精品解析：山东省烟台招远市2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（五四制）

绝密★启用前 2024-2025学年度第二学期期中考试初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. “篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件 2. 已知方程，用x的代数式表示y正确的是（ ） A B. C. D. 3. 因为，，所以与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 中国象棋文化历史久远，在图中所示部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程组的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 7 D. 10 6. 如图，在下列条件中，能说明是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程组与的解相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得∠1=∠2 B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 如图3，测得∠1=∠2 D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 9. 现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，点D在的延长线上，平分，且交于点M，若，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 64 D. 256 二．填空题（本大题共6个小题，每个小题3分，共18分） 11. “太阳从西方升起”这一事件是________ 事件．（“确定”或“不确定”） 12. 如图，直线，直线与直线、相交于点M、N，从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为_____． 13. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的方程组的解为___________． 14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D，C分别落在点M，N位置，EM与BC交于点G．若，则______． 15. 如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是______． 16. 已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用x表示y，则；④无论a取什么实数，的值始终不变．其中正确的结论有___．（填写序号） 三．解答题（本大题共9个小题，共72分，请在答题卡指定区域做题） 17. 解下列方程组： （1）（请用代入消元法来解） （2）； 18. 仔细阅读题目，在括号内横线处填写每一步推理的理由．如图，，相交于点E，，，过A作，垂足为F．求证：． 证明：∵，． 又，（① ） ∴．（② ） ∴．（③ ） ∴．（④ ） ∵，∴．∴．（⑤ ） ∴．（⑥ ） 19. 定义一种新运算“”，规定：，其中a，b为常数，已知，，求的值． 20. 如图，中，于点D，平分，点F在的延长线上，过点C作直线，且．求的度数． 21. 口袋里有除颜色外其它都相同的7个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．如果事件A是必然事件，则 ；如果事件A是随机事件，则 ； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 22. 如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 23. 我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值 24. 某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品．老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品3个需用去88元；如果购买甲奖品3个和乙奖品5个需用去140元． （1）请求出甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ （2）由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好A、B两个商场对甲奖品搞促销活动，其中A商场按原价9折销售；B商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品（），设在A商场购买个甲奖品需要元，在B商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出、与之间的函数关系式； （3）在(2)条件下，根据购买数量，请直接写出“去哪个商场购买甲奖品更省钱”的方案． 25. 【问题初探】 在数学课上，王老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ． （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数． 【学以致用】 （4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024-2025学年度第二学期期中考试初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. “篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据随机事件的概念：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的逐一判断即可． 【详解】篮球运动员投篮一次，可能投中篮筐，也可能投不中篮筐．因此“篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是不确定事件． 故选：D 【点睛】此题考查的是随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键． 2. 已知方程，用x的代数式表示y正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，先移项得出，方程两边都除以即可． 【详解】解：， 移项得，， 系数化为1得，． 故选：B． 3. 因为，，所以与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角的补角，根据同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 4. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 用“”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案． 【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有 8 处，位于“”（图中虚线）的上方的有 2 处， 所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是， 故选：B． 5. 若是方程组的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组得到一个关于方程组，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 则． 故选：C． 6. 如图，在下列条件中，能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分析得出答案． 【详解】解：A、当时，则，不合题意； B、当时，不能说明，不合题意； C、当时，则，符合题意； D、当时，则，不合题意； 故选：C． 7. 已知方程组与的解相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同解方程组，负整数指数幂．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，的解与方程组，的解相同， 解得：， 把代入方程组：，得：， 解得：， ∴； 故选A． 8. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得∠1=∠2 B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 如图3，测得∠1=∠2 D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意； B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意； C．测得∠1=∠2， ∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角， ∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意； D．在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD， ∴∠OAC=∠DBO， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定是解题的关键． 9. 现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，根据一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：∵一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张， ∴， 故选：D 10. 如图，在中，平分，点D在的延长线上，平分，且交于点M，若，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 64 D. 256 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，勾股定理，根据平行结合角平分线的定义，推出，，进而得到，勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 二．填空题（本大题共6个小题，每个小题3分，共18分） 11. “太阳从西方升起”这一事件是________ 事件．（“确定”或“不确定”） 【答案】确定 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据确定事件分为不可能事件以及必然事件，进行作答即可． 【详解】解：依题意，“太阳从西方升起”这一事件是不可能事件，即是确定事件， 故答案为：确定 12. 如图，直线，直线与直线、相交于点M、N，从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查求概率，补角的定义，平行线的性质，解题的关键是根据补角定义得出，，，中有2个角与互为补角，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为补角； ∵， ∴与互为补角； ∴，，，中有2个角与互为补角， ∴从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，由题意先求出交点坐标，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴把代入，得， 解得：， ∴， 关于x的方程组整理后得， ∴关于x的方程组的解为． 故答案为：． 14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D，C分别落在点M，N的位置，EM与BC交于点G．若，则______． 【答案】110° 【解析】 【分析】根据平行线的性质得∠DEF＝∠EFG＝55°，∠1＝∠DEG，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝55°，则∠DEG＝110°，于是得到∠1＝110°． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG＝55°，∠1＝∠DEG， ∵长方形纸片ABCD，沿EF折叠后，EM与BC的交点为G，点D，C分别落在M，N的位置上， ∴∠DEF＝∠GEF＝55°， ∴∠DEG＝110°， ∴∠1＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 15. 如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在中，由勾股定理得：， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 16. 已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用x表示y，则；④无论a取什么实数，的值始终不变．其中正确的结论有___．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． ①解含有字母参数a的二元一次方程组求出x、y，然后根据方程组的解x，y互为相反数，列出关于a的方程求解即可判定①；②把a=1代入已知条件中的方程组求得x、y，再把x、y代入方程的左右两边，通过计算进行判断即可判断②；③由①可得：，即，则，然后整理即可判断③；④由①可得：，再代入化简即可判断④． 【详解】解：， 得：，即， 把代入②得：， ∴该方程组的解为 ∵这个方程组的解x、y的值互为相反数时，， ∴，解得：，即①正确； 当时，把代入关于x、y的二元一次方程组 ，解得：， 当时，方程为， 把代入，左边，右边，左边右边， ∴当时，方程组的解不是方程的解，即②错误； 由①可得：，即， ∴，整理得：．即③正确； ∵由①可得：， ∴，即无论a取什么实数，的值始终不变，即④正确． 综上，结论正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分，请在答题卡指定区域做题） 17. 解下列方程组： （1）（请用代入消元法来解） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）将①变形得到，代入②进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：由①，得， 把③代入②得：，解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 原方程组可整理为， 得，解得， 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解为． 18. 仔细阅读题目，在括号内横线处填写每一步推理的理由．如图，，相交于点E，，，过A作，垂足为F．求证：． 证明：∵，． 又，（① ） ∴．（② ） ∴．（③ ） ∴．（④ ） ∵，∴．∴．（⑤ ） ∴．（⑥ ） 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥垂直的定义 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，等式的性质，垂直定义，掌握平行线的判定和性质，对顶角性质，等式的性质，垂直定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补是解题关键． 依据对顶角相等推出，利用平行线的判定定理内错角相等两直线平行，利用平行线的性质得，由垂直，再根据同旁内角互补即可． 【详解】证明：∵，． 又，（①对顶角相等） ∴．（②等量代换） ∴．（③内错角相等，两直线平行） ∴．（④两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∴．（⑤等量代换） ∴．（⑥垂直的定义） 故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥垂直的定义． 19. 定义一种新运算“”，规定：，其中a，b为常数，已知，，求的值． 【答案】17 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．首先根据题意，可得：①，②，应用加减消元法，求出的a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 20. 如图，中，于点D，平分，点F在的延长线上，过点C作直线，且．求的度数． 【答案】11° 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平行线的性质可求解，根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后感觉三角形外角的性质可得，然后根据垂直的定义以及角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵是外角， ∴， ∵于点D， ∴， ∴． 21. 口袋里有除颜色外其它都相同的7个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．如果事件A是必然事件，则 ；如果事件A是随机事件，则 ； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 【答案】（1）3；1或2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，利用概率求数量． （1）根据必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件进行求解即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如果事件是必然事件，则袋子里全是红球， ； 如果事件是随机事件，则袋子里还剩余白球， 或2， 故答案为：3，1或2； 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解得：． 22. 如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，是解题的关键： 法一：三角形的内角和求出，三角形的外角结合角的和差关系，推出，即可； 法二：三角形的外角得到，角的和差关系得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：方法一： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 方法二： ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 23. 我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值 【答案】（1）不是 （2）4 （3）5 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程不是“幸福”方程； 故答案为：不是； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：； 故答案为：4； 【小问3详解】 由题意，得：， 解得：， ∴原方程组化为：，解得：， ∴， ∴． 24. 某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品．老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品3个需用去88元；如果购买甲奖品3个和乙奖品5个需用去140元． （1）请求出甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ （2）由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好A、B两个商场对甲奖品搞促销活动，其中A商场按原价9折销售；B商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品（），设在A商场购买个甲奖品需要元，在B商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出、与之间的函数关系式； （3）在(2)的条件下，根据购买数量，请直接写出“去哪个商场购买甲奖品更省钱”的方案． 【答案】（1）20元；16元 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识点，明确题意、正确列出函数解析式和方程组是解答本题的关键． （1）根据“购买甲奖品2个和乙奖品3个需用去88元；如果购买甲奖品3个和乙奖品5个需用去140元”列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可以分别写出、与之间的函数关系式即可； （2）根据(2)中的结果，利用分类讨论的方法，可以得到选择哪个商场更省钱． 【小问1详解】 解：设甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元， 由题意得：，解得：． 答：甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元． 【小问2详解】 解：由题意可得，在A商场购买x个甲奖品需要； 由于，则在B商场购买x个甲奖品需要． 综上，、与之间的函数关系式，． 【小问3详解】 解：令，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 答：当购买甲奖品的数量超过6个，小于8个时到A商场购买更省钱；当购买甲奖品的数量等于8个时到两个商场购买价格相同；当购买甲奖品的数量超过8个时到B商场购买更省钱． 25. 【问题初探】 在数学课上，王老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ． （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数． 学以致用】 （4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1）过点P作 （2）转化 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过拐点作平行线即可； （2）根据转化思想进行作答即可； （3）选择图3，根据平行线的性质结合平角的定义推出，即可得出结果；选择图4，推出，进行求解即可； （4）过点作，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）勤奋小组的同学辅助线的做法为：过点作； 故答案为：过点作； （2）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想． 故答案为：转化； （3）如图3，过点作， ∵， ∴，即， ∵，， ，， ， ， ， ， 如图4，过点作， 则， ∵，， ，， ， ， ， ； （4）设，， 过点作， ，， ∵， ∴， ， ， 由， 而， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $