拓展04 三角形与平面向量的交汇问题4考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展04 三角形与平面向量的交汇问题 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，三角形与平面向量的交汇问题是综合性较强的高频考点，主要考查学生对向量运算（如数量积、线性组合）与三角形基本定理（正弦定理、余弦定理、面积公式）的融合应用能力。这类问题常以三角形的边、角、面积为载体，结合向量的坐标表示、几何意义或运算律，要求学生通过代数变形、几何分析或函数思想建立两者的联系，综合体现数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养。 【处理角度】 1.向量代数化角度：将向量问题转化为坐标运算，利用向量的坐标表示（如设点坐标）将三角形的边、角关系转化为代数方程，结合正弦定理或余弦定理求解。 2.几何意义角度：利用向量的几何属性（如模长对应边长、数量积对应投影）直接关联三角形的边、角或面积，通过几何图形的直观性简化问题。 3.定理联动角度：以正弦定理、余弦定理为桥梁，建立向量表达式与三角形边、角之间的等式，通过三角恒等变换或不等式放缩求解范围或最值。 【解法策略】 1. 向量与正弦定理交汇 适用题型：涉及向量模长、夹角与三角形外接圆半径、边角比例关系的问题，或向量表达式可转化为三角形边角关系的题目。 策略分析： ①将向量的模长或数量积转化为三角形的边长或角度，利用正弦定理建立边与角的比例关系。 ②通过向量共线、垂直等条件构造三角形的角关系，结合正弦定理化简表达式，求解角度或边长。 2. 向量与余弦定理交汇 适用题型：向量表达式中含模长平方、数量积，或需结合三角形三边关系的问题。 策略分析： ①利用向量模长的平方等于向量自身的数量积，将向量表达式转化为边长的平方和或数量积形式。 ②通过余弦定理建立边长与角度的联系，代入向量条件后化简求解，尤其适用于含向量线性组合的问题。 3. 向量与正弦定理、余弦定理交汇 适用题型：复杂综合题，需同时利用正弦定理和余弦定理，结合向量的线性运算（如基底表示、向量分解）或数量积性质求解。 策略分析： ①以三角形的两边为基底表示第三边向量，结合向量运算律（如分配律）展开表达式，再利用正弦定理统一边角变量，或通过余弦定理消元。 ②利用向量的几何意义（如重心、中线向量）结合三角形特殊点的性质（如重心分中线为 2:1），联立定理求解。 4. 向量与三角形面积交汇 适用题型：涉及向量数量积与三角形面积公式（\(S=\frac{1}{2}ab\sin C\)）结合的问题，或向量表达式可关联面积比例、高、投影的题目。 策略分析： ①将向量数量积与面积公式结合，通过同角三角函数基本关系建立联系，或利用投影（如高）的几何意义转化面积。 ②通过向量的线性组合表示三角形的边或高，结合面积分割法（如中线分面积为相等两部分）建立方程，求解面积的最值或比例关系。 考点1 向量与正弦定理交汇 1．（2025高三·全国月考）已知三点均在圆上，为弦的两个三等分点，若，且.，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积公式及运算律计算结合二倍角的正弦公式化简，最后应用正弦定理求解. 【解析】设弦中点为，利用中线的向量特点: ， 两式相减即得: 同理可以得到: 两个式子结合一下就可以得到，另外， 则有， 则， 由正弦定理可知，， 故选：. 2．（2024高三·全国月考）设向量，，满足，，，则的最大值等于 . 【答案】2 【分析】令，，，可得，，所以，，，共圆，由正弦定理可得圆的直径，从而可得，当为直径时最大，即可求解. 【解析】由题设，，而，则， 令，，，则，， 又，如下图示：    所以，，则， 故，，，共圆， 而，即， 故外接圆直径， 对于，当为直径时最大，即. 故答案为：. 3．（2024高二·贵州月考）在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出四边形的外接圆，结合圆的几何性质转化所求数量积，利用基本不等式求最值. 【解析】如图，    由题意知，为四边形外接圆的直径，由可知， ，设， 所以垂直平分于点, 由正弦定理，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用所给条件恰当转化，利用已知及角转化为三角函数式子求最值，变形后利用基本不等式得最值，本题思路比较难寻，需要一定创造力. 4．（2025高一·全国月考）向量满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，，，则由已知条件可得，，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合图形可求得结果． 【解析】令，，， 则， 因为，，所以． 因为，所以． 所以过，，的圆的半径， 连接交于点，连接， 则， ， 所以， 所以的最大值为． 故答案为： 5．（2025高三·山西月考）在半径为2的圆上任取三个不同的点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理确定，设，再结合正弦定理求得，由平面向量数量积的定义进一步可求解. 【解析】在中，由正弦定理，得，即， 所以，又，所以或. 当时，设，则， 由， 得， 所以， 由，得，所以， 即； 当时，. 综上所述，的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理和三角恒等变换以及正弦函数的性质. 6．（2024·北京朝阳·模拟预测）在三角形ABC中，，设，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△、△及△中，由正弦定理可得，，从而，再由知D、E是BC的三等分点，得，化简即得求解. 【解析】设则， 设，∵，∴， 在△与△中 由正弦定理，得， 即；， ∴① 在△与△中 由正弦定理，得， 即；， ∴② 由①②，得， ∴，    故选：B. 考点2 向量与余弦定理交汇 7．（2025高三·四川乐山·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【解析】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 8．（2025高一·湖北武汉月考）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理进行边角互化，再由余弦定理求出角，再把变形然后平方，转化成边的关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【解析】因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可知，因为，所以. 因为，所以， 将上式两边平方可得， 即 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：把变形为然后再平方，转化成边的关系； 关键二： 把转化成. 9．（2025高三·广东月考）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】用、作为基底表示出、，根据数量积的运算律及余弦定理得到，即可得解. 【解析】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 考点3 向量与正向定理、余弦定理交汇 10．（2025高一·浙江衢州·期中）设为的重心，满足.若，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】连接，延长交于，根据重心的性质和题意可知，由双余弦定理，再根据，可知，再根据三角形内角的关系和正弦定理可知，再结合余弦定理，即可求出结果. 【解析】如图，连接，延长交于， 由于为重心，故为中点，因为，所以，所以， 由重心的性质得，，即， 由余弦定理得，,， 因为，所以， 则, 又因为，， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：连接，延长交于，根据重心的性质和题意可知，由双余弦定理，再根据，可知，是解决本题的关键. 11．（2025高一·安徽六安·期末）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件依次可求得边和角的三角函数值，从而将向量等式化简，利用平面向量基本定理得到，最后利用常值代换法即可求得. 【解析】由①，由和正弦定理可得②， 把②代入①可得，， 又由可得代入①可得，， 则角是锐角，，代入①可得，， 又由余弦定理，得， 于是，，因为线段上的一点，则， 因， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正、余弦定理，平面向量基本定理和向量数量积运算，以及基本不等式得应用，属于难题.解决此类题，一般从各个边、角的等式转化入手，运用相关公式或定理各个击破，得出一系列信息，最后借助于主干条件，如此题的得出，从而使问题得解. 12．（2025·江苏盐城·模拟预测）记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解. 【解析】由及正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，，∵，∴． 由，， 两边平方，得 即 ， 当且仅当，即时取等号，即， ∴线段CD长度的最小值为． 故选：D．    考点4 向量与三角形面积交汇 13．（2025高一·福建厦门月考）已知的面积为9，，过D分别作于E，于F，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用    求出、的面积，结合向量数量积与三角形面积消去得，由此求得角的值. 【解析】因为，所以， 又的面积为9，所以，， 所以，，所以，， 所以，所以， 而，所以， 所以，又，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算、二倍角公式求解，考查整体与部分的思想.，属于中档题. 14．（2025·陕西渭南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【解析】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 15．（2025高一·四川成都·期中）中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由得，利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可求解. 【解析】由，得，又，所以， 设，因为， 所以， 则，两边平方得，即， 则，当且仅当即时，等号成立， 故面积的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是找到的等量关系，从而利用基本不等式求解乘积的范围求解面积的范围，面积分割法是解决此类问题的关键. 16．（2025高一·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则 . 【答案】 【分析】由求出，求出，根据求出，再由可得答案. 【解析】 因为中为锐角三角形，所以分别在之间， 因为，， ，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算，同角三角函数的基本关系式求解，考查整体与部分的思想. 17．（2024高二·浙江杭州月考）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为， 则的值为 . 【答案】 【分析】首先得出，然后根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【解析】， 所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是根据余弦定理得出，结合三角形公式即可顺利得解. 1．（2025·山西忻州·模拟预测）在中，分别是角的对边，且，，，． (1)求角C； (2)求的面积； (3)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式即可求解； （3）由投影向量的计算公式即可求解. 【解析】（1）由正弦定理，得， 因为，所以， 所以，得， 因为，所以． （2）由余弦定理得， 因为，，，代入整理得， 解得（舍去）， 所以的面积． （3）因为， ， 所以向量在向量上的投影向量的模为． 2．（2025·天津河西·模拟预测）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【分析】（1）首先利用基底法表示数量积，再结合四边形面积公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根据第一问的过程，结合投影向量公式，可以求，，再代入数量积公式，即可求解. 【解析】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 3．【多选】（2025高一·江苏镇江·期中）在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D． 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的坐标运算、余弦定理可判断A；利用正弦定理、两角和的正弦展开式可判断B；求出的取值范围，由正弦的二倍角公式可判断C；求出的范围可判断D. 【解析】对于A，因为向量，，且，所以， 由余弦定理得， 即，又因为为锐角三角形，所以， 所以，故A错误； 对于B，由正弦定理、得 ， 因为在锐角中，， 所以，可得，故B正确； 对于C，因为，所以，， 可得，由正弦定理可得，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 4．【多选】（2025高一·广东广州月考）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，对已知的式子根据数量积定义展开，结合正弦定理和同角三角函数的关系可求出进行判断，对于B，先求出，然后利用两角和的正切公式求出，从而可求出进行判断，对于C，先利用同角三角函数的关系求出，再利用正弦定理求出，从而根据投影向量的定义可求出在方向上的投影向量，对于D，先利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出，从而可求出进行判断. 【解析】对于A，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即， 由正弦定理得，，即， 则为锐角，由， 解得，，A选项正确， 对于B，由A选项和题干可知，， 所以， 故，B选项正确. 对于C，在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. 对于D，由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：ABC 5．（2025高一·河南月考）在中，内角、、所对的边分别为、、，其中，设向量，. (1)若， （i）求； （ii）设点为所在平面内一点，且满足，求． (2)若，求内切圆面积的最大值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）由平面向量数量积的坐标运算结合两角和的余弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （ii）利用平面向量数量积的运算性质可得出，可知为的外心，利用 正弦定理可求得的值； （2）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，利用切线长定理可得出的内切圆半径为，利用基本不等式求出的最小值，再结合圆的面积公式可求得内切圆面积的最小值. 【解析】（1）（i）因为， 所以， 解得， 又因为，所以． （ii）由， 得， 解得，，即，可知为的外心． 由正弦定理得，所以． （2）由及正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为、、，所以，，则， 所以，． 设内切圆半径为，如图，设的内切圆分别切边、、于点、、， 由切线长定理可得，，， 由圆的切线的性质可知，，且，， 故四边形为正方形，所以，， 所以，， 则 又， 当且仅当时，即当时等号成立， 所以，的内切圆面积， 即的内切圆面积的最大值是． 6．（2025·贵州毕节·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角A； (2)若的面积为，求a的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据两个向量垂直的条件，算出，结合正弦定理推导出，进而求出，可得角的大小； （2）根据，利用三角形的面积公式推导出，然后根据余弦定理与基本不等式算出的最小值，进而可得本题的答案． 【解析】（1），， 又结合正弦定理可得：， ，，， ，． （2）由（1）可知，， ，， 由（当且仅当时取等）， ，即a的最小值为2. 7．（2025高一·天津静海·期中）在中，，，所对的边分别为，，，已知，向量，，且． (1)求的值； (2)求周长的最大值； (3)若的平分线与边相交于点，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案. （2）由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的最大值； （3）先应用余弦定理计算得出，结合角平分线应用面积公式计算得出，再求出进而得出面积. 【解析】（1）∵，∴， 由正弦定理，得． 又，∴， 由于，∴． （2）∵，， 由正弦定理，得，． ． ∵，∴，则． ∴当，时，∴，则． 故周长的最大值为． （3）根据余弦定理， 的平分线与边相交于点，， 所以， 所以的面积为， 所以，所以，所以， 所以或舍， 所以的面积为. 8．（2025高一·上海·期中）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在点 【分析】（1）先把函数展开化简成的形式，根据相伴向量定义，得出. （2）先化简，由求出的值.再用正弦定理得到、关于角的表达式，进而得出关于角的式子，化简为.根据的范围确定的范围，找到取最值时的值，从而得到的最值，确定其取值范围. （3）本题先根据已知函数求出，进而得到点坐标，再根据、坐标得出向量与.因为，利用向量垂直性质得到等式，展开后变形得到.接着分析取值范围，得出取值范围，又知的最大值，找到使两者相等时的值，从而确定点坐标，判断是否存在满足条件的点. 【解析】（1） 所以函数的相伴向量； （2）由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 （3）由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. 9．（2025·山东·模拟预测）已知向量，向量，与垂直，，B，C为的内角，且A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)求A； (2)若角A的平分线交BC于点D，，求AD的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再结合余弦定理可得，即可得结果； （2）根据题意结合面积关系可得，再利用基本不等式分析求解. 【解析】（1）因为与垂直，所以， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 且，所以. （2）因为为的角平分线，则， 由可得 整理得，又因为， 可得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展04 三角形与平面向量的交汇问题 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，三角形与平面向量的交汇问题是综合性较强的高频考点，主要考查学生对向量运算（如数量积、线性组合）与三角形基本定理（正弦定理、余弦定理、面积公式）的融合应用能力。这类问题常以三角形的边、角、面积为载体，结合向量的坐标表示、几何意义或运算律，要求学生通过代数变形、几何分析或函数思想建立两者的联系，综合体现数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养。 【处理角度】 1.向量代数化角度：将向量问题转化为坐标运算，利用向量的坐标表示（如设点坐标）将三角形的边、角关系转化为代数方程，结合正弦定理或余弦定理求解。 2.几何意义角度：利用向量的几何属性（如模长对应边长、数量积对应投影）直接关联三角形的边、角或面积，通过几何图形的直观性简化问题。 3.定理联动角度：以正弦定理、余弦定理为桥梁，建立向量表达式与三角形边、角之间的等式，通过三角恒等变换或不等式放缩求解范围或最值。 【解法策略】 1. 向量与正弦定理交汇 适用题型：涉及向量模长、夹角与三角形外接圆半径、边角比例关系的问题，或向量表达式可转化为三角形边角关系的题目。 策略分析： ①将向量的模长或数量积转化为三角形的边长或角度，利用正弦定理建立边与角的比例关系。 ②通过向量共线、垂直等条件构造三角形的角关系，结合正弦定理化简表达式，求解角度或边长。 2. 向量与余弦定理交汇 适用题型：向量表达式中含模长平方、数量积，或需结合三角形三边关系的问题。 策略分析： ①利用向量模长的平方等于向量自身的数量积，将向量表达式转化为边长的平方和或数量积形式。 ②通过余弦定理建立边长与角度的联系，代入向量条件后化简求解，尤其适用于含向量线性组合的问题。 3. 向量与正弦定理、余弦定理交汇 适用题型：复杂综合题，需同时利用正弦定理和余弦定理，结合向量的线性运算（如基底表示、向量分解）或数量积性质求解。 策略分析： ①以三角形的两边为基底表示第三边向量，结合向量运算律（如分配律）展开表达式，再利用正弦定理统一边角变量，或通过余弦定理消元。 ②利用向量的几何意义（如重心、中线向量）结合三角形特殊点的性质（如重心分中线为 2:1），联立定理求解。 4. 向量与三角形面积交汇 适用题型：涉及向量数量积与三角形面积公式（\(S=\frac{1}{2}ab\sin C\)）结合的问题，或向量表达式可关联面积比例、高、投影的题目。 策略分析： ①将向量数量积与面积公式结合，通过同角三角函数基本关系建立联系，或利用投影（如高）的几何意义转化面积。 ②通过向量的线性组合表示三角形的边或高，结合面积分割法（如中线分面积为相等两部分）建立方程，求解面积的最值或比例关系。 考点1 向量与正弦定理交汇 1．（2025高三·全国月考）已知三点均在圆上，为弦的两个三等分点，若，且.，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国月考）设向量，，满足，，，则的最大值等于 . 3．（2024高二·贵州月考）在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国月考）向量满足，则的最大值为 ． 5．（2025高三·山西月考）在半径为2的圆上任取三个不同的点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京朝阳·模拟预测）在三角形ABC中，，设，，则（   ）    A． B． C． D． 考点2 向量与余弦定理交汇 7．（2025高三·四川乐山·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2025高一·湖北武汉月考）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2025高三·广东月考）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 考点3 向量与正向定理、余弦定理交汇 10．（2025高一·浙江衢州·期中）设为的重心，满足.若，则实数的值为 . 11．（2025高一·安徽六安·期末）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏盐城·模拟预测）记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 考点4 向量与三角形面积交汇 13．（2025高一·福建厦门月考）已知的面积为9，，过D分别作于E，于F，且，则 . 14．（2025·陕西渭南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 15．（2025高一·四川成都·期中）中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为 . 16．（2025高一·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则 . 17．（2024高二·浙江杭州月考）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为， 则的值为 . 1．（2025·山西忻州·模拟预测）在中，分别是角的对边，且，，，． (1)求角C； (2)求的面积； (3)求向量在向量上的投影向量的模． 2．（2025·天津河西·模拟预测）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 3．【多选】（2025高一·江苏镇江·期中）在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D． 4．【多选】（2025高一·广东广州月考）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 5．（2025高一·河南月考）在中，内角、、所对的边分别为、、，其中，设向量，. (1)若， （i）求； （ii）设点为所在平面内一点，且满足，求． (2)若，求内切圆面积的最大值． 6．（2025·贵州毕节·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角A； (2)若的面积为，求a的最小值． 7．（2025高一·天津静海·期中）在中，，，所对的边分别为，，，已知，向量，，且． (1)求的值； (2)求周长的最大值； (3)若的平分线与边相交于点，，求的面积． 8．（2025高一·上海·期中）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 9．（2025·山东·模拟预测）已知向量，向量，与垂直，，B，C为的内角，且A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)求A； (2)若角A的平分线交BC于点D，，求AD的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$