带电粒子在复合场中的运动（粒子由电场进入磁场） 专题训练 -2026届高考物理电磁学二轮压轴计算题

**基本信息** 聚焦带电粒子由电场进入磁场的复合场运动，通过8道压轴题构建“运动分析-几何建模-规律应用”的递进式训练体系，强化科学思维与物理观念的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过渡|题1-2|电场偏转+磁场圆周运动|从运动分解到洛伦兹力提供向心力，构建“速度关联-轨迹半径-边界条件”逻辑链| |综合应用|题3-5|多场区域组合+能量动量综合|整合电场加速、磁场偏转及周期性运动，强化模型建构与科学推理| |创新拓展|题6-8|非匀强磁场+三维运动+实际应用|拓展至变场问题与空间运动，提升质疑创新与复杂问题解决能力|

20�带电粒子在复合场中的运动（粒子由电场进入磁场）-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．如图所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有沿x轴正方向的匀强电场，在第一、四象限内，y轴与垂直x轴的MN之间（含MN）有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在坐标为的P点，沿与y轴负方向成45°角斜向右下射出一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子的初速度大小为，粒子第一次经过y轴时速度方向与y轴负方向的夹角为60°，粒子第一次在磁场中运动的轨迹恰好与x轴和MN相切，不计粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强磁场改为非匀强磁场，磁场方向不变，磁感应强度大小满足，要使粒子不从MN飞出磁场，k应满足的条件。 2．通过电磁场可以实现对粒子运动的控制。如图所示，间距很小且平行正对的两水平金属板M1N1、M2N2的长度均为2d，上极板M2N2位于平面直角坐标系xOy的x轴上，其中心小孔位于坐标原点O处。下极板M1N1连有外电路（未画出），可从整个下极板的上表面向xOy平面内的各个方向发射各种速度大小为0~v（v已知）的热电子（质量为m、电荷量为e），电子只能由小孔射出。I区（第一象限内和y轴正半轴上）充满垂直xOy平面向里的匀强磁场，II区（x轴下方竖直虚线N2N1右侧）充满垂直xOy平面向外的匀强磁场，两区磁场的磁感应强度大小相等，其他区域无磁场。不计电子重力、电子间的碰撞及相互作用。 (1)若UM2M1=U0，求M1N1板上速度为0的电子从O点射出时的速度大小。 (2)某次实验时，在两金属板间加上另一恒定电压，电子经电场加速后，由小孔射出时的最小、最大速度之比为1∶2，之后仅经过I区磁场偏转一次后，能全部通过x轴上AC之间（含A、C）的各个位置，其中A、C两点的横坐标分别为xA=2d、xC=4d。忽略金属板的厚度及边缘效应，已知sin37°=0.6。 ①求磁场的磁感应强度大小B。 ②若D点位于x轴上且xD=3.2d，通过A点的电子和通过D点的电子会在x轴上发生相遇。以电子同时离开A、D为计时起点（t=0时刻），求电子第一次在x轴上相遇的时刻与位置。 3．正反粒子对撞（速度等大反向）湮灭是未来的超级能源前景，其原理是通过电、磁场进行加速、聚焦实现相遇对撞。如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第I象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，在第II象限内有平行于x轴负向的匀强电场E1（大小未知），在第IV象限内的虚线MN下方有同时存在的垂直纸面向里的匀强磁场和平行于x轴正向的匀强电场。一电子以速度v0从x轴上的A点（，0）沿y轴正方向射入电场，经y轴上的C点（0，）射入磁场，再经x轴上D点（3L，0）以垂直于x轴的速度进入第IV象限的对撞通道（内部无场且足够长），另一正电子从y轴上的F点以速度v0沿x轴正方向射入第IV象限，它们能在对撞通道内发生对撞湮灭现象。已知电子的比荷为k，不计它们所受的重力以及它们之间的相互作用。求： (1)电子进入第I象限时速度v的大小和第I象限内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)若要正电子恰好运动到最大速度时满足对撞条件进入对撞通道，第IV象限内匀强电场的场强与匀强磁场磁感应强度的比值； (3)满足（2）时，正电子入射点F到M点的距离∆y。 4．如图所示，空间存在彼此平行的四个足够大的竖直平面M、N、P、Q，相邻平面的间距均为d，四个平面的中心位置位于同一垂直于四个平面的水平直线上。平面M、N间有水平向右的匀强电场，M、N间的电势差为U，平面N、P之间有方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，平面P、Q间有方向水平向外、磁感应强度大小为B2（未知）的匀强磁场。将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从由静止释放，粒子重力不计。 (1)求粒子由静止释放至首次到达平面P的时间。 (2)若将平面N、P之间的磁场撤去，在平面N、P之间加一竖直向下的匀强电场，电场强度大小等于M、N间的电场的2倍，粒子能够到达平面Q，求B2的最大值。 (3)在（2）问情景中，当粒子经过平面P时，将B2方向变为水平向右，大小变为，求粒子到达平面Q的位置与中心点O4之间的距离。 5．某异型回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的带电极板，两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示，板间电势差恒定为U（下极板电势高于上极板电势，且极板间只有电场）。两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其他部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在贴近下极板缝隙的离子源S中产生的质量为m、电荷量为q（q>0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为6D。已知磁感应强度大小可以在零到某一最大值之间调节，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔 P射出。假设离子打到器壁或离子源外壁则立即被吸收。忽略相对论效应，不计离子重力。 (1)求磁场磁感应强度的最小值； (2)调节磁感应强度大小为 离子能从出射孔 P射出时，求离子在磁场中运动的时间； (3)若将磁感应强度在 范围内调节，则离子能从 P 点射出时该范围内磁感应强度B 所有的可能值。 6．电子枪是显像设备的核心元件，由其阴极发射电子并经电场加速，可使出射的电子束获得速度。某兴趣小组为定量研究磁偏转对运动的带电粒子轨迹的影响，设计了如下问题情境： 如图所示，可上下平移的电子枪能向右发射质量为、电荷量大小为的电子。电子枪内部的加速电压可调，从阴极发射的电子初速度可视为0。电子枪右侧有半径为的圆形匀强磁场区域Ⅰ，其内部的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里。圆形磁场边界最右端切线的右侧，有足够大的匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小为（可调，未知）、方向垂直于纸面向外。不计粒子重力和粒子间的相互作用。现进行一些连续操作，试求解相关问题。 (1)将电子枪正对区域Ⅰ的圆心发射电子，调节加速电压，使电子通过圆形磁场后速度偏转，求此时的加速电压； (2)之后将电子枪向上移动一段距离，调节加速电压为，使电子在圆形磁场中的运动时间最长，求电子枪上移的距离； (3)在第（2）问的条件下，电子在区域Ⅱ中形成偏转轨迹。在第（1）问的条件下，撤去区域Ⅰ的磁场，粒子进入区域Ⅱ，形成偏转轨迹。为保证轨迹和轨迹不相交，求区域Ⅱ中磁感应强度的最小值。（结果可用根式表示） 7．如图所示，空间直角坐标系（轴垂直纸面向外，图中未画出）中，区域存在沿轴负方向的匀强电场，区域存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的电子从M（，0，0）点以速度大小、方向在平面内与轴正方向的夹角射入电场，刚好垂直轴进入磁场。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子改以射入电场，求电子在磁场中运动时离平面的最远距离； (3)现改变电场强度大小，电子仍以射入电场，恰能从点进入磁场，从电子进入电场开始计时，求电子在电场、磁场中运动的位置纵坐标随时间变化的关系式。 8．如图甲所示，半径为R的圆形区域内存在辐向电场，电场方向由圆心沿半径向外，电场强度大小E随距圆心O的距离x的变化如图乙所示，图中为已知量。圆形区域外存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m，电荷量为的带电粒子，从圆心O点由静止释放，粒子沿半径OP运动至虚线边界上的P点进入磁场偏转再返回电场，粒子每次到达O点后沿进入电场的路径返回磁场，最后刚好沿PO方向回到O点，这个过程中粒子在磁场中运动的总时间记为（未知）。已知磁场的磁感应强度，不计带电粒子的重力。求： （1）带电粒子经过P点时的速度大小； （2）的大小； （3）若改变带电粒子的释放位置，将带电粒子在OP之间的某点Q（图中未标出）释放，粒子经过一段时间后沿PQ方向第一次回到释放点Q，该过程粒子在磁场区域运动的总时间为。求粒子释放点Q到P点的可能距离。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《20�带电粒子在复合场中的运动（粒子由电场进入磁场）-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子第一次进磁场时速度大小为v，粒子在电场中沿平行y轴方向做匀速直线运动，因此 沿电场方向 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子第一次在电场中沿y轴负方向的位移 粒子第一次在电场中运动的时间 解得 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，粒子在磁场中做圆周运动轨迹与x轴相切，根据几何关系有 解得 根据牛顿第二定律 解得 （3）设MN到y轴的距离为，则 设粒子在变化后的磁场中运动的轨迹刚好与MN相切，则沿y轴方向根据动量定理有 即 即 解得 因此，要使粒子不从MN飞出磁场k应该满足的条件为 2．(1) (2)①；②x=16d， 【详解】（1）设板上速度为0的电子从点射出时的速度为 由动能定理有 解得 （2）[1] 设电子从小孔射出时的最小、最大速度分别为、,由分析知，平行板间电场对所有从小孔射出的电子所做的功均相同，因此板上速度为0的电子从小孔射出时的速度最小为，板上速度为的电子从小孔射出时的速度最大为，分别由动能定理可得， 联立解得 由分析知，板上速度为0的电子从点射出后，仅经I区磁场偏转一次落在点 可得 由洛伦兹力提供向心力 解得： [2] 设电子从小孔射出时与方向的夹角为、速度大小为 由板间匀变速曲线运动规律易知 其中，即 如答图3所示，电子要通过点，需满足 由此可知，通过点的电子的竖直分速度均为 因此，通过点的电子的速度满足 与竖直方向的夹角满足，故 同理分析可知：通过点的电子最大速度为，设最小速度为，且方向竖直向上，则可得： 因此通过点的电子的速度满足 与竖直方向的夹角满足，故 由（其中、取1，2，3…） 可得： 因为是第一次相遇，则取最小的自然数，可得：， 因此电子第一次在轴上相遇的位置： 由于电子在两区磁场中的运动具有周期性，且电子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的电子最快到达相遇点。 由分析知，电子相遇时的时间 得 其中， 代入，可得，到达第一次相遇位置的电子，满足： 当时，，不符合题意，舍去 当时，，符合题意 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的电子最先相遇 因此，电子第一次在轴上相遇的时刻： 解得： 3．(1)2v0， (2) (3) 【详解】（1）设电子的质量为m，电子在第Ⅱ象限内的电场中运动的时间为 t1，根据运动的合成和分解， ， 联立解得 v=2v0 设电子在第Ⅰ象限的磁场中做匀速圆周运动的速度为v，半径为 r1，根据几何关系有 得 r1=2L 根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）由题意 对正电子由动能定理 对正电子在y轴方向由动量定理，其中 联立解得 （3）将正电子的v0按平行四边形定则分解成v1和v2，如图所示，且使v1满足 则v1引起的分运动是沿y轴正方向的匀速直线运动；则 而v2引起的分运动为xOy平面内的匀速圆周运动，有 则 当v2运动到也沿y轴正方向时，正电子的合速度达到最大，此时转过的圆心角为 由v2的洛伦兹力提供圆周运动的向心力，得 又由圆周运动公式，得 由几何知识得 解得 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在平面M、N之间被加速，根据动能定理，有 解得 粒子在平面N、P间的磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有， 解得， 在粒子的加速过程中，有 根据几何关系可知，粒子在平面N、P间磁场中的运动轨迹对应的圆心角为30°，则有 粒子由静止释放至首次到达平面P的时间 （2）粒子在平面N、P间的电场中做类平抛运动，则有 设粒子到达平面P的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有 解得tanθ=1 当粒子在平面P、Q间的磁场中做匀速圆周运动的轨迹与平面Q相切时，B2达到最大值，根据几何关系，有 根据粒子在平面P、Q间做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）粒子在平面N、P间做类平抛运动的侧移量 当粒子经过平面P时，将粒子的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在水平方向上做速度为v0的匀速直线运动，在竖直方向上做的匀速圆周运动，则在竖直平面内，有， 解得， 由于 表明粒子做圆周运动经过最低点时恰好到达平面Q，则粒子到达平面Q的位置与中心点O4之间的距离 解得 5．(1) (2) (3) 【详解】（1）设离子从离子源上方的O点射入磁场区域的速度大小为，则 离子偏转后直接从出射孔P射出时，离子在磁场中运动的轨道半径最大（），磁场的磁感应强度最小（），则 由题意知 解得 （2）调节磁感应强度大小为，则离子第一次在磁场中偏转时有 可得 离子从出射孔P射出,离子的运动轨迹如图所示,离子偏转中第一次经过虚线间的无场区域,设其偏转轨道半径为，则 离子偏转中第n次经过虚线间的无场区域后从出射孔P射出,设其偏转轨道半径为，从出射孔P射出时的速度大小为，则有 ， 于是有 根据几何关系有 综合可得 可见离子能从出射孔P射出,且离子在磁场中运动的时间为 （3）令，对应离子运动的轨道半径分别为、，则， 结合前一问的分析可得， 可得 同理可得 联立各式解得，即k=35，36，……，42 又 解得( k=35，36，……，42) 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）电子被加速电压加速过程有  ① 电子在圆形磁场中匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有  ② 联立得 （2）加速电压变为，即加速电压变为原来的4倍，由①②可知，电子进入圆形磁场的速度变为原来的2倍，电子在圆形磁场中匀速圆周运动的半径变为原来的2倍，即，欲使电子在圆形磁场中的运动时间最长，则须使电子在圆形磁场中运动的弦长等于圆形磁场的直径，即，电子在圆形磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 （3）设电子在第（2）问的条件下射入区域Ⅱ的射入点距圆形磁场与右端虚线的切点的距离为，则根据几何关系有 求得 轨迹a、b的半径之比为，若偏转轨迹a、b恰好不相交，即两轨迹相切，则其轨迹如图所示 根据余弦定理有 联立解得  ③ 又   ④ 联立②③④，得 故区域Ⅱ中磁感应强度的最小值为。 7．(1) (2) (3)； 【详解】（1）电子在电场中运动轨迹如图1所示 方向 方向， 联立解得 （2）电子沿轴正方向射入，其运动轨迹如图2所示 电场中 解得 竖直速度 电子在磁场中，方向以匀速直线运动。垂直于平面内做匀速圆周运动，有 解得 最远距离 （3）在电场中：方向 方向， 解得 电子在电场中运动轨迹如图3所示 则 电子在电场中运动的总时间 代入数据得 磁场中，电子在方向匀速直线运动，垂直于平面做匀速圆周运动， 则 因此 由于且 则 故 综上，电场中 磁场中 8．（1）；（2）；（3）； 【详解】（1）根据乙图，图中图线所围成面积代表电势差，则 由动能定理可得 解得 （2）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，根据题意作轨迹图，由向心力公式得 设，由几何关系可知 解得 所以，粒子在磁场中运动过程所转过的角度为 粒子在磁场中运动总时间 粒子在磁场中运动周期为 解得 （3）如图，设改变释放位置后，粒子在磁场中第一次从S点回到电场区域，令，粒子在磁场中运动的圆弧所对圆心角为，根据题意可知 粒子在磁场中运动总时间为3，所以 其中n和N均为正整数；由题意可知 联立以上公式得 所以 ①当n=13，N=1，由几何关系可得 则 由洛伦兹力提供向心力公式得 由动能定理可得 解得 ②当n=11，N=2时，由几何关系可得 同理解得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $