精品解析：湖南株洲市第一中学2026年普通高中学业水平合格性考试第一次模拟数学

2026年高中学业水平考试第一次模拟测试 数学 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的选项之中，只有一个答案符合题意． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 函数的定义域为 A. (，) B. (1，) C. (，1) D. (﹣8，1) 5. 若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，为异面直线 C. 若，，则 D. 若，，，，则 7. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题错误的是（ ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若 ，则” B. 若为假命题，则、至少有一个为假命题 C. 对于命题：，使得，则： ，均有 D. “”是“”的充分不必要条件 12. 已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 在中，，，，此三角形的解的情况是 A. 无解 B. 一解 C. 二解 D. 不能确定 14. 如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是 A. B. C. D. 15. 下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 16. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A. 1000 B. 900 C. 800 D. 700 17. 已知，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 以上选项都不对 18. 下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型的是（ ） A. 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B. 我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系 C. 如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D. 信件的邮资与其质量间的函数关系 二、填空题：共4道小题，每小题4分，共16分 19. 指数函数的图象过点，那么＝________. 20. 已知向量，则________． 21. 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________ 22. 下列命题： ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②任取，均有； ③在同一坐标系中，与的图象关于轴对称； ④在上是减函数． 其中正确的命题的序号是________． 三、解答题：共3道小题，每题10分，共30分 23. 如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点． （1）求证：∥平面； （2）若三棱锥的体积为，求的长． 24. “砥砺奋进的五年”，长沙市经济社会发展取得新成就．自2012年以来，长沙市城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升．下图是长沙市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，长沙城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）． （1）求2012-2016五年城镇居民收入实际增速的中位数和农村居民收入实际增速的平均值； （2）从2012-2016五年中任选二年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率； 25. 已知函数，． （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高中学业水平考试第一次模拟测试 数学 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的选项之中，只有一个答案符合题意． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式将B集合化简，根据交集的定义计算结果． 【详解】因为， 故． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式得到答案. 【详解】根据存在量词命题的否定形式可知， 命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据古典概型公式计算得到答案. 【详解】把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为. 故选：. 【点睛】本题考查了古典概型，意在考查学生的计算能力. 4. 函数的定义域为 A. (，) B. (1，) C. (，1) D. (﹣8，1) 【答案】B 【解析】 【分析】 利用对数的真数大于零可得出关于的不等式，解出即可得出该函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为. 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数的定义域，解题时要对底数和真数进行限制，考查运算求解能力，属于基础题. 5. 若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为 【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限．故选D. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题． 6. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，为异面直线 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行、垂直的性质，面面平行的判定定理，即可得出结论. 【详解】解：对于A，可能，故A不正确； 对于B，，的位置可能是平行直线，可能是相交直线，也可能是异面直线，故B不正确； 对于C，由垂直于同一平面的两条直线平行，得出，所以C正确； 对于D，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，故D不正确. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中的线线、线面、面面的平行或垂直关系，属于基础题. 7. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值. 【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题. 8. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义算出即可 【详解】因为角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 所以 故选：A 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 9. 下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特值法进行排除，利用不等式的性质进行判断. 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误； 对于B，当时，，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，若，式子显然不成立，故D错误. 故选：C. 10. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出变换后的函数解析式，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数， 其最小正周期. 故选：D. 11. 下列命题错误的是（ ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若 ，则” B. 若为假命题，则、至少有一个为假命题 C. 对于命题：，使得，则： ，均有 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义,可判断A;根据复合命题中“且”命题真假判定可判断B；根据特称命题的否定可判断C；由充分必要条件的性质可判断D. 【详解】对于A,由逆否命题定义可知, “若,则”的逆否命题为“若 ,则”,所以A正确; 对于B,由复合命题可知, 若为假命题,则、至少有一个为假命题,所以B正确; 对于C, 命题：,使得则： ,均有,所以C错误; 对于D,解不等式可得或.所以“”是“”的充分不必要条件为真命题,即D正确. 综上可知,错误的为C 故选:C 【点睛】本题考查了四种命题的关系,复合命题真假的判断及性质,含有一个量词的命题的否定,充分必要条件的判断,属于基础题. 12. 已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式变形求得，应用余弦定理得关系，然后结合基本不等式得结论． 【详解】由得：，，，所以， 由余弦定理有， 即，所以， 故选：B． 13. 在中，，，，此三角形的解的情况是 A. 无解 B. 一解 C. 二解 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 由余弦定理可得边的值，进而得到答案． 【详解】解：由余弦定理可得：， 因为，，， 所以， 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题． 14. 如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，所以，故选A． 15. 下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论. 【详解】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确； 对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误； 对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误； 对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误. 故选：A. 16. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A. 1000 B. 900 C. 800 D. 700 【答案】D 【解析】 【分析】先根据学校中每人被抽中的概率都是，求出全校的总人数，然后利用各年级人数所占的比例可求出该校高二年级的人数. 【详解】因为从全校学生中随机抽取400名学生组成志愿者，且每人被抽中的概率都是， 所以全校的总人数为人， 因为高一、高二、高三的人数之比为， 所以该校高二年级的人数为人. 故选：D 17. 已知，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 以上选项都不对 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系. 【详解】由题得， 所以. , , 所以. 故选B 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型的是（ ） A. 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B. 我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系 C. 如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D. 信件的邮资与其质量间的函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断四个选项中的函数模型，即可判断得到答案. 【详解】竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面， 信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系，A错； 我国人口年自然增长率为， 这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系，B正确； 如果某人内骑车行进了， 那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系是反比例函数关系，C错； 信件的邮资与其质量间的函数关系是一次函数关系，D错. 故选：B 二、填空题：共4道小题，每小题4分，共16分 19. 指数函数的图象过点，那么＝________. 【答案】64 【解析】 【分析】设（且），代入点的坐标，求出，从而求出. 【详解】设（且），又，解得， ∴. 故答案为：64 20. 已知向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的计算公式和向量模的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以 21. 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数的求法求解即可. 【详解】由图可知，众数为. 故答案为：. 22. 下列命题： ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②任取，均有； ③在同一坐标系中，与的图象关于轴对称； ④在上是减函数． 其中正确的命题的序号是________． 【答案】② ③ 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性,即可分析各个选项. 【详解】对于①,偶函数图象关于轴对称即可,不一定和轴有交点,所以①错误; 对于②,当时, 成立,所以②正确; 对于③,在同一坐标系中,由图象可知与关于轴对称,所以③正确; 对于④,在上是减函数,在上是减函数,但不满足在上是减函数,且单调区间不能用并集符号表示,所以④错误; 综上可知正确的命题序号是②③ 故答案为: ②③ 【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质及简单应用,函数单调性的性质及写法,属于基础题. 三、解答题：共3道小题，每题10分，共30分 23. 如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点． （1）求证：∥平面； （2）若三棱锥的体积为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面； （2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：连接． ∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面； 【小问2详解】 取中点F，连接． ∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形． 又平面，∴平面，，点E是的中点， ∴，∴． 24. “砥砺奋进的五年”，长沙市经济社会发展取得新成就．自2012年以来，长沙市城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升．下图是长沙市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，长沙城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）． （1）求2012-2016五年城镇居民收入实际增速的中位数和农村居民收入实际增速的平均值； （2）从2012-2016五年中任选二年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由统计图表中的数据，结合中位数和平均数的计算公式，即可求解； （2）求得从2012~2016五年中任选两年，共有种不同的选法，根据统计图表中的数据，结合对立事件和古典概型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由统计图表中的数据得， 从2012-2016五年城镇居民收入实际增速的数据分别为： ， 将数据从小到大排列，可得 所以城镇居民收入实际增速的中位数为； 又由从2012-2016五年农村居民收入实际增速分别为：， 所以农村居民收入实际增速的平均值为. 【小问2详解】 解：从2012~2016五年中任选两年，共有种不同的选法， 其中农村和城镇居民收入实际增速均超过的年份有： 2012年（农村，城镇），2013年（农村，城镇 ）， 2014年（农村，城镇）， “至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过”的对立事件为： “两年均不满足该条件，”即“两年都从2015年和2016年中选”，有种选法， 所以，满足“至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过”有种， 所以“至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过”的概率为. 25. 已知函数，． （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，从而问题转化为当时，恒成立，分、、进行解答即可； （2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理结合函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为，恒成立，所以当时，恒成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，在单调递减，则，即， 综上所述，实数的取值范围为． 【小问2详解】 函数的图象在区间上连续不断． ①当时，因为与在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增． 因为，， 所以， 根据函数零点存在定理，存在，使得， 所以在区间上有且只有一个零点； ②当时，因为单调递增，所以， 因为，所以，所以在区间上没有零点． 综上，有且只有一个零点． 因为，即， 所以，， 因为在区间上单调递减，所以， 所以． 【点睛】关键点睛： 第二问对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $