甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 2025-2026年西和县多校高一下期中数学卷，聚焦立体几何、解三角形、函数与向量核心模块，通过动态几何（如16题动点问题）和函数综合题（如19题零点与恒成立），考查空间观念、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|几何体判断（1题）、复数概念（2题）|结合直观图考查空间观念| |多选题|3/18|斜二测画法（9题）、复数运算（10题）|注重概念辨析与推理意识| |填空题|3/15|向量模长（12题）、外心与面积（13题）|渗透几何直观与数学抽象| |解答题|5/77|解三角形（16-18题）、函数综合（19题）|通过动态问题与实际应用考查运算能力及模型意识|

参考答案 1.答案：C 解析：对A,根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间 的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点. 选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台； 对B,同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台； 对C,选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形） ,因此不是棱锥的判断错误； 对D,根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱 2.答案：A 解析：设z=a+bia,b∈R),由题意得a+2+bi=3(a-bi+4i, 所以a+2+bi=3a+4-3b)i, a+2=3a, 所以 b=4-36,解得a=b=1,所以z=1+i. 3.答案：D 解析：A若圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的母线长等于底面圆直径，否则圆锥的母 线长不等于底面圆直径，故A错误； B由圆柱的母线的定义可知圆柱上、下底面任意两点的连线不一定是母线，故B错误； C圆台的母线与轴相交，故C错误； D由球的结构特征知球的直径必过球心，故D正确， 故选：D 4.答案：B 解析：由正弦定理得C。=,所以sinB=bsinC-6x5_2 sinC sinB c322 因为c>b,所以C>B,所以B=45°， 则A=180°-60°-45°=75°， 故选B 5.答案：C 解析：因为asin A=b(sinB+sinC),所以a2=b2+bc 因为a2=b2+c2-2bcc0sA,所以c2-2 bccos A=bc, 所以c=b(2cosA+1),所以sinC=sinB(2cosA+1). 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=sinB(2cosA+l),即sin Acos B-cos Asin B=sinB, 所以sin(A-B)=sinB. 因为△40c是钱角三角形，480到引4-8引 所以A-B=B,即A=2B. 因为sinA=sin2B=2 sin B cos B, 所以a=2bc0sB,所以4=2c0sB. 0c8受 因为0<A=2B< 2 ,所以T<B< 6 0<C=元=A-B=元-3B<) 所以a=2cosB∈（√2，V5). 6 6.答案：C 解析：因为a=2V7,b=6,c=4, 由余弦定理得：c0s4=b2+c-a_36+16-28=1,所以A=60 2bc 2×6×42 因为D-号1C,所以40：4， 又因为c=AB=4,所以△ABD为正三角形 则当F为线段BD的中点时，AF⊥BD,即AF取最小值， 此时F-号4+540=+5*号c=西+兮4c: 又因为E,F,C三点共线，所以AF=tAE+(1-t)AC=tAB+(1-t)AC, 1 tλ= 2 t= 3 由平面向量基本定理，得 ,解得 1-t= 3 入 7.答案：C 解析：由函数在（π，2π）上单调递减，在2π，3π)上单调递增，所以根据正弦函数的性质， 函数f)在x=2元时取最小值，则0x+=3π+2k标，代入x=2元，解得0= 7 12 +k,k∈Z. 32 又T=2五≥3元-元=2元，所以0<0≤1，所以当k=0时.0=7 Γ12 6 6 8.答案：A 解析：因为a=(2,4),b=1,c=ka+6,=3, 所以d=V4+16=2V5, 9=2=k2a2+2ka.b+b2=20k2+2ka.b+1,得10k2+ka.b-4=0, 显然长+0所以a6-是10。 9.答案：ABC 解析：对于A,根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确： 对于B,对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， A D ① 在△ABC中，AD⊥BC,其面积S=AD-BC, 在其直观图（图②）中， D'MC ② 作AM⊥B'C',则直观图的面积 CBCs BC×D=5s 4x2 4 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角 形面积的V2 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为臣B正确： 4 对于C,梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D,空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂 直，如长方体的长和高，D错误 故选：ABC 10.答案：ACD 解析：由于：=1+51-+51-1-1+5i,i-5-3+21, 1+i(1+i(1-i) 2 则z的实部为3，z的虚部为2，不是2i,所以A正确，B错误； 由于H+匀+5=B,2-豆=-13，：=3-21在复平面内对应的点3-2在第 1+i12+12 四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 11.答案：BCD 解析：A:sin eos1=-sin BcosB,即sin2A=sim2B,有A=B或4+B=,错误： B:sin A cos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,在三角形中必有A=B,正确； C:sin2B=sin2C,在三角形中必有B=C,正确； D:sinA=2 sin Bcos C,而A=B+C,所以sin(B-C)=0,在三角形中必有B=C,正确： 故选：BCD 12.答案： 3π 解析：由题意可知cos(4B,CD)= AB.CD 2×(-1)+(-1)×3√2 a8-CDV22+-1-12+3 2 所以(4scD)-经 13.答案：V5 12 解析：由sin2B+sin2C+cos2A+sin(π-B)sin(π+C)=1, 可得sin2B+sin2C+cos2A-sin B sin C=1 所以sin2B+sin2C-sin B sin C=1-cos2A=sin2A, 由正弦定理得2+c2-a2-bc,再由余弦定理得cos4=+c2-Q_1 2bc 2 因为A∈(0，)，所以A= 3 设△ABC的外接圆半径为R,由O为△ABC的外心， 则01=0B=0C=R,且2R=。=2即R=1 sin B sin B sin B 因为∠A0C=2B,且∠B0C=2A=2π 3 所以5oe=方R产sm乙A0C=3万 2 sin2B sin 2B=1 tan B SAoc=)R2sin∠B0C=}1 2π_V3sin2B+cos2BV3 …sin 1+ 2 2 sin2B 3 4 sin2B 4 tan2B 则Seae-e)-f 1 1V3 tan2 B 4 tan2B tan B 4 -512525 所以当L。25,即anB=5时△0AC和△B0C面积之差的最大值为 tan B 3 2 12 B 14.答案：√3 痒折：山图易得4=2该函数的授小正周期7满足号音-要则T=, 由0=2-2n=2,则fx=2sin(2x+p), T π 将受2代入，可得2sm2x受+0=2， 即sm名+9小=1，因<号则爱+p-号解得p=子 6 所以f(=2sin2x+写到），故f10=2sin-2x5=5 ”3 2 15.答案：(1)m=1 (2)(1,2) 解析：(1)z是纯虚数 m2-1=0 m2-m-20 ∴.m=1. (2)z在复平面内对应的点为(m2-1,m2-m-2),在第四象限， m2-1>0 m2-m-2<0 .1<m<2 即m的取值范围为(1,2) 16.答案：6-V2 2 (2) a4m∈[22-2,1 解析：(1)在△ADC中，∠ACD=30°，∠BAC=45°， AD 1 由正弦定理可得，sin30°sin(180°-75)’ 1 in30° 2 2 √6-2 AD= in75°sin(30°+45) 1x223 2 一X -X 2222 2不妨设∠4CD=a,则∠CBE=a,∠ADC=3弧-a,BE=cosa, 4 CD AC Sin 在△ACD中，由正弦定理 sin sin.乙ADc→CD= 4 3π sin( -a) 4 Sin c-cp-sin-ZACD C 4 2 BC.BE-sin.ZCBE BE 山2u82+任 m如 1+m2a+到c21+, S%4m∈「22-2， SABCE 1.答案：1由己知得nC+sn写1-cwc,即sn02m+小=2sm:号 2 由sinS≠0得2cosS+1=2simS,即sim号 2 2 --cos 229 两边平方整理得sin C 3 241 2.由si 2>0得sS即<C nC1 2-c0s 422 22 π， 则由s血C=得cosC=- 3 4 由a2+b2=4(a+b)-8得a-22+(b-2)2=0,则a=2,b=2, 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC=8+2√7，所以c=√7+1. 解析： 18.答案：(1) 5π 6 23 4 解析：(I)由正弦定理得√3 sin Asin B+sin Bcos A=0. 因为Be0,),所以，sB≠0，anA=- 3 因为在△ABC中，AE(0,),所以，A=5π 6 (2)由a=√7，b=√3及余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA. 得c2+3c-4=0,解得c=1或c=-4(舍) 所以.Sac=)besin=5xV5x1x-5 1 2 2 24 19.答案0-倍+经cz (2)f(x+x2)=-V5 (3)-3,0 解析：(1)f(x=4sinr OSx+ 2 -sinx -3=2sinxcosx+23sin'x-3 sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-v3cos2x=2sin 2x-3 令2x-=+kxk∈Z,解得x=5π+(k∈Z, 32 122 即f(x图象的对称轴为直线x=5亚+(k∈乙. 122 ②afi=2sn2x-号 由经得2x()作出函数✉在区问0上的大致医象知下 3 v=f(x) 122 由函数y=f(x+a(a∈R)在区间O, 上有两个零点x,和x2, 得5+5=2×没-g,则（出+）=/ 5π =2sin4=-V5 126 (3)设t=f(x),因为x [后，则2x号[后gm2x引[即-1 34 对任意x∈ π3π 34 ,不等式[f(x]'+mf(x)-4≤0恒成立， 等价于：对任意t∈[-1,2]，不等式t2+mt-4≤0恒成立. 令g(t)=P+mt-4,其图象为开口向上的抛物线，故其在区间[-1,2]上的最大值在端点处 取得， 所以要使gt)≤0在区间-1,2]上恒成立，只需 8(-1)≤0 g(2)≤0 4+m×2-4≤0解得-3≤m≤0，即实数m的取值范围是-3,0。 [1-m-4≤0 即 绝密★启用前 2025-2026年西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学高一下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．如图所示,观察四个几何体,其中判断错误的是(      ) A.不是棱台 B.不是圆台 C.不是棱锥 D.是棱柱 2．设，则(      ) A. B. C. D. 3．下列说法正确的是(   ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱上、下底面任意两点的连线均为母线 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 4．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则(      ) A. B. C. D. 5．在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则的取值范围为(      ) A. B. C. D. 6．已知的内角所对的边分别为,,,,若,（）,若与相交于点F,则当取最小值时,(      ) A. B. C. D. 7．已知函数在上单调递减,在上单调递增,则(      ) A. B. C.1 D. 8．已知平面向量,,满足,,,若,则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于斜二测画法,下列说法正确的是(      ) A.在原图中平行的直线,在对应的直观图中仍然平行 B.若一个多边形的面积为S,则在对应直观图中的面积为 C.一个梯形的直观图仍然是梯形 D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 10．已知i为虚数单位,复数z满足,则(      ) A.z的实部为3 B.z的虚部为 C. D.在复平面内对应的点在第四象限 11．设分别为的内角的对边,下列条件中可以判定一定为等腰三角形的有(      ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量,则______________. 13．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,点O为的外心,且,,则和面积之差的最大值为______. 14．函数（其中）的部分图象如图所示,则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（14分）已知复数,. （1）若z是纯虚数,求m的值; （2）若z在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围. 16．（15分）如图,在等腰中,,,D为边上的一动点,连接,作,垂足为E,且E在线段上(不包括端点C,D). (1)若,求的长度; (2)求的取值范围. 17．（16分）在中,角的对边分别是,已知. 1.求的值; 2.若,求边的值. 18．（16分）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知. (1)求角A的大小； (2)若,,求的面积. 19．（16分）已知函数. (1)求图象的对称轴； (2)若函数在区间上有两个零点和,求的值； (3)若对任意,不等式恒成立,求实数m的取值范围. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $