精品解析：四川广元市昭化区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

昭化区2026年春八年级期中测试数学试卷 用时：120分钟 总分：150分 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 使式子有意义的实数的取值范围是( ) A. ≥0 B. C. D. 2. 计算的结果是（　　） A. B. 4 C. D. 16 3. 如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地，已知点，分别是边，的中点，量得米．他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的总长为（ ） A. 10米 B. 13米 C. 23米 D. 25米 4. 若，则x应满足的条件为（　　） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 7. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 30 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则x满足的条件是____． 12. 若正方形的周长为40，则其对角线长为_____． 13. 已知，为实数，且，则的值是______． 14. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 15. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 16. 在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是___． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，且，求的平方根． 19. 如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． （1）求这架云梯顶端A处的高度； （2）当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 20. 观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … （1）由上述三个算式，可得________； （2）请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； （3）请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 21. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 22. 如图，在中，于点E． （1）尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； （2）求证：四边形是矩形． 23. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 24. 在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接如图1． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，过点C作的垂线，与分别交于点G、H、P如图2． ①当．时，求的长； ②求证：． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图①，E是边长为的正方形纸片的边上一动点，将沿着折叠，使点D落在F处，射线交于点P．根据以上操作，图①中与的数量关系是 ； （2）在（1）的条件下，若E是的中点，如图②，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度；如果不确定，说明理由． 26. 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： (1)如图②，当点在上时，求证：. (2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭化区2026年春八年级期中测试数学试卷 用时：120分钟 总分：150分 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 使式子有意义的实数的取值范围是( ) A. ≥0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式即可求解． 【详解】解：根据题意，得 解得： 故选D. 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零. 2. 计算的结果是（　　） A. B. 4 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，当时，，化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 3. 如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地，已知点，分别是边，的中点，量得米．他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的总长为（ ） A. 10米 B. 13米 C. 23米 D. 25米 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边的中点，米， ∴米， ∵是等边三角形， ∴米， ∴米， ∴篱笆的长米． 故选：D． 4. 若，则x应满足的条件为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 5. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 7. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图， 六边形是正六边形， ， ， ， 同理，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质（等边对等角），三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答． 【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分， 则阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键． 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，        ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则x满足的条件是____． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式根据二次根式性质化简，再根据绝对值等于本身的数为非负数列出不等式，求解得到x的范围． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得， 由题意得． 根据绝对值的性质，非负数的绝对值等于它本身， 因此， 解得． 12. 若正方形的周长为40，则其对角线长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形周长公式求出正方形的边长，再利用勾股定理计算对角线的长度即可． 【详解】解：∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为 ． 13. 已知，为实数，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， ， ， 故答案为：． 14. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理与多边形外角和定理求出该多边形的边数，再代入边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 由题意得：， 解得， 则该多边形的对角线的条数共有（条）． 15. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 16. 在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】作于，根据垂线段最短推出此时最小，根据勾股定理的逆定理证明，根据三角形的面积公式求出． 【详解】解：作于， 由垂线段最短可知，此时最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先将非最简二次根式化为最简形式，再根据二次根式的混合运算法则进行运算即可解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 已知，且，求的平方根． 【答案】的平方根是 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质求得的值，根据，舍去不符合题意的值，进而将的值代入代数式求解，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求一个数的平方根，正确的求出的值是解题的关键． 19. 如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． （1）求这架云梯顶端A处的高度； （2）当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】（1）； （2）底端沿向外移动距离不是 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴ ， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； 【小问2详解】 解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在 中，由勾股定理得， 即 ， ∴ ， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 20. 观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … （1）由上述三个算式，可得________； （2）请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； （3）请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依据上述运算的规律可得：； 【小问3详解】 解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 21. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，在中，于点E． （1）尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可证明四边形是矩形； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：由作图可知， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 23. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接如图1． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，过点C作的垂线，与分别交于点G、H、P如图2． ①当．时，求的长； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①2；②见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①过点D作于点N，先根据勾股定理求出，由得，即可求出答案； ②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，点O是对角线的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①解：如图，过点D作于点N， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图①，E是边长为的正方形纸片的边上一动点，将沿着折叠，使点D落在F处，射线交于点P．根据以上操作，图①中与的数量关系是 ； （2）在（1）的条件下，若E是的中点，如图②，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度；如果不确定，说明理由． 【答案】（1） （2）点Q的位置是确定的， 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质可知垂直平分，再通过导角证得 ，最后导边可得； （2）利用中点和轴对称进行导边，可证明 ，所以，通过设，可表示出 ，在中利用勾股定理建立方程，可解得的长度． 【小问1详解】 解：∵沿着折叠，与重合， ∴垂直平分， ∴ ，， ∵在正方形中，，， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：点Q的位置是确定的，理由如下： 连接， ∵点为的中点，且垂直平分， ∴，， ∴， 在和 中， ∴， ∴， ∵正方形边长为， ∴设，则 ， ∴ ， ∵在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 26. 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： (1)如图②，当点在上时，求证：. (2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）过点P作MN//BC，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP； （2）过点作于,交于点，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP； 【详解】(1)证明：过点作，分别交于点，交于点， 则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形． ∴NP=NC=MB ∵∠BPQ=90° ∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ， ∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°， 在△QNP和△BMP中， ∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM ∴△QNP≌△PMB（ASA）， ∴PQ=BP． (2)成立. 过点作于,交于点 在正方形中, ∴ ∴是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在根据正方形的性质得到判定全等三角形的条件，进而得到结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $