精品解析：甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025-2026年西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学高一下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（ ） A. 不是棱台 B. 不是圆台 C. 不是棱锥 D. 是棱柱 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长等于底面圆直径 B. 圆柱上、下底面任意两点的连线均为母线 C. 圆台的母线与轴平行 D. 球的直径必过球心 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知平面向量，，满足，，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 10. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 11. 设分别为△的内角的对边，下列条件中可以判定△一定为等腰三角形的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则___________． 13. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______. 14. 函数（其中）的部分图象如图所示，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 16. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin. (1)求sinC的值； (2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 19. 已知函数. （1）求图象的对称轴； （2）若函数在区间上有两个零点和，求的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学高一下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（ ） A. 不是棱台 B. 不是圆台 C. 不是棱锥 D. 是棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台，圆台，棱锥，棱柱的定义判断即可. 【详解】对A，根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点. 选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台； 对B，同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台； 对C，选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形），因此不是棱锥的判断错误； 对D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长等于底面圆直径 B. 圆柱上、下底面任意两点的连线均为母线 C. 圆台的母线与轴平行 D. 球的直径必过球心 【答案】D 【解析】 【分析】A结合圆锥的轴截面的特征即可判断；B由圆柱的母线的定义即可判断；C结合圆台的结构特征即可判断；D由球的结构特征即可判断. 【详解】A若圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的母线长等于底面圆直径，否则圆锥的母线长不等于底面圆直径，故A错误； B由圆柱的母线的定义可知圆柱上、下底面任意两点的连线不一定是母线，故B错误； C圆台的母线与轴相交，故C错误； D由球的结构特征知球的直径必过球心，故D正确. 故选：D. 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，即可求出． 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 5. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解. 【详解】因为，，， 由余弦定理得：，所以. 因为，所以， 又因为，所以为正三角形. 则当为线段的中点时，，即取最小值， 此时； 又因为，，三点共线，所以， 由平面向量基本定理，得，解得. 7. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数在上单调递减，在上单调递增的条件，得出在时取最小值，可将表示为含的表达式；再结合单调区间和周期性，判断周期的范围，从而确定的取值范围，取满足条件的整数，即可确定的值，最终求出函数表达式，代入求值即可. 【详解】解：由函数在上单调递减，在上单调递增，所以根据正弦函数的性质， 函数在时取最小值，则，代入，解得，. 又，所以，所以当时，， 所以，故. 8. 已知平面向量，，满足，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据，，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，，，， 所以， ，得， 显然，所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， 在中，，其面积， 在其直观图（图②）中， 作，则直观图的面积 ， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的， 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确； 对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误. 故选：ABC. 10. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 11. 设分别为△的内角的对边，下列条件中可以判定△一定为等腰三角形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角关系，结合三角恒等变换及三角形内角的性质，即可判断△是否为等腰三角形. 【详解】A：，即，有或，错误； B：，即，在三角形中必有，正确； C：，在三角形中必有，正确； D：，而，所以，在三角形中必有，正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知， 所以. 13. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和余弦定理，求得，得到，设的外接圆半径为，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由， 可得 所以， 由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以， 设的外接圆半径为，由为的外心， 则，且，即， 因为，且， 所以， ， 则 ， 所以当，即时和面积之差的最大值为. 14. 函数（其中）的部分图象如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由图易得，该函数的最小正周期满足，则， 由，则， 将代入，可得， 即，因，则，解得， 所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【小问1详解】 是纯虚数， ， ． 【小问2详解】 在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 16. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理、三角形的面积公式及三角恒等变换求解. 【小问1详解】 在中，，， 由正弦定理可得，， ∴. 【小问2详解】 不妨设，则，，， 在中，由正弦定理得， 则， 由于，得，∴， ∴，∴. 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin. (1)求sinC的值； (2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【详解】试题分析： (1)由题意求解三角方程可得 ； (2)整理题中所给的等式，结合余弦定理可得 . 试题解析： (1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，即sin＝2sin2， 由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝， 两边平方得：sinC＝. (2)由sin－cos＝＞0得＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－， 由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，所以c＝＋1. 点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 19. 已知函数. （1）求图象的对称轴； （2）若函数在区间上有两个零点和，求的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由和差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简得函数解析式，由正弦函数的对称轴求得函数的对称轴； （2）由取值范围，求得范围，由正弦函数图象作出函数在区间上的大致图象，由对称性求得，即可求得结果； （3）通过取值范围，求得范围，设，即求得的取值范围.通过二次函数开口方向得到函数最大值点，根据题意建立不等式组，解实数的取值范围. 【小问1详解】 令，解得， 即图象的对称轴为直线. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，作出函数在区间上的大致图象如下. 由函数在区间上有两个零点和， 得，则. 【小问3详解】 设，因为，则，，即. 对任意，不等式恒成立， 等价于：对任意，不等式恒成立. 令，其图象为开口向上的抛物线，故其在区间上的最大值在端点处取得，所以要使在区间上恒成立，只需， 即，解得，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $