带电粒子在直边界磁场中的运动 专项训练 -2026届高考物理二轮压轴计算题专题复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在直边界磁场中的运动，通过9道压轴题系统构建“轨迹分析-几何关系-临界条件”解题体系，融合磁场、电场复合场景，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础临界问题|1-3题|轨迹相切法、临界半径计算|洛伦兹力→圆周运动公式→直边界临界条件| |复合场运动|4-6题|运动分解（类平抛/螺旋运动）、场叠加分析|磁场偏转规律→电场运动合成→复杂轨迹建模| |多过程综合|7-9题|多区域场转换、动量能量综合|单场规律→多场衔接→过程量关联推导|

01带电粒子在直边界磁场中的运动压轴计算-2026年高考物理二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．如图为一种新型粒子收集装置，一个绕竖直轴以速度逆时针转动的粒子源放置在边长为m的立方体的中心，立方体四个侧面均为荧光屏，上下底面、为空，立方体处在竖直向下的磁感应强度T匀强磁场中。在时刻，粒子源的发射方向恰好水平向右指向的中心，并发射一种比荷为C/kg带正电粒子。已知每秒发射粒子总数为，粒子源发射的粒子数量随速度均匀分布，即不同速度的粒子数量相同。粒子打到荧光屏上后被荧光屏所吸收，不考虑粒子间的相互作用和荧光屏吸收粒子后的电势变化，不考虑粒子源的尺寸大小，重力忽略不计。 （1）若无粒子打到荧光屏上，求粒子源发射的粒子的速度大小范围； （2）若使粒子源发射粒子全部打在荧光屏上，求粒子源发射粒子的速度大小范围； （3）撤去磁场，在立方体内施加一个竖直向下的匀强电场，电场强度为N/C，若粒子源发射的粒子速度范围为，求每秒打在荧光屏上的粒子数量n。 2．多功能磁控测量装置核心部分如图1所示，直角坐标系中，底座位于平面内，薄胶片平行平面，底座与胶片之间为区域，该区域内部分空间存在着匀强磁场，方向沿方向；胶片上方为区域，该区域内所有空间存在着匀强磁场，方向沿方向，且两区域磁场大小相同。如图2所示，某次实验时粒子源由点沿方向发射一束带负电的粒子（可视为质点），粒子电荷量大小均为，速度均为，质量分布在之间（且未知）。粒子由点直接进入区域的磁场，出磁场后通过胶片上的区间进入区域，射向胶片前所有粒子速度的反向延长线均汇聚于的中点，其中，tan。质量为的粒子穿过胶片时，由于胶片对速度的影响导致每次穿透胶片前后，速度的水平、竖直分量的大小相对各初始分量的比值不变。经区域II磁偏转后，粒子再次穿过胶片 （此时区域I磁场已关闭），恰好能经过该粒子第一次出区域磁场的位置，两次通过该位置的速度方向互相垂直。忽略粒子重力、粒子间的相互作用及关闭磁场对粒子的影响，粒子穿过胶片前后质量、电荷量不变，射到底座后电荷被导走。 (1)求质量为的粒子在区域I磁场中运动的时间； (2)求及区域I磁场的大小； (3)若区域II磁场安置时磁场方向偏差了角度，如图3所示，求质量为的粒子相邻两次穿透胶片位置的间距（已知）。 3．如图甲，真空圆柱微管道直径，水平线以下有垂直纸面向外的磁感应强度大小为的匀强磁场。电子流以速率、在纸面内与轴中心线成角射向管壁O点。左侧管上端M点入射的电子与轴中心线成角度，在O点反弹后（弹性碰撞）恰好不与左侧管壁MN发生碰撞。电子电荷量为，质量为，不计重力和各电子间相互作用。 (1)求； (2)某时刻从O点入射的大量电子，经过时间时，电子到达微管道内的不同位置。求此时刻电子到达位置区域的面积； (3)若电子撞击管道内壁后产生个次级电子（包含原电子），假设碰撞后原电子平行于微管道轴方向的动量变为零，垂直管道轴方向的动量等大反向后被次级电子均分： ①如果，要保证所有电子最终都无法飞出管道，求应满足的条件； ②现将微管道内的磁场换为竖直向上场强为的匀强电场，如图乙所示，如果，有某个电子经多次碰撞后信号电量被放大到倍（为正整数），则至少要多大。 4．如图所示，平面直角坐标系的第一、四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在第二、三象限内有沿x轴负方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为+q的粒子从点在坐标平面内沿x轴正向以初速度v0射入电场，粒子进入磁场后，经磁场偏转再次进入电场，经过y轴的位置坐标为，已知匀强电场的电场强度大小为，不计粒子的重力，求： (1)粒子在磁场中运动的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若在磁场中加一沿y轴正向的匀强电场，电场强度大小为，则粒子在磁场中的运动轨迹前后两次会经过同一点，则这些点离y轴的距离为多少。 5．如图所示，AE、CF相互平行且足够长，其中AB、CD处放置有一对平行导电栅极板（带电粒子可不受影响的穿过），栅极板通过导线与电压不变的电源相连，在AB、CD之间产生匀强电场。AE上方存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，BE、DF之间没有任何场。以D点为坐标原点，DF为x轴建立如图的直角坐标系。正极板上点处有一粒子源，能不断产生初速度不计、电荷量为q的带正电的粒子。当粒子源发射粒子的质量为m时，粒子第一次离开磁场经过B点。忽略栅极板电场的边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。 (1)求电源的电压U； (2)若粒子源发射粒子的质量为km，且，其他条件不变，粒子仍能经过B点，求k值； (3)若粒子源持续不断地发射质量介于和4m之间的粒子，欲使这些粒子可以汇聚于点，需在第三、四象限加一方向垂直纸面向外且磁感应强度大小为的匀强磁场，求所加磁场区域的最小面积S。 6．如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中，范围内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，第四象限内存在沿y轴正方向的匀强电场。一比荷为k的正粒子由点处沿y轴正方向以大小为的速度射出，粒子进入磁场区域后恰好未从磁场上边界射出，然后进入电场区域。粒子重力忽略不计。 (1)求匀强磁场磁感应强度的大小。 (2)若该粒子由P点沿x轴正方向以大小为的速度射出，经磁场偏转后，进入电场区域，在电场中的轨迹与x轴之间的最大距离为2d。求： ①电场强度的大小； ②粒子第6次穿过x轴时的坐标。 7．如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在坐标原点有一粒子源，在坐标平面向磁场内各个方向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小均为，在第二象限内有一个足够长且平行于轴的竖直挡板，挡板平面与磁场平行，板的下端与轴相交，将板向右缓慢平移，当板离轴距离为时，刚好有粒子要打在板上，不计粒子的重力，不计粒子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)平移挡板，使沿与轴正向成角射入磁场的粒子刚好垂直打在挡板上，则该粒子从射出到打到板上运动的时间为多少； (3)当板在轴左侧离轴的距离为时，板上有粒子打上的区域长度为多少。 8．如图，在平面直角坐标系中，存在三个区域。在Ⅰ区内，存在与y轴负方向成的匀强电场、场强大小为E；在Ⅱ区内，存在沿x轴正方向的匀强电场、场强大小为E，同时始终受到一个与运动方向相反、大小为的阻力。在Ⅲ区内，存在沿x轴负方向的匀强电场、场强大小为E，同时还存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场、磁感应强度大小为。现从A点（位于y轴上）由静止释放一个质量为m、电荷量为的带电粒子，粒子沿直线运动经过B点，然后再沿曲线运动到C点。经过B点时速度大小为，B点位于Ⅰ区、Ⅱ区的边界上，且与x轴的距离；C点位于x轴上，且在Ⅱ区、Ⅲ区的边界上。不计粒子重力。求： (1)粒子在Ⅰ区中运动的时间； (2)粒子经过C点时的速度大小及方向； (3)粒子经过C点后在Ⅲ区内运动的最小速度，以及离C点的最大水平距离。 9．某科研团队设计了一种新型粒子沉积装置，用于沉积特定能量的带电粒子，原理如图所示。在xOy平面内，y=d与y=4d直线之间的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。电子枪沿y轴固定在Od间，电子枪灯丝逸出初速度为0、质量为m、电荷量的大小为e的电子经电子枪内部电场加速后沿y轴正方向进入磁场。在x轴上x=3d至x=5d区间放置一沉积靶（厚度不计），沉积靶长度为2d，电子打到靶上（包括边缘）即被吸收。忽略场的边界效应、电子重力及电子间相互作用。 (1)若电子经磁场偏转后打在沉积靶上表面的左端点，求电子枪内部加速电压U的大小； (2)若电子枪内部加速电压，在直线y=4d上方区域加一平行y轴向上的匀强电场，为使电子打在沉积靶的上表面，求电场强度E应满足的条件； (3)若电子枪内部加速电压，在直线y≥4d和y≤0的区域也加磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且在直线0≤y≤d，x>0的区域加平行与y轴向下的匀强电场。现要求电子最终垂直打在沉积靶下表面的中点处，求打在此处电子动能的所有可能值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《01带电粒子在直边界磁场中的运动压轴计算-2026年高考物理二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．（1）m/s，没有粒子打到荧光屏上；（2）m/s，粒子能全部打在荧光屏上；（3） 【详解】（1）当离子的运动轨迹圆直径为时，粒子恰好能打到荧光屏上，即 根据 解得 m/s 即当粒子速度m/s，没有粒子打到荧光屏上。 （2）当粒子与两个侧面相切时，是粒子全部打到荧光屏上的临界情况。设速度为，当，粒子能全部打在荧光屏上。画出轨迹图，由几何关系知 可得 代入 可得 当m/s，粒子能全部打在荧光屏上。 （3）粒子射出后，在电场中做类平抛运动，沿电场方向有 垂直电场方向有 若不考虑荧光屏的对粒子运动的障碍，对m/s的粒子，粒子穿过所在平面时，其水平射程 对m/s的粒子，其水平射程 易看出，由于不同速度的粒子数量相同，若不考虑荧光屏的对粒子运动的障碍时，粒子穿过所在平面时，水平方向上的射程正比于初速度，故在某一方面上，粒子的分布随射程变化是均匀的。作出俯视图，画出半径为射程、的两个圆，由于，找出小圆与正方形的交点G，图中在范围内的粒子均能打在荧光屏上。 由几何知识知 即图中45°角内剩余部分为15°。 、的两个圆的面积减去正方形在圆外的部分的面积（即阴影部分）就可以计算粒子打在荧光屏上的数目 粒子打在荧光屏上的数目 2．(1) (2)， (3)（其中β满足） 【详解】（1）分析可知该粒子从E点射出区域Ⅰ，又因为所有粒子出区域Ⅰ时，速度方向的延长线都过C点，可以判断区域Ⅰ是一个圆形磁场的一部分，C点为该圆形磁场的圆心，如图 在∆ACE中有 由几何关系可知 解得 所以粒子在Ⅰ区域运动时间 （2）如图，对质量是km的粒子， 在∆ACD中 由几何关系可得 质量为km的粒子轨迹半径 粒子在磁场中的轨迹半径为，当qB一定时，则有 可得 对质量为m的粒子有 解得 （3）对质量为m的粒子分析可知，其轨迹示意图 由题意可知，， 两式相除得到 粒子进入区域Ⅱ磁场后，由几何关系，， 又 可得 当质量为m的粒子以速度v1进入区域Ⅱ中磁场，磁场方向偏差了角度φ时，设速度v1和磁场反方向的夹角为β，沿着平行磁场方向和垂直磁场方向正交分解有 由余弦定理可知 联立解得 粒子将以的速度沿着磁场反方向做匀速直线运动，以的速度垂直磁场方向做匀速圆周运动，合运动为等距螺旋运动，粒子做圆周运动的半径 设和平面AA1A2A3的夹角为γ，则有 做圆周运动引起的位移为 做匀速直线运动的位移为 所以 其中γ满足 或满足 3．(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）电子速度最大时，其运动轨迹刚好与左壁相切，如图所示 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力可得 所以 （2）电子在磁场中运动的周期为 经过时间，电子转过的圆心角为 与轴线成入射的电子，在时刻，到达与竖直方向成30°的斜线上； 与轴线成入射的电子，在时刻刚好到达右边通道上，所有电子全部可能出现在一个扇形范围内，扇形圆心角，扇形半径 所以出现面积 得 （3）①设电子自入射开始直至第1次撞击通道壁的过程中，电子做匀速直线运动，电子轴向飞行距离为 每一次撞击后此电子的平行于管道轴动量被吸收，垂直于管道轴动量被垂直出射的2个电子均分，即在第次、第次撞击后的横向速度满足 撞击后电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周的圆心在出射点正下侧孔壁上。由洛伦兹力提供向心力，且设第i次撞击后电子运动半圆半径为，则有 为了使所有电子最终都无法飞出通道，电子纵向运动距离满足 故h最大值为，整理得 ②欲使存在某个电子信号电量被放大到至少倍，的最小值对应与轴线成入射的最大速度的电子。 电子自入射开始直至第1次撞击通道壁的过程中，轴向飞行距离为 第1次撞击后此电子的纵向动量被吸收，横向动量被垂直出射的3个电子均分，则撞出的每个电子的出射横向速度和纵向速度分别为， 此后每次撞击时，新次级电子的纵向速度重置为零，而横向速度减小为，故从撞击开始直至下一次撞击前的运动时间变为3倍。即在第次和第次撞击之间，电子沿轴向运动的距离为 电子沿轴向运动的时间为 而在第次、第次撞击后的横向速度满足 每次撞击产生的电子变为原来的3倍，故欲使信号电量被放大到至少倍，则应至少撞击次，故通道长度至少为 联立解得 代入得 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子刚进磁场时的速度大小为v，则 因此粒子在磁场中运动的速度大小 （2）粒子进磁场的位置离O点距离为 粒子第二次进电场的位置离O点距离为 粒子在磁场中运动半个圆周，则粒子在磁场中做圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律 解得 （3）将粒子进磁场时的速度分解为沿 x 轴正方向大小为v1、v2的两个分速度，且 解得 则 粒子在磁场中的运动分解为以速度v1做匀速直线运动，以速度v2做匀速圆周运动，由于v2>v1，因此粒子的运动轨迹上有多个粒子两次经过的点。设做匀速圆周运动分运动的周期为T，则 画粒子进入复合场后的运动轨迹图如图所示 根据运动的对称性可知，粒子两次经过的点离 y 轴的距离 即 5．(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）由题可知，做出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示 根据题意可得 在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得粒子进入磁场中的速度为 粒子在电场中运动，根据动能定理可得 解得电源的电压为 （2）同理可知，， 解得 即 由于   可得，；， （3）根据，在轴上方，由于磁感应强度大小为，可得对应 对应； 在轴下方，可得对应 对应 两粒子的轨迹如右图3所示，因此最小磁场区域面积为所包围的面积；，，为半径的四分之一扇形面积，为半径的四分之一扇形面积；则有 6．(1) (2)①，② 【详解】（1） 粒子沿轴正方向入射，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，半径满足：。 粒子恰好未从边界射出，轨迹与上边界相切，圆心在，最高点，得。 比荷代入得： （2） ①粒子沿正方向入射，磁场中轨迹半径仍为，圆心在，轨迹与轴交点（第一次穿过x轴）坐标为，速度方向与轴正方向成向下，大小仍为​。 分解速度：，​​ 粒子在电场中加速度 当方向速度减为0时，离轴距离最大为，由运动学公式： 得： ②规律总结：粒子从轴进入电场，到再次回到轴（完成1次电场往返，增加1次穿过x轴），运动时间，方向增量：； 粒子从轴进入磁场，偏转后再次回到轴（完成1次磁场偏转，增加1次穿过x轴），由几何关系得弦长增量： 计数穿轴次数：第1次： 第2次： 第3次： 第4次： 第5次： 第6次： 因此第6次穿过轴的坐标为： 7．(1) (2) (3) 【详解】（1）所有粒子中，沿轴正方向射出的粒子在磁场中的运动轨迹为半个圆，该粒子能运动到距离轴最远处，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据题意有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）沿与轴正方向成角射入磁场的粒子刚好垂直打在挡板上，轨迹如图所示 根据几何关系，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动轨迹长度为 粒子在磁场中运动的时间 （3）图中阴影部分是粒子在磁场中扫过的区域，当挡板在图中位置3时，离轴的距离为 设挡板有粒子打上的区域最高点纵坐标为，根据几何关系有 解得 由第（2）问图可看出，挡板有粒子打上的区域最低点纵坐标为0，故挡板上有粒子打上的区域长度 8．(1) (2)，与x正方向成45度 (3)0， 【详解】（1）粒子从做匀加速直线运动，则有， 解得 （2）粒子从B进入Ⅱ区后水平方向上有 故水平方向做匀速直线运动，达C点时水平方向速度为 粒子从B进入Ⅱ区，从B到C竖直方向由动量定理有 其中 代入解得 根据速度的合成有 方向与x正方向成45度 （3）粒子从C进入Ⅲ区后可分解为竖直向下的匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动，则 可得，方向竖直向下 故匀速圆周运动的速度 可得，方向水平向右 对于圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 当圆周运动个周期时，此时合速度最小，离C点的水平距离最远，此时 最大水平距离 9．(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）设电子经加速进入磁场时的速度大小为v0，根据动能定理得 电子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，如图所示 由牛顿第二定律得 电子经磁场偏转后再匀速垂直打在沉积靶的上表面的左端点，到达x轴上，满足 联立解得 （2）当时，根据动能定理得 解得 电子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律得 解得 轨迹圆所对应的圆心角为37°，如图所示 当电子打在沉积靶左侧时，由几何关系可得， 即当电子在电场中运动的水平位移 电子打在沉积靶左侧，电子在所加匀强电场中做斜抛运动，其加速度大小 将斜抛运动进行分解及对称性，可得 联立可得 当电子打在沉积靶右侧时，由图中几何关系可得， 即当电子在电场中运动的水平位移 电子打在沉积靶右侧，电子在所加匀强电场中做斜抛运动，其加速度大小 将斜抛运动进行分解及对称性，可得 联立可得 为使电子仍能打在沉积靶的上表面，电场强度E应满足的条件为 （3）当时，根据（2）问可知电子在y>d区域匀强磁场中做匀速圆周运动，半径 电子在y<0区域匀强磁场中做半径为r1的匀速圆周运动，电子的速度为v1，满足 如图所示 若电子打在沉积靶下表面的中点，电子水平方向的侧移量为4d，由几何关系可得 电子动能为 联立可得，当n=1时，r1=3d，电子动能为 当n=2时，r1=4d，电子动能为 当n=3时，，电子动能为 n≥4时，电子在打在沉积靶下表面中点前已经被沉积靶吸收，不能打在沉积靶中点。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $