限相交于点，且线段为圆的直径.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆分别交于点，，且点，位于第一象限，点在线段上，直线与交于点.记直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 65．正交弦积，倒和定值 定理65 已知椭圆 , 过平面内一点 作两条互相垂直的直线 与 分别相交于 和 , 则定值且点P的轨迹是与原椭圆相似的椭圆，当点P在椭圆上运动时，定值不变. 已知双曲线 , 过平面内一点 作两条互相垂直的直线 与 分别相交于 和 , 则 ，且点P的轨迹是与原双曲线相似的双曲线，当点P在双曲线上运动时，定值不变. 已知抛物线 , 过平面内一点 作两条互相垂直的直线 与 分别相交于 和 , 则 ，且点P的轨迹是与原抛物线相似的抛物线，当点P在抛物线上运动时，定值不变. 问题探究65 已知椭圆 , 过平面内一点 作两条互相垂直的直线 与 分别相交于 和 , 若 , 则 的最小值为? 66：焦弦准线，主轴正交 定理66 椭圆右准线上一点P，椭圆的动弦AB平行于直线OP，AB的中点M，直线OM交椭圆于C，D，直线过椭圆右焦点和点P，则. 双曲线右准线上一点P，双曲线的动弦AB平行于直线OP，AB的中点M，直线OM交双曲线于C，D，直线过双曲线右焦点和点P，则. 在抛物线中,中心O点在无穷远处，结论不矛盾. 问题探究66 已知椭圆，抛物线，点P是直线上的动点，直线过椭圆右焦点交抛物线于S，T，椭圆的动弦AB平行于直线OP，AB的中点M，直线OM交椭圆于C，D，求四边形SCTD面积的取值范围. 67、焦点准线，圆过定点 定理67 点P为椭圆上一动点，过右焦点的动直线交椭圆于A，B两点，直线PA,PB分别交右准线于两点，则以为直径的圆必过定点，且定点必是右焦点和右焦点关于右准线对称的点. 点P为双曲线上一动点，过右焦点的动直线交双曲线于A，B两点，直线PA,PB分别交右准线于两点，则以为直径的圆必过定点，且定点必是右焦点和右焦点关于右准线对称的点. 点P为抛物线上一动点，过焦点的动直线交椭圆于A，B两点，直线PA,PB分别交准线于两点，则以为直径的圆必过定点，且定点必是焦点和准线对称的点. 问题探究67 已知动点到点的距离和到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹方程； （2）已知点，过点的直线和曲线交于、两点，直线、、分别交直线于、、． （i）证明：恰为线段的中点； （ii）是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在，求出定点的坐标，说明理由． 68、定点定线，圆过定点 定理68 点P为椭圆上一动点，过定点的动直线交椭圆于A，B两点，直线PA,PB分别交定直线于两点，则以为直径的圆必过定点，且定点必关于直线对称. 点P为双曲线上一动点，过定点的动直线交双曲线于A，B两点，直线PA,PB分别交定直线于两点，则以为直径的圆必过定点，且定点必关于直线对称. 点P为抛物线上一动点，过定点的动直线交椭圆于A，B两点，直线PA,PB分别交直线于两点，则以为直径的圆必过定点，且定点必关于直线对称. 问题探究68 点P为双曲线上一动点，过定点的动直线交双曲线于A，B两点，直线PA,PB分别交定直线于两点，问：以为直径的圆是否过定点. 69：对称交弦，斜率定和 定理69 椭圆的右焦点为，分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且,则直线，的斜率之和为定值． 双曲线的右焦点为，分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且,则直线，的斜率之和为定值． 在抛物线中心O在无穷远处，结论不矛盾. 问题探究69 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值． 定理70 已知椭圆的下顶点为，定点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．则为定值. 已知双曲线的左顶点为，定点，过点作与轴不重合的直线交双曲线于两点，直线分别与轴交于两点．则为定值. 在抛物线中心O在无穷远处，结论不矛盾. 70：实轴连线，截距定积 问题探究70 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由． 71：顶点垂线，交点轨迹， 定理71 已知P是椭圆（ a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是. 2．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是. 在抛物线顶点在无穷远处，结论不矛盾. 问题探究71 已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，求Q点的轨迹方程. 72．直径切线，面积定值 定理72 P是椭圆动点，P点的切线交相似椭圆于A,B两点，点P 关于中心的对称点为，则三角形为定值。 P是双曲线动点，P点的切线交相似双曲线于A,B两点，点P 关于中心的对称点为，则三角形为定值。 例73．已知椭圆系方程： (，)， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且． （1）求的离心率并求出的方程； （2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值． 73、垂直相交，面积和差 定理73 点为椭圆 (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：.. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：. 问题探究73 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是. 定理74 过椭圆长轴上一定点作垂线交椭圆于点P，过点T任意作直线交椭圆于A,B，交直线于M,则直线的斜率成等差(). 过双曲线实轴上一定点作垂线交双曲线于点P，过点T任意作直线交双曲线于A,B，交直线于M,则直线的斜率成等差,. 过抛物线对称轴上一定点作垂线交抛物线于点P，过点T任意作直线交抛物线于A,B，交直线于M,则直线的斜率成等差,. 74. 焦点准线，斜率等差1 问题探究74 过椭圆长轴上一定点作垂线交椭圆于点P，过点T任意作直线交椭圆于A,B，交直线于M,问直线的斜率 是否为定值. 75. 定点定线，斜率等差2 定理75 过椭圆长轴上一定点任意作直线交椭圆于A,B，点是直线上动点,则直线的斜率成等差(). 过双曲线实轴上一定点任意作直线交双曲线于A,B，点是直线上动点,则直线的斜率成等差(). 过抛物线对称轴上一定点任意作直线交抛物线于A,B，点是直线上动点,则直线的斜率成等差(). 问题探究75 过双曲线实轴上一定点任意作直线交双曲线于A,B，点是直线上动点, 问直线的斜率 是否为定值. 76. 平行切线，平分线段 定理76 点P是椭圆外任意一定点，AB是P的切点弦. 过P作任意直线交椭圆于M,N两点，过M作PA的平行线分别交AB，AN于T，H两点. 过M作MH平行于切线PA，交AB于T，则HM必被切点弦AB平分，即MT=TH. 点P是双曲线外任意一定点，AB是P的切点弦. 过P作任意直线交双曲线于M,N两点，过M作PA的平行线分别交AB，AN于T，H两点. 过M作MH平行于切线PA，交AB于T，则HM必被切点弦AB平分，即MT=TH. 点P是过抛物线外任意一定点，AB是P的切点弦. 过P作任意直线交抛物线于M,N两点，过M作PA的平行线分别交AB，AN于T，H两点. 过M作MH平行于切线PA，交AB于T，则HM必被切点弦AB平分，即MT=TH. 问题探究76 已知椭圆：，设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足，试问直线是否过定点. 77. 两弦定向，相交定积 定理77 点P是椭圆外任意一定点，AB是过点P斜率为定值的弦. CD是过点P斜率为定值的弦.则为定值 点P是双曲线外任意一定点，AB是过点P斜率为定值的弦. CD是过点P斜率为定值的弦.则为定值。 点P是抛物线外任意一定点，AB是过点P斜率为定值的弦. CD是过点P斜率为定值的弦.则为定值。 问题探究77 已知抛物线 , 点 在抛物线上, 斜率为 2 的直线与抛物线交于两点(点在点的下方).如图, 点在抛物线 上, 且, 线段与线段 相交于点.若, 当面积取到最大值时, 求点的坐标. 78. 定向动弦，斜率定积 定理78 点是椭圆上一定点， PA与PB的斜率积为定值。则AB是斜率为定值的弦. 点是双曲线上一定点，PA与PB的斜率积为定值。则AB是斜率为定值的弦. 抛物线中心可视作在无穷远，与本定理也不矛盾。 问题探究78 已知椭圆 的左焦点为 , 抛物线 与 交于点 .(1) 求 与 的方程;(2) 动直线 与 交于不同两点 、, 与 交于 不同两点 、, 且 , 记 、 的斜率分别为 、, 满足 , 记线段 的中点 的纵坐标为, 求的取值范围. 79. 端点动弦，斜率定差 定理79 点是椭圆上一定点，A,B分别为长轴端点，点P是椭圆上动点，直线PD交 x轴于N,PB交AD于M,直线MN斜率为，PB的斜率为，则为定值。 点是双曲线上一定点，A,B分别为长轴端点，点P是双曲线上动点，直线PD交 x轴于N,PB交AD于M,直线MN斜率为，PB的斜率为，则为定值。 抛物线右端点B可视作在无穷远，与本定理也不矛盾。 点是抛物线上一定点，A是抛物线,（右端点B可视作在无穷远），点P是双曲线上动点，直线PD交 x轴于N,（）PB交AD于M,直线MN斜率为，PB的斜率为，则为定值。 问题探究79 是椭圆上顶点 ，A,B分别为长轴端点，点P是椭圆上动点，直线PD交 x轴于N,PB交AD于M,直线MN斜率为，PB的斜率为，则为定值。 定理80 过椭圆直径所在直线上任意一点T作的两条弦AB，CD，过其端点作两条直线AC和BD,截过T点与N点切线平行的直线段(中点弦)，被T点平分，即MT=TR （N点为主轴OT与曲线的交点） 过双曲线直径所在直线上任意一点T作的两条弦AB，CD，过其端点作两条直线AC和BD,截过T点与N点切线平行的直线段(中点弦)，被T点平分，即MT=TR （N点为主轴OT与曲线的交点） 过平行于抛物线对称轴的直线上任意一点T作两条弦AB，CD，过其端点作两条直线AC，BD，截过T点与N点切线平行的直线段(中点弦)，被T点平分，即MT=TR （N点为主轴NT与曲线的交点） 80．蝴蝶定理，一般情形 问题探究80： 已知椭圆C: , 四点 , 中恰有三点在椭圆C上。(1)求椭圆C的方程。 (2)如图所示,假定在椭圆C中, 弦AB的中点M的坐标为, 且两条弦CD, EF所在直线斜率存在, 证明: 81．焦半相交，斜率定积 定理81 已知椭圆上有一点.左右焦点为.连接 交椭圆于 . 直线与直线的公共点为.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 已知双曲线上有一点.左右焦点为.连接 交双曲线于 . 直线与直线的公共点为.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 抛物线一个焦点在无穷远处，此性质不矛盾。 问题探究81： 已知椭圆上有一点.左右焦点为.连接 交椭圆于 . 直线与直线的公共点为.试探求等式是否恒成立？ $