解三角形章节复习课 教学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《解三角形》章节复习课课堂学案 一、学习目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，能灵活进行边角互化。 2.掌握解三角形综合题的解题思路，体会方程思想、转化与化归思想的应用。 3,理解并会应用射影定理、奔驰定理、张角定理等二级结论简化问题。 4.能运用解三角形知识解决实际测量问题。 二、核心知识回顾 1.正弦定理 品=品=益c=2R 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, COSA=bite 2bc 3.三角形面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB 三、二级结论探究与应用 课前预习任务 请同学们预习以下三个定理，尝试自主证明，上课时小组交流。 (1)射影定理 在△ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,则 a bcosC+ccosB, b=CCosA+acosC,c=acosB+bcosA (2)奔驰定理 若0是△ABC内一点，记△BOC,△A0C,△A0B的面积分别为S4SB,Sc,则有 S4OA+Sg0i+Sc·O元=0 (3)张角定理 在△ABC中，若D是BC上一点，连AD,则有 sin BAD+sin CAD SinBAC AC AB AD 四、题组巩固重点内容 例1 在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c。 (1) 若已知sinA=V3sinB,csinA=3,C=若，求c的值。 (2) 若已知a+b=11,cosA=言，cosB=是，求△ABC的面积。 (3) 若已知asinB=V3 bcosA,又a=4,求△ABC周长的最大值。 五、典型例题驱动拓展 例2 记△ABC的内角AB,C的对边分别是a,b,c,己知b2=ac,点D在边AC上，BDsinzABC=asinC。 (1)证明：BD=b; (2)若AD=2DC,求cOs∠ABC 例3 设△ABC的内角AB,C所对的边长分别为a,b,c,若 b'sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC, 试判断△ABC的形状。 例4 已知点0是△ABC内的一点，若OA=O=2,∠A0B=餐，且 20A+30B+40元=0， 求△ABC的面积。 延伸思考：奔驰定理的证明思路是什么？ 例5 在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c,若B=弩，角B的平分线交AC于点D,且 BD=1,求△ABC面积的最小值。 七、课堂小结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.你学到了哪些数学思想方法？ 3.本节课你最大的收获是什么？还有哪些困惑？ 八、课后作业 基础作业 1.在△ABC中，已知a=7,b=5,c=3,求最大角的度数。 2.在△ABC中，已知a=4,b=5,C=60°，求c及△ABC的面积。 提升作业 1.在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,且acosB=bcosA,判断△ABC的形状。 2.在△ABC中，a,b,c分别为角AB,C的对边，且sin2A+sin2B=sin2C,判断△ABC的形状。 拓展作业（二选一） 1.查阅资料，完成奔驰定理的证明，并找一道用奔驰定理解决的题目。 2.找一个生活中的测量问题，设计测量方案并用解三角形知识求解。 《解三角形》章节复习课教学设计 一、教材分析 解三角形的内容是高中阶段三角函数知识的重要组成部分，涉及众多的三角应用知识和丰富的三角解题智慧。章节复习课教学是巩固知识、强化解题技能技巧的重要课型。本章节复习需要在覆盖全章节内容的前提下，关注重点数学概念的巩固与扩展、强化核心知识的理解与应用，并力求促进思维能力的提高，同时也是提升数学核心素养的重要时机。因此，数学章节复习课的教学设计，不应该是章节知识的罗列加配套例题的讲解与练习，更不能用高三复习课的教学模式来处理，需要在针对性、有效性和系统性上下功夫。首先要在深度理解本章节内容的基础上，对重点知识进行纵向勾连，将本章节内容融合到整个数学教学体系中；其次是探究本章节知识的广泛应用，在具体求解问题过程中体现出相关知识本质特性和核心用途；再次是进一步延展本章节知识，充分理解本章节相关知识在不同侧面和不同角度的不同解释，使关键知识点发挥最大程度的用途。 二、学情分析 授课对象为高一学生，他们已经学习了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等解三角形的核心知识，具备一定的代数运算和逻辑推理能力。但在解三角形综合问题中，学生常常存在以下困难：边角互化不够灵活，不知何时用正弦定理、何时用余弦定理；面对含有多条件的解三角形问题时，不知如何建立方程；对三角形中的特殊线段（中线、角平分线等）问题缺乏有效方法；对三角形中的二级结论（射影定理、张角定理等）缺乏了解。因此，本节课通过题组巩固、典型例题拓展、二级结论应用三个环节，帮助学生系统掌握解三角形的核心知识与解题方法。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻章节复习课教学理念，通过“题组巩固—典型例题—二级结论应用”三环节，贯彻以教师引导、学生主动探究为主体的教学思想” 1. 转化与化归思想：将边角关系转化为代数方程，将三角形问题转化为三角函数问题。 1. 方程思想：通过建立方程求解三角形的边和角。 1. 数形结合思想：结合图形分析三角形中的几何关系（如中线、角平分线、互补角等）。 1. 整体思想：在求周长最值等问题中，运用整体代换和基本不等式。 1. 二级结论应用：通过射影定理、奔驰定理、张角定理等简化问题求解。 1. 教学方法：采用“题组巩固—典型例题—二级结论应用”三环节教学模式，通过层次化的问题设计，引导学生系统掌握解三角形的核心知识与解题方法。 四、核心素养目标 数学抽象：能从具体问题中抽象出三角形中的边角关系，建立方程模型。 逻辑推理：能通过正弦定理、余弦定理进行边角互化，能分析三角形中的几何关系进行推理。 数学建模：能将实际问题（如测量问题）转化为解三角形模型。 直观想象：借助图形分析三角形中的特殊线段和几何关系。 数学运算：能熟练运用正弦定理、余弦定理进行边角计算，能运用基本不等式求最值。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 正弦定理、余弦定理的灵活应用及边角互化。 1. 三角形中特殊线段（中线、角平分线）问题的处理方法。 1. 三角形中最值问题的求解策略（基本不等式、函数思想）。 教学难点： 1. 复杂图形中边角关系的转化与方程建立。 1. 利用二级结论（射影定理、奔驰定理、张角定理）简化问题。 1. 三角形中最值问题的整体处理。 六、学法分析 1. 题组训练：通过三个层次的小题，巩固正弦定理、余弦定理、面积公式等核心知识。 1. 典型例题：通过一道高考题的深入分析，掌握解三角形综合题的解题思路。 1. 二级结论探究：课前预习射影定理、奔驰定理、张角定理的证明，课堂小组交流。 1. 合作探究：在例题分析和二级结论应用环节，小组讨论、互相启发。 1. 板演展示：在题组巩固环节，学生板演，暴露思维过程。 七、教学过程 一、题组巩固重点内容 运用题组练习是数学课中经常采用的训练模式，也是多侧面、立体化巩固知识点的重要手段。由于解三角形的内容是高中阶段三角函数知识的终极内容，涉及众多的三角应用知识和丰富的三角解题智慧，所以必须通过多个典型小题回顾重点内容、夯实基本技能、提升核心素养。 例1 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。 （1）若已知，，，求c的值； 分析：本题是解三角形中的求边问题，主要考查正、余弦定理的应用与边角关系的转化。 学生板演：请一位学生上台板演，其余学生在练习本上完成。 解： 由和余弦定理得 由及正弦定理得。 代入得 两边乘以得，即，所以。 则，。 再由，得 解得。 故，，。 （2）若已知，，，求△ABC的面积； 分析：本题注重解三角形知识与三角函数知识的融合。 学生板演：请另一位学生上台板演。 解： 由，且，得 由，且，得 由正弦定理及得 又 所以 （3）若已知，又，求△ABC周长的最大值。 分析：本题是一个比较综合的问题，具有一定的难度，需要整体思考、全面分析。 解： 在△ABC中，由正弦定理代入得 因为，所以，即 所以。 又，由余弦定理得 设，则，代入得 所以。 由基本不等式，，所以 所以周长，即所求最大值为12。 评注：此题组中的三个小题具有代表性，也是通过本章节知识的学习应该能够掌握的问题。通过此题组的引导训练，让学生清醒地认识到此阶段学习的深度和难度。 设计意图：通过三个层次的小题（基础求值、综合求值、最值问题），系统巩固正弦定理、余弦定理、面积公式等核心知识。学生板演环节暴露思维过程，便于教师诊断和针对性指导。 二、典型例题驱动拓展 章节复习课有别于一般内容的小结与知识归纳，需要将本章节知识融合到整个学期或学年的教学规划中，应该体现出本章节内容与教学计划的整体性和延续性，所以必须将相关知识与课本中的已经学过的知识进行综合，使之形成知识板块；同时将一些典型解题模式进行固化，进而形成有效的解题经验，以便应对各种千变万化的题型。 例2 记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知，点D在边AC上，。 （1）证明：； （2）若，求。 分析：本题是2021年数学高考题，考查解三角形与图形分析的综合能力。 解： （1）证明： 在△ABC中，由正弦定理得 由已知条件，即 由正弦定理，，，代入得 （*） 又由正弦定理，，，所以 由，可得。结合正弦定理，有 在△ABD中，由正弦定理得； 在△BDC中，由正弦定理得。 结合，即，以及，，可得 又由得，结合正弦定理可得。 （注：完整推导可结合(*)式及正弦定理逐步推出。） （2）解： 由点D在边AC上，且，可得 在△ABD和△BDC中，分别由余弦定理得： 即 分析两个相邻三角形可知（补角关系）。 由(1) + (2)×2得： 由于，所以 所以 即 又已知，代入得 整理得 解得或。 若，则，即。此时 有，与三角形两边之和大于第三边矛盾，舍去。 所以，则 于是 故。 评注：本题是解决关于三角形图形的综合题。从分析图形特点出发，充分挖掘问题内涵，其中的倍分线段问题隐含着两相邻角互补结论及两小三角形面积与大三角形面积的等量关系，将应对这些三角形中的特殊线段的求解思路充分展示出来，进一步提高思维的宽度。而通过本题的分析求解应该使学生明白，对于解决比较复杂的解三角形问题，一些代数化简方法和求解措施必须得到灵活运用，如本解法中的方程思想就是重要的解题策略。 设计意图：通过一道高考题的深入分析，让学生掌握解三角形综合题的解题思路，体会方程思想在解题中的应用，培养分析图形、挖掘隐含条件的能力。 三、发掘结论强化应用 对于解三角形的研究，有丰富且有价值的结论，其中有许多适用于高中数学问题的解决。如果能够熟悉并理解一些用途广泛的结论，对迅速破解相关解三角形问题是很有帮助的。在章节复习课中，如果有目的地精选一些二级结论并探讨定理的证明，再通过配备对应例题强化其应用，不但能提高学生的学习兴趣，且能使学生获得更多的解题方法和分析思考的经验。 二级结论介绍（课前预习任务） 课前任务：请同学们预习以下三个定理，尝试自主证明，上课时小组交流。 （1）射影定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则 （2）奔驰定理：若O是△ABC内一点，记△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为，则有 （3）张角定理：在△ABC中，若D是BC上一点，连AD，则有 课堂活动：小组交流预习成果，分享证明思路，教师点评总结。 例3 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若，试判断△ABC的形状。 分析：本题可通过射影定理巧妙求解。 解： 因为，，则题设等式可变形为： 根据射影定理知，，所以 因此，故△ABC是直角三角形。 评注：射影定理揭示了三角形中的边与角的内在关系，常与正、余弦定理配合使用。 例4 已知点O是△ABC内的一点，若，，且，求△ABC的面积。 分析：本题可通过奔驰定理转化为三角形面积问题。 解： 由于，，所以 又，根据奔驰定理可得 由，可得 所以 评注：奔驰定理是三个小三角形面积与三个对应向量的组合关系，若知道面积关系就能得到向量关系，同样若已知向量关系，也就可转化为三个小三角形的面积关系。 延伸思考：奔驰定理的证明思路是什么？请同学们课后查阅资料，尝试证明。 例5 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，角B的平分线交AC于点D，且，求△ABC面积的最小值。 分析：本题可通过张角定理解决。 解： 由于BD平分，，所以 根据张角定理： 代入，，得 两边除以得 由基本不等式，，即，所以。 于是 故△ABC面积的最小值为。 评注：应用张角定理解决三角形中的某些已知角的平分线问题思路明晰、效果显著。 设计意图：通过三个二级结论的证明（课前预习）和应用，让学生体会二级结论在解题中的简化作用，培养归纳总结和灵活应用的能力。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 正弦定理、余弦定理的灵活应用及边角互化。 三角形中最值问题的求解策略（基本不等式、方程思想）。 射影定理、奔驰定理、张角定理及其应用。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 转化与化归、方程思想、数形结合、整体思想。 1. 本节课你最大的收获是什么？还有哪些困惑？ 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化对数学思想方法的认识。第三个问题引导学生进行元认知反思。 八、板书设计 解三角形（章节复习） 核心结论 一、题组巩固 正弦定理 题(1)：边角互化 题(2)：三角恒等+方程 余弦定理 题(3)：最值+基本不等式 二、典型例题 方程思想 倍分线段→互补角 列方程求解 三、二级结论 射影定理 射影定理（课前预习） 奔驰定理（课前预习） 张角定理 张角定理（课前预习） 四、实际应用 数学建模 学科网（北京）股份有限公司 $