带电粒子在复合场中的运动（粒子由磁场进入电场） 专题训练 -2026届高考物理电磁学二轮压轴计算题

**基本信息** 聚焦带电粒子由磁场进入电场的复合场运动，通过16道压轴题构建“几何轨迹分析-规律综合应用-临界条件突破”的三阶解题体系，强化科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|---------|---------|---------| |磁场偏转|6题|轨迹半径公式、圆心确定法、动态圆模型|洛伦兹力提供向心力→几何关系求半径/圆心角→运动时间计算| |电场运动|5题|类平抛运动分解、动能定理、动量守恒|电场力产生加速度→运动学公式/能量观点→轨迹方程推导| |复合场综合|5题|多场区域衔接分析、临界状态判定|磁场圆周运动→电场匀变速运动→多过程运动的时空关联|

17 带电粒子在复合场中的运动（粒子由磁场进入电场）-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 1．如图所示，平面直角坐标系xOy的第一、四象限内有沿轴正向的匀强电场，在第二、三象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在坐标为的点有一粒子源，沿与轴正向成斜向右下的方向，以初速度不断射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经磁场偏转后，以与轴正向成的方向进入电场，粒子在电场中运动经过轴的位置坐标为，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)若在第一、四象限内再加一个平行于轴的匀强电场，使粒子再次进入磁场后就能回到点，所加匀强电场强度的大小。 2．如图所示，在平面坐标系的第二象限有一个半径为的圆形匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，圆形磁场与两个坐标轴相切。在与轴的切点处有一个粒子源，可以在坐标平面内向磁场内各个方向发射带正电的粒子，已知粒子的电荷量为、质量为、速度为，粒子的重力及粒子间相互作用不计，磁感应强度。在第一象限内虚线与轴的夹角，与轴之间存在沿方向、电场强度为的匀强电场。 （1）垂直轴射入圆形磁场的粒子再次到达轴所用的时间及距坐标原点的距离是多少？ （2）若在第一象限和轴之间加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，粒子从点射入的方向在哪个范围时，粒子经过匀强磁场后可以直接进入匀强电场？ 3．如图所示，以圆柱底面中心O点为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，另一底面中心点坐标为（0，0，l），圆柱底面半径为R。在圆柱区域内存在沿z轴正方向的匀强磁场。磁场区域左侧有一矩形区域abcd，其中bc边与y轴平行，ab边与z轴平行，矩形区域的尺寸和位置已在图中标出。区域内均匀分布电子源，沿x轴正方向持续不断地发射出速率均为v0的电子，单位时间内发射的电子个数为N。从bc边射出的电子经过磁场偏转后均从M点射出，从ad边射出的电子经过磁场偏转后均从N点射出。在圆柱两底面的正下方有两块半径为R的半圆形平行金属收集板P、Q，圆心分别位于M点、N点。已知电子质量为m，元电荷为e，两板之间的电压。忽略电子重力、电子间相互作用和电子收集后对电压UPQ的影响。求： （1）磁感应强度B的大小； （2）从b点射出的电子打到金属板上时的位置坐标； （3）Q极板收集到电子区域的面积； （4）若在PQ金属板正对的半圆柱空间内新增沿z轴负方向、磁感应强度为的匀强磁场，并调节PQ间电压为。求过M时速度沿y轴负方向的电子继续运动时间后的坐标位置。 4．如图所示，在xOy平面直角坐标系的第一象限内（包含x、y轴）存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。有一束质量为m、电荷量为e的电子从A(0，L)点同时沿y轴正方向以不同的速率射出，其中电子a恰好不能飞出磁场。已知电子b的运动半径是a运动半径的两倍，不计电子重力及电子间相互作用，求： （1）电子a的速度大小； （2）若第四象限内存在匀强电场，场强大小为E，方向与x轴正方向成30°向下，当电子a第一次回到A点时，电子b运动到第四象限中的P点（图中未画出），求P点到x轴的距离； （3）若第四象限内（包含y轴）只存在某一垂直纸面向外的匀强磁场，电子b的运动轨迹恰能与y轴负半轴相切，求电子b第三次经过x轴时的位置。    5．在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。为了准确的注入离子，需要在一个空间中用电场、磁场对离子的运动轨迹进行调控。图所示便是一种调控粒子轨迹的模型。如图，真空中一半径为d的圆形区域内存在方向与纸面垂直的匀强磁场，现从边缘S点以速度v₀水平射入一个质量为m、电量为q的正电粒子，粒子经过磁场后，刚好从边缘正下方的P点沿图示的方向穿出。图中竖直边界右侧区域存在方向竖直向上、场强大小为E的匀强电场，粒子经过该电场后，刚好水平向左穿过竖直边界，随即进入多组紧密相邻的匀强磁场和匀强电场。该区域磁场和电场的宽度均为d，长度足够长，电场强度大小也为E，方向水平向左，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。已知竖直边界线处有电场，，，，不计粒子的重力及运动时的电磁辐射。答案只能用m、q、d、v₀表示。 求∶ （1）圆形磁场区域内的磁感应强度的大小； （2） 粒子经过边界时与的距离，以及穿过边界时的速度大小； （3） 粒子整个运动过程中，轨迹最左端离边界的水平距离。 ‍ 6．一带负电的微粒放在光滑绝缘水平面上，俯视如图，第一象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，在另外三个象限充满大小相同、方向垂直水平面向下的匀强磁场。微粒从x轴上的P点以一定初速度进入第二象限，OP间距离初速度与x轴负方向的夹角α=37°，之后恰能垂直于y轴进入第一象限，再经一段时间从第一象限进入第四象限，此时速度与x轴正方向的夹角恰好也为。已知微粒的比荷电场强度，求： （1）微粒第一次在第一象限内的运动时间； （2）微粒的初速度v₀和在第二象限内运动的时间； （3）若x轴上有一点Q（10，0），微粒经过x轴时，距离Q点的最小距离是多大？ 7．如图所示，在xOy平面内、x轴上方与坐标原点相切的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为；x轴下方与x轴相距为d的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场下边界为ab，场强大小；在ab下方还有一平行于x轴的感光板MN，感光板与ab间存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小。大量质量为m、电荷量为－e的电子从圆形区域左侧沿x轴正方向以速度射入圆形区域，经过磁场偏转后都经过O点，然后进入x轴下方。电子重力不计，取，。求： （1）圆形区域的半径r； （2）若所有电子都能打在感光板MN上，MN与ab间的最大距离为多大； （3）若所有电子都不能打在感光板MN上，电子从O点出发开始计时，经电场磁场偏转后方向第一次沿x轴正向时所用最长时间是多少？ 8．1932年C·D安德森通过实验证实：每一种粒子都有一个和它质量、电荷量严格相等，而电性正好相反的反粒子存在。如图，在直角坐标系xOy的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，第Ⅳ象限存在与y轴成斜向左下方的匀强电场。在坐标原点O处，粒子a和它的反粒子b先后以速率和进入匀强磁场，在O处粒子a入射方向与x轴正向夹角为，粒子b入射方向与x轴负向夹角为，粒子a、b分别通过x轴上P、Q两点（未画出），最后两粒子在第Ⅳ象限中P点正下方M点相遇发生湮灭现象。已知粒子a的电荷量为、质量为m，不计粒子重力及相互作用力。求： （1）P、Q两点间的距离； （2）匀强电场的电场强度大小； （3）粒子a、b从O点出发的时间间隔。 9．利用电场、磁场对带电粒子的偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面坐标系中，第二象限圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知圆形区域半径为R0，P点为一粒子源，能向x轴上方各方向均匀发射质量为m，电量为q，速度大小为v0的带电粒子，所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限；第一象限直角三角形区域内存在方向竖直向上的匀强电场，已知OM = 2R0，粒子重力可忽略不计，求解下列问题。 （1）P点出射粒子带正电还是带负电，圆形区域匀强磁场磁感应强度大小B0； （2）假设三角形区域匀强电场，所有进入电场的粒子中，求能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间； （3）假设第一象限直角三角形区域内电场改为方向垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，如图2，求从ON边界和从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例。 10．如图所示，在x轴上方空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场，在x轴下方存在竖直向上的匀强电场（场强大小未知）。时刻，一质量为m、带电荷量为的粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入磁场，未进入电场，第一次到达点O时，正好与沿y轴正方向运动到该点、质量为、带电荷量也是的粒子乙发生弹性正碰。碰撞后，粒子甲的速度反向、大小变为碰前的3倍，碰后当甲第一次进入电场时，乙刚好第一次进入磁场。假设碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑粒子重力、两粒子间的库仑力、边界效应。求： （1）第一次碰撞前甲的速度大小； （2）第一次碰撞后瞬间乙的速度大小及电场强度的大小； （3）乙第一次从磁场进入电场时，甲、乙之间的距离。 11．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，边长为，其中的等腰直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在第一象限内的一个等腰直角三角形区域内有匀强电场，，平行轴。一带正电的粒子从A点沿轴正方向射入磁场，空气阻力及粒子所受的重力均可忽略不计，磁感应强度和电场强度的大小保持不变。 (1)若电场方向沿轴正方向，该粒子射入匀强磁场时的速度大小为，粒子恰好从点射出磁场并进入电场，最终从点射出电场，求匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度的比值； (2)若该粒子射入匀强磁场时的速度大小为，匀强电场方向为沿轴负方向，求带电粒子从电场中射出时的位置坐标； (3)若该粒子射入匀强磁场时速度大小变为，其中，匀强电场方向为沿轴负方向，求带电粒子从电场射出后打到轴的位置距坐标原点的最小距离。 12．如图所示，有一线状电子源均匀分布于x轴上的区间内，发射位置与发射角θ（发射方向与y轴间的夹角）的关系为（其中），电子源持续不断地向第I象限每秒钟发射n个速率均为v的电子。在第I象限区域内存在方向垂直平面向里、大小的匀强磁场，m为电子质量，e为元电荷量，电子经磁场偏转后进入位于x轴正下方、间距为2L的两足够长的平行极板P、Q间，其中极板P位于处。不考虑电子间相互作用。 (1)求的电子经磁场偏转后打在x轴上的位置； (2)求电子在磁场中飞行时间t与角度θ的关系； (3)两极板P、Q间加有电压，其变化范围在之间，其中，打在极板上的电子即刻被吸收并中和，求单位时间打到极板P、Q上的电子数和与电压U之间的关系。 13．如图所示，在xOy平面内，有一宽度为b的粒子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v0带正电的粒子，在粒子源的右侧，有一个半径为R的圆形匀强磁场，匀强磁场的方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B1=B，其中平行于x轴正方向正对圆形磁场圆心O1射入磁场的粒子经磁场偏转后恰沿y轴的负方向从O点射出。x轴下方有一与其平行的直线区域AC，AC与x轴相距为d，x轴与直线AC间区域分布有平行于y轴负方向的匀强电场，电场强度大小，已知，不计粒子的重力，忽略电子间相互作用和各场的边缘效应。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子流从O点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围； (3)粒子离开匀强电场时速度的大小以及与AC夹角的最小值β的余弦值； (4)在AC下方区域加另一个垂直于纸面向里的非匀强磁场，磁感应强度大小B2=kh（其中h为粒子离AC的距离，），求粒子能到达离AC的最远距离hm。 14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，下边界是以O1（-2R，）为圆心、半径为2R的圆弧，上边界是以O2（-2R，0）为圆心、半径为R的半圆弧，磁感应强度大小为B0。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从y轴上的M点沿x轴负方向正对圆心O1发射，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心O2，进入电场后从y轴上的P（0，）点进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求粒子射入第Ⅱ象限时的速度大小v0； (2)求粒子在第Ⅱ、Ⅲ象限中运动的时间t； (3)若第Ⅰ象限中有方向垂直纸面向里的磁场（图中未画出），磁场的磁感应强度大小（k为常量，y为纵坐标），求粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次沿y轴方向的分速度为0的轨迹与x轴围成的面积S。 15．如图所示，在xOy平面内的第二象限有一个圆形匀强磁场区域，其边界与x轴相切于A（，0）点，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B=1T，磁场区域的半径为R=2m，第一象限内有一条抛物线OQP（图中虚线所示），P（4m，0）是x轴上的一点，抛物线OQP上方存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=3×103V/m，从A点向第二象限发射大量带正电的某种粒子，粒子的速率均为v0（未知），质量均为m=2×10-7kg，电荷量均为q=1×10-4C，所有粒子均可到达P点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 （1）已知粒子1沿与x轴正方向成θ1=60°的方向进入磁场后平行于x轴从磁场中射出，求初速度v0的大小； （2）粒子2沿与x轴正方向成θ2=120°的方向进入磁场，求它从A点运动到P点所用的时间t（结果保留2位有效数字）； （3）求电场的边界线OQP的轨迹方程。 16．如图所示，空间交替分布着高度均为、水平方向足够宽的匀强电磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，虚线边界有磁场无电场。区域Ⅰ、Ⅲ磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小相同，区域Ⅱ电场方向竖直向上，电场强度。区域Ⅰ磁场上边界虚线上P点有一粒子源，可沿纸面以的速度向磁场内发射带负电的粒子，粒子的比荷，不计粒子重力。设粒子从P点射出时的速度方向与竖直方向的夹角为，当时，粒子恰能从P点正下方进入区域Ⅱ，取。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若粒子能进入区域Ⅲ且不能从下边界离开区域Ⅲ，求满足的条件； (3)若，将区域Ⅲ的高度调整为，求粒子运动多长时间后其竖直位移大小为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《17 带电粒子在复合场中的运动（粒子由磁场进入电场）-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2) (3)或 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据题意知 解得 根据牛顿第二定律 解得 （2）设粒子经过轴的位置离点距离为，根据几何关系 设匀强电场的电场强度大小为，则， 根据牛顿第二定律 解得 （3）为了使粒子再次进入磁场后还能回到点，则粒子第一次在电场中经过轴时速度平行于轴，即粒子沿轴正方向做匀减速运动，即所加的电场方向应沿轴负方向。或者粒子从电场进入磁场时速度与轴负方向的夹角也为。设所加的匀强电场的电场强度为，则粒子在电场中运动的加速度大小 结合（2）问有或， 解得或 2．（1），；（2）从点射入的方向与轴夹角大于 【详解】（1）根据题意可知，粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 解得 画出粒子的运动轨迹，如图所示 粒子在磁场中的运动时间为 由几何关系可得 则粒子在段的运动时间为 粒子由点进入电场，做类平抛运动，沿电场方向上有 水平方向有 解得 则粒子再次到达轴所用的时间为 距坐标原点的距离为 （2）根据题意可知，粒子进入和轴之间的磁场，有 解得 由磁发散原理可知，从圆形磁场射出的粒子方向一定是垂直轴方向，即进入和轴之间的磁场时，速度垂直轴进入，当轨迹与相切时为临界点，此时粒子从点射入的方向与轴成角，如图所示 有几何关系可得 则点到轴的距离为 则有 可得 即当粒子从点射入的方向与轴夹角大于时，粒子经过匀强磁场后可以直接进入匀强电场。 3．（1）；（2）（，，l）；（3）；（4）（R，-R，l） 4．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题意，电子a运动半径 根据牛顿第二定律得 解得 （2）由题意，运动轨迹如图所示，根据题意得 根据牛顿第二定律得 解得 当电子a运动完整一周再次回到A点时，由几何关系知 即电子b在磁场中运动的圆心角为210°，则电子b在电场中的运动时间为 解得      电子b在电场中做类平抛运动，在垂直于电场方向上 在沿着电场方向上 则b粒子与x轴的距离为 解得 （3）电子运动轨迹如图所示，由几何关系可知 P1到O点距离 P2到P1点距离 P3到P2点距离 联立以上各式，解得电子b第三次经过x轴的位置为    5．（1）；（2），；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在磁场中的受力情况，画出轨迹如图 根据几何关系可知，SOPO1为菱形，粒子做圆周运动的半径为 根据 可得 （2）根据题意设粒子穿过时距离A1为y，在右侧电场中只受向上的电场力，水平方向匀速直线运动，竖直方向匀减速直线运动，设加速度为a , 如图有 解得 根据 可得 可得 粒子经过边界时与 的距离为 粒子经过边界时速度为 则 之后在电场中水平方向上加速，加速度为 解得 （3）设粒子在下方运动过程中，从右向左在第层磁场中运动速度为，轨道半径为，有 解得 粒子进入第层电场时，速度方向与水平方向的夹角为，从第层电场左边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为，粒子在电场中运动时，垂直电场线方向的速度分量不变，有 解得 可知、、……是一组等差数列，公差为，可得 将代入，的 由于 解得 由于，且为整数，故的最大值为4，此时 即粒子在第5层磁场中达到轨迹最左端，此时速度竖直向下，几何关系得轨迹最左端距离第5层磁场右边界距离为 综上，轨迹最左端离边界的水平距离为 6．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子运动轨迹如图 在第二象限磁场中，由几何关系可得，圆周半径 在第一象限电场中，由牛顿第二定律得 微粒在电场中做类平抛运动: 得 （2）微粒进入第四象限时，沿y轴负方向上速度 所以 微粒在第二象限中做圆周运动的周期 圆弧对应圆心角 所以对应时间 得 （3）微粒进入第四象限，速度 由 得 微粒做圆周运动在x轴的弦长 微粒第一次从第一象限进入第四象限的位置 微粒第一次从第四象限进入第一象限的位置 之后，每次从第一象限进入第四象限的位置 即    每次从第四象限进入第一象限的位置 即 当n=2时， 所以距离Q点的最小距离 7．（1）；（2）2d；（3） 【详解】（1）由 解得 （2）在电场中 eEd=mv2-mv02 解得 v= 电子方向 cosθ= 解得 θ=53° 电子在磁场中 evB2= 解得 r1=5d 由图可知则 h=r1-r1cosθ=2d （3）运动时间最长轨迹如图所示，电子在电场中 电子在磁场中 运动最长时间 联立解得 8．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子从点出发分别做匀速圆周运动，根据牛顿运动定律有 解得 作出运动轨迹如图，由几何关系可得、两点间的距离 （2）由题意可知粒子进入电场做类平抛运动，进入电场时速度与轴正向夹角为，根据类平抛运动的规律有 解得 （3）粒子做圆周运动的偏转角为，运动时间 粒子从到运动时间为 粒子做圆周运动的偏转角为，运动时间 由题意结合轨迹图可知，粒子从轴点进入匀强电场做匀加速直线运动到点 由几何关系可得 粒子从轴点进入匀强电场做匀加速直线运动到点过程，根据牛顿第二定律有 结合运动学公式有 解得 粒子从到运动时间为 粒子、从点出发的时间间隔 9．（1）负电，；（2）；（3）， 【详解】（1）根据左手定则可得，P点出射粒子带负电。因为所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限，由“磁发散”可得，带电粒子在磁场中的运动半径等于磁场的半径，即轨迹半径为 r = R0 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，当运动轨迹与MN相切时，为临界情况，设切点坐标为（x1，y1），此时经过y轴入射的纵坐标为y0，由数学知识可得 带电粒子在电场中受到向下的电场力，大小为 则加速度为 运动时间为 沿y轴方向的位移为 整理得 因为，运动轨迹与MN相切，所以上式中x1有唯一解，由数学知识可解得 所以，能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间； （3）粒子在第一象限做圆周运动，根据 可得，轨迹半径为 当轨迹为与MN相切时，为临界情况，绘出运动轨迹图如下 此时经过y轴入射点A距M点距离为y2，则 则此时从P点发出的粒子与x轴负方向的夹角 故，从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例为 当粒子从O点射出时为从ON边界射出的临界情况，设此时经过y轴入射点距O点距离为y3，则 y3 = 2r1 = R0 则此时从P点发出的粒子与x轴垂直，故，从ON边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例为 10．（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查带电粒子在电磁组合场中的运动及其规律，意在考查考生的分析综合能力和应用数学知识处理物理问题的能力。 【详解】（1）第一次碰撞前，甲在磁场中做匀速圆周运动，设第一次碰撞前甲的速度大小为，根据几何关系可知，第一次碰撞前甲的轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 （2）设第一次碰撞前瞬间乙的速度大小为，第一次碰撞后瞬间乙的速度大小为、甲的速度大小为，规定y轴负方向为速度正方向，由于甲和乙的碰撞过程满足动量守恒定律和机械能守恒定律，则有 其中 联立解得 又第一次碰撞后，当甲在磁场中运动半个周期时，乙在电场中做类竖直上抛运动正好返回O点，则 甲在磁场中的运动周期 由 则 根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）作出两粒子的运动轨迹（部分）如图所示 甲第一次进入电场时，乙恰好第一次进入磁场，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故此时甲的位置坐标为，乙位于坐标原点，之后乙在磁场中运动半个周期后进入电场，则 又根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故乙从磁场进入电场时的位置坐标为，在电场中，对甲根据牛顿第二定律有 由运动学规律有 解得 由几何知识可知，乙第一次从磁场进入电场时，甲、乙之间的距离为 联立解得 11．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从点离开磁场，作出运动轨迹，如图1所示 根据几何关系可知，粒子运动轨迹圆心为，则运动的轨道半径为，设粒子的质量为，电荷量为，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有   粒子在电场中做匀变速曲线运动，方向做匀速直线运动，则有 方向上做匀加速度直线运动，则有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）若入射速度大小变为，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，洛伦兹力提供向心力，则有 结合上述解得     根据几何关系可知，粒子沿轴正方向从点射出磁场并由点进入电场，作出运动轨迹如图2所示 因为电场方向变为沿轴负方向，粒子应从左侧点离开电场，由几何关系得射出时沿方向位移与沿方向上的位移相等，设为，其在电场中运动时间为，粒子在电场中做匀变速曲线运动，方向做匀速直线运动，则有   方向上做匀加速直线运动，则有   解得   根据几何关系可知，出射点的横坐标为 的纵坐标为 则出射点的坐标为。 （3）若入射速度大小变为，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，洛伦兹力提供向心力，则有 结合上述解得    作出运动轨迹，如图3所示 根据几何关系可知，粒子沿轴正方向从点射出磁场并在点进入电场，因为电场方向沿轴负方向，粒子应从左侧点离开电场，打在轴上的点，由几何关系得射出时沿方向位移与沿方向上的位移相等，设为，其在电场中运动的时间为，粒子在电场中做匀变速曲线运动，方向做匀速直线运动，则有 方向上做匀加速度直线运动，则有 解得   设粒子射出电场时速度方向与轴正方向的夹角为，则有 在三角形中有 由几何关系得点距点的距离 根据数学函数规律可知，当时有最小值，代入得粒子打到轴上的点距坐标原点的最短距离为 12．(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 其中 解得 的电子出发位置在坐标原点，则 （2）电子轨迹圆弧的圆心角 则电子在磁场中运动的时间 （3）电子打在轴上的位置 所以所有电子均从两极板的中间射入，射入角度与y轴呈角斜向右下。 若电子刚好打不到Q板，则有 解得 由几何知识可得， 当时，，所有电子均打在P板上。 ①，则有， ②，则有， 13．(1) (2)0°≤θ≤60° (3)， (4) 【详解】（1）如图所示 由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 由牛顿第二定律可得 所以粒子的比荷 （2）由几何知识知四边形P、O1、O、O2为菱形，粒子运动的半径为R，则 所以 则粒子流从O点射出时与负y轴方向的夹角0°≤θ≤60°； （3）由动能定理得 解得 如图所示 粒子进入匀强电场后，x方向做匀速直线运动，则 离开电场时与AC的最小偏角为 即 （4）规定沿x轴正方向为正方向，对运动粒子x轴方向，由动量定理得 即 所以 14．(1) (2) (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子在第Ⅲ象限中的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 粒子在第Ⅲ象限中运动的时间为 粒子进入第Ⅱ象限做类斜上抛运动，则 解得 所以 （3）设粒子到达P点时速度大小为v1，与y轴正方向的夹角为α，则 粒子在第Ⅰ象限中运动至速度第一次沿y轴方向的分速度为0，沿y方向，根据动量定理可得，，， 联立解得 15．（1）1×103m/s；（2）9.9×10-3s；（3） 【详解】（1）设磁磁场圆心为，粒子1在磁场中运动轨迹的半径为r，圆心为，从磁场边界上的C点飞出，如下图所示 由几何关系可知四边形为菱形，故有 由牛顿第二定律可知 联立解得 （2）设粒子2在场中运动轨迹的圆心为，它从D点平行于x轴射出磁场，延长与x轴相交于E点，垂直于x轴，如下图所示 粒子2在磁场中运动的周期 它在磁场中运动的时间 D点的横坐标 D点到P点沿x轴方向的位移为 粒子2从D点到P点在沿x轴方向上做匀速直线运动，所用时间 所以 （3）由几何关系可知所有粒子都平行于x轴进入电场，如下图所示 设某个粒子在电场中运动的时间为，加速度为a，到达抛物线时的坐标为，此时粒子速度为v，沿y轴方向的分速度大小为，x方向上有 y方向上由牛顿第二定律有 解得 由三角形相似可得 联立解得 16．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子恰能从P点下方进入电场，由几何关系有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动 解得 （2）当时，粒子不能进入Ⅱ、Ⅲ区域。粒子能进入区域Ⅲ且不能从下边界离开区域Ⅲ，设粒子在区域Ⅲ中竖直速度变为0时水平速度为，取向左为正，在磁场中由水平方向动量定理有 粒子在磁场中， 又由动能定理有 联立解得 （3）粒子经电场加速后，速度大小变为，根据动能定理有 解得 粒子在区域Ⅲ内做匀速圆周运动有 解得 粒子运动轨迹如图所示 粒子在区域Ⅲ内运动到最低点时竖直位移为，粒子第一次竖直位移为时，粒子在区域Ⅰ运动的时间 粒子在区域Ⅱ运动的时间 粒子在区域Ⅲ运动的时间 粒子第一次竖直位移为时需要的时间 粒子再次经过需要的时间为，故粒子第次竖直位移为时需要的时间为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $