带电粒子在组合场中的运动（电场与磁场双向进出）专题训练 -2026届高考物理电磁学二轮压轴计算题

**基本信息** 聚焦带电粒子在组合场中的双向进出问题，通过11道压轴题构建“轨迹分析-规律应用-多场转换”的递进式训练体系，强化科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础组合场|1-3题|几何轨迹法、速度分解法|洛伦兹力提供向心力→类平抛运动规律→多过程运动合成| |复杂场交互|4-7题|配速法、周期性运动分析|匀强场运动模型→非匀强场微元处理→场边界条件应用| |临界与极值|8-11题|动态轨迹临界法、函数极值法|运动对称性→边界条件限制→数学工具解决物理极值|

19 带电粒子在组合场中的运动（电场与磁场双向进出）-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 1．某科研小组为了芯片的离子注入而设计了一种新型的离子注入机，装置如图所示。其简化原理图如下，在平面直角坐标系的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，电场强度，在区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，接收屏其上端紧靠轴，平行于轴放置。现在点沿轴正方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的离子，离子经磁场偏转从坐标原点进入电场，经电场偏转后再次进入磁场，在磁场中偏转后垂直打在接收屏上，完成芯片的离子注入，离子重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)离子从原点进入电场后只经过轴一次就完成离子注入，则接收屏到轴的距离应为多少； (3)保持接收屏位置不变，现在第一象限内放置一个足够长的绝缘弹性挡板，挡板垂直于坐标平面且平行于轴，粒子与挡板碰撞后，平行于板的速度不变，垂直于板的速度等大反向，为了使离子经挡板碰撞后不能打在接收屏上，则挡板到轴的距离应满足什么条件； (4)保持接收屏位置不变，如将第一象限的匀强电场改为方向沿轴负方向的非匀强电场，场强的大小随位置坐标均匀增大，即，其中。为了使离子与挡板只发生一次碰撞，且最终垂直打在接收屏上，则挡板到轴的距离为多少。 2．如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中，范围内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，第四象限内存在沿y轴正方向的匀强电场。一比荷为k的正粒子由点处沿y轴正方向以大小为的速度射出，粒子进入磁场区域后恰好未从磁场上边界射出，然后进入电场区域。粒子重力忽略不计。 (1)求匀强磁场磁感应强度的大小。 (2)若该粒子由P点沿x轴正方向以大小为的速度射出，经磁场偏转后，进入电场区域，在电场中的轨迹与x轴之间的最大距离为2d。求： ①电场强度的大小； ②粒子第6次穿过x轴时的坐标。 3．如图所示，在平面直角坐标系的第Ⅰ象限内存在着垂直于纸面向外、大小为的匀强磁场，在第Ⅲ象限内虚线和y轴之间存在另一垂直纸面向里的匀强磁场，虚线方程，在第Ⅳ象限内存在着与x轴方向平行的匀强电场（图中各场均未画出）。一质量为m，电荷量为的带电粒子由坐标为的M点以初速度（大小未知）沿平行于纸面方向进入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角，经过磁场偏转后沿垂直x轴方向进入第Ⅳ象限的电场中，经坐标为的N点第一次进入第Ⅲ象限内的磁场，粒子重力不计。求： (1)粒子的初速度的大小； (2)匀强电场场强E的大小； (3)若粒子能经过坐标为的P点（图中未画出），求第Ⅲ象限内磁场磁感应强度大小的可能值。 4．如图所示，在x轴的左侧的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，的区域内存在半径为d的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，圆与y轴相切于原点O。在x轴的右侧有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，足够长的荧光屏MN平行于x轴，与x轴的距离为d。质量为m、电荷量为的粒子在直线的某处由静止释放，经P点（直线与磁场边界相切于P点）进入磁场，从原点O进入第一象限，粒子恰好能到达荧光屏上。不计粒子重力。 (1)求y轴左侧匀强电场的电场强度大小E。 (2)求y轴右侧匀强电场的电场强度大小。 (3)若y轴右侧匀强磁场的磁感应强度大小随时间的变化关系如图乙所示，且撤去荧光屏求粒子第二次通过x轴的位置与O点的距离（O点记为第零次）。 5．如图所示，直角三角形的， 边长为，是直角边的中点，斜边固定一挡板，边界线垂直于挡板，在三角形内部有磁感应强度为方向垂直纸面向里的匀强磁场，在边界和的左侧有垂直边的匀强电场，以和为边界的右侧足够大范围内有另一个磁感应强度为（的大小未知，方向垂直纸面向外）的匀强磁场。如果在电场中与点相距的点由静止释放一个带正电的粒子（不计重力），结果粒子以速度垂直边进入三角形内磁场中，经磁场偏转后不再返回电场，直接垂直地打在斜边挡板上（并被挡板吸收）。 (1)求粒子的比荷以及匀强电场的电场强度大小； (2)在边上放一个可移动的粒子源，粒子源不间断地垂直边向磁场中射入前一问求得比荷的正粒子，调节粒子源在不同位置射入粒子的速度大小，结果从边上点左侧（包括点）射入的粒子经过一次磁偏转后全部能到达点，而从点右侧射入的粒子，无论怎么调节速度大小，都不能经过磁场的一次偏转到达点。 ①对于点左侧入射到磁场的粒子，设粒子入射位置离点距离为，粒子经一次磁偏转直接到达点对应的入射速度为，求随分布的函数关系式； ②对于从点入射到磁场的粒子，经过点，最终又恰好打在点，求挡板上方的匀强磁场的磁感应强度。 6．如图所示，两竖直放置的平行金属板、之间的电压，板右侧宽的区域分布着电场强度大小、方向竖直向下的匀强电场，虚线与为其边界，虚线右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量、电荷量的粒子从靠近板的S点由静止释放，经上的点进入、间，经过虚线上的点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动后从虚线上的点（、两点未画出）返回电场时，将电场方向变为竖直向上，恰好经点再次回到点。不计粒子重力。求： (1)粒子到达点时的动量大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)粒子从点进入电场至返回到点的运动时间（结果可以用表示）。 7．如图甲所示的三维直角坐标系中，区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，区域存在沿y轴负方向的匀强电场，的区域存在方向随时间变化的磁场。一电荷量为、质量为m的粒子，从点平行于y轴正方向出发，初速度大小为，从点进入电场，从点M（图中未画出）离开电场区域时，速度方向与x轴平行，粒子重力不计。 (1)求区域磁场的磁感应强度大小； (2)求匀强电场的电场强度大小E； (3)的区域磁场磁感应强度大小为，方向沿z轴正方向和沿x轴正方向交替变化，从粒子离开点M开始计时，变化规律如图乙所示，其中。求时粒子所处位置坐标。 8．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形区域内（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场（大小未知），线段，；第三象限内存在垂直纸面的匀强磁场（大小未知，图中未画出），过点放置着一面与轴平行的足够大荧光屏CD；第四象限正方形区域内存在沿轴正方向的匀强电场。一带电粒子以速度从轴上点沿轴正方向射入磁场，粒子均恰不能从、边射出磁场；此后粒子经第四象限从M点进入第三象限，最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知带电粒子的质量为、电荷量为，不计带电粒子的重力，求： (1)点距点的距离； (2)第四象限内电场的电场强度E的大小； (3)第三象限内的磁感应强度的大小。 9．现代科学研究中经常利用电场、磁场来控制带电粒子的运动。在平面直角坐标系xOy中存在如图的电磁场，在轴上方有方向垂直纸面向外、半径为的圆形匀强磁场区域，圆心的位置坐标为，轴下方有宽度为、电场强度为、方向沿轴负向的匀强电场，边界MN与轴平行。在MN下方有垂直纸面向外，磁感应强度随轴衰减的磁场，为了研究非均匀磁场对带电粒子的偏转，简化建立如图所示理想模型。设每个磁场间距均为，磁场分界线与轴平行，从上向下磁场依次减弱，第一区域磁感应强度为，下面各区域磁感应强度依次为、、、的匀强磁场。在第二象限磁场区域左侧有一平行于轴的线状粒子源ab（点与等高）源源不断发射沿轴正方向初速度均为的正电粒子进入匀强磁场，从点射出的粒子恰好从点进入电场。已知、、、、、、，粒子重力和其相互间作用力均不计，计算结果可以保留根式，求： (1)粒子穿过MN边界时的速率； (2)若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，求此时的大小； (3)若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，则至少需要几层衰减磁场才能确保粒子不从衰减磁场下方射出。 10．小池同学设计了如图所示的装置来选择一定速率范围的带电粒子。MN为水平放置的两平行金属板，两板正对且长度均为L、板间间距为，平行金属板内部有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。金属板右侧竖直放置一足够长的荧光屏，荧光屏到金属板右侧的距离也为L。金属板左侧某区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，P为粒子源且PM在同一水平面上，粒子源能沿PQ方向发射质量为m、电量为－q（q>0）的某种粒子，粒子速率在0~vm范围内连续分布。粒子从P射出后会立即进入匀强磁场区域，所有粒子离开磁场后均能沿水平方向射入平行金属板之间，之后打在金属板上的粒子会被吸收且对电场无影响，速度为vm的粒子恰好从S点垂直进入平行金属板。已知PQ与PM夹角为60°，S点位于磁场边界且到下极板M的距离为L，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： (1)该磁场的磁感应强度大小； (2)该磁场的最小面积； (3)荧光屏上有粒子打到的区域的最大长度。 11．在科学实验中，我们可以通过调节电场强度的大小来控制带电粒子的运动轨迹，达到相应的实验目的。如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有沿方向的匀强电场，电场强度大小为且可以调整。在第三象限内有一垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。粒子源在平面内可以向各个方向发射速度大小不同的带负电粒子。已知粒子质量为，电荷量的值为。轴上的点与S的连线垂直于轴，S与点的距离为，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。 (1)求从S出发的粒子能到达点的最小速度； (2)若通过点的粒子在电场与磁场中沿闭合轨迹做周期性运动，求此时电场强度的大小； (3)某粒子射出方向与成角并经过点，调整电场强度的大小，使粒子最终能垂直经过轴，试写出点到点的距离与电场强度大小的关系式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《19 带电粒子在组合场中的运动（电场与磁场双向进出）-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）据题意画出粒子运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由题意可知 解得 设磁场的磁感应强度大小为，据牛顿第二定律有 解得 （2）粒子在电场中做类斜上抛运动，由于粒子会垂直打在接收屏上，根据对称性可知，粒子第二次经过轴的位置离接收屏的距离为；设粒子经过点时速度与轴的夹角为，根据几何关系有 解得 据牛顿第二定律有 设粒子在电场中运动时间为，则有， 解得 所以接收屏到轴的距离为 （3）轨迹如图 设当粒子第一次经挡板反弹后进入磁场并恰好打在接收屏与轴交点处时，挡板离轴的距离为，则粒子反弹后进入磁场时的位置离点的距离为，设粒子第一次在电场中运动的时间为，则有， 解得 设当粒子经挡板第二次反弹后经电场偏转恰好打在接收屏与轴交点处时，挡板离轴的距离为，则粒子第一次反弹后进入磁场时的位置离点的距离为，设粒子第一次在电场中运动的时间为，则有，     解得 因此要使粒子不打在接收屏上，挡板离轴的距离应满足。 （4）设粒子在电场中运动时间为，则有 且 根据简谐运动知识可知，方向分运动为简谐运动。振幅满足   代入数据解得 则挡板到轴的距离，其中 代入数据解得 2．(1) (2)①，② 【详解】（1） 粒子沿轴正方向入射，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，半径满足：。 粒子恰好未从边界射出，轨迹与上边界相切，圆心在，最高点，得。 比荷代入得： （2） ①粒子沿正方向入射，磁场中轨迹半径仍为，圆心在，轨迹与轴交点（第一次穿过x轴）坐标为，速度方向与轴正方向成向下，大小仍为​。 分解速度：，​​ 粒子在电场中加速度 当方向速度减为0时，离轴距离最大为，由运动学公式： 得： ②规律总结：粒子从轴进入电场，到再次回到轴（完成1次电场往返，增加1次穿过x轴），运动时间，方向增量：； 粒子从轴进入磁场，偏转后再次回到轴（完成1次磁场偏转，增加1次穿过x轴），由几何关系得弦长增量： 计数穿轴次数：第1次： 第2次： 第3次： 第4次： 第5次： 第6次： 因此第6次穿过轴的坐标为： 3．(1) (2) (3)或或或或 【详解】（1）带电粒子在第Ⅰ象限内做匀速圆周运动，由几何关系可知其轨迹半径     洛伦兹力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得 联立解得 （2）粒子在第Ⅳ象限内做类平抛运动，从进入电场到第一次到达N点过程中，则有， 由牛顿第二定律可得 联立解得 （3）粒子经过N点时的速度v，则由第（2）问可知 故 且速度方向与y轴负方向的夹角为 在第Ⅲ象限的磁场中，粒子做匀速圆周运动的半径为R，则有 联立解得 由于粒子在第Ⅲ象限内的轨迹半径需满足 故   由题意可知粒子从N点开始做周期性运动，若粒子经P由Ⅳ象限进入第Ⅲ象限时，则有    解得 联立可得n取3、4，     则B可能为、 若粒子经P由第Ⅲ象限进入第Ⅳ象限时，则有     联立以上各式可得 则k取2、3、4， 将k值代入上式中可知，B可能为、、 所以，B可能为、、、、 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为d，设粒子在磁场中运动的速度大小为，有 对粒子在电场中加速的过程，有 解得 （2）将粒子的速度沿x轴正方向分解为和，使得 此时粒子在混合场中的运动可视为方向沿x轴、速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，有 又， 解得 （3）由（2）问分析可知，即粒子在最高点的速度为零，此时 在内，粒子做匀加速运动，设加速度为a，位移为y，粒子在时刻的速度为，有， 又 解得， 即此时粒子恰好到达x轴，速度大小为、方向与x轴垂直。 内，粒子在磁场和电场组成的混合场中运动，利用配速法将粒子的运动分解为方向沿x轴、速度为的匀速直线运动和初速度为v的匀速圆周运动，匀速圆周运动的运动轨迹如图所示。有， 解得， 设初速度为v的匀速圆周运动的轨迹半径为R，有 解得 内，粒子沿y轴做匀减速直线运动，沿x轴做匀速直线运动，运动的时间，设粒子沿y轴的位移为，有 解得 因，故此时粒子恰好第二次到达x轴。 粒子在内沿x轴前进的距离 粒子在内沿x轴前进的距离 粒子在内沿x轴前进的距离 粒子第二次通过x轴的位置与O点的距离 解得 5．(1)， (2)①（）； ② 【详解】（1）依题意，从点释放的正离子，在磁场中运动轨迹的圆心在点，运动半径为，如图所示 由 有 解得粒子的比荷 粒子在电场中释放后，由动能定理 有 解得； （2）①对于与相距射出的粒子，如图所示，运动轨迹的圆心在 有 由 解得（其中） ②依题意，从点右侧射入的粒子，无论怎么调节速度大小，都不能经过磁场的一次偏转到达点，故对于从点射出的粒子，经过点时刚好与AC相切，设其射入速度为，运动的圆心在，运动轨迹半径为，如图所示 有 由 得 设粒子进入电场中加速度为 有 得 在电场中，把加速度分解到点速度的平行方向（即方向）和垂直方向，当粒子从点运动到边界上的点时，做类斜抛运动，经历时间 方向有 其中 得 的距离 其中 得 垂直方向有 得 合速度为 设速度偏角为 有 粒子从点出电场，进入挡板外的磁场，如前面图所示，其运动轨迹的圆心在，轨道半径为，令 有 得 由 解得。 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从S点到A点，根据动能定理可得 解得 根据 解得粒子到达点时的动量大小 （2）粒子在电场中做类平抛运动，有 解得 根据牛顿第二定律，有 可得粒子在C点时竖直方向的速度为 所以粒子离开电场时的速度 根据速度三角形可得 解得 竖直方向的位移为 由题意可知，点到点与点到点有一定的对称性，粒子从点回到点的时间 位移为 即 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，则 解得 根据洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 （3）根据几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为，故在磁场中的运动时间为 故粒子从点进入电场至返回到点的运动时间为 7．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在区域做匀速圆周运动，由几何关系得 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子过Q点时速度方向与x轴夹角为，由几何关系得 解得 粒子在区域做匀变速曲线运动，设粒子在电场中运动时间为t，则 联立以上各式解得 （3）粒子进入区域时的速度 各段均为匀速圆周运动，半径 周期 M点到x轴的距离 解得 时，     即粒子所处位置坐标为 8．(1) (2) (3)若磁场方向垂直于纸面向里；若磁场方向垂直于纸面向外 【详解】（1）粒子在区域ABC内做匀速圆周运动，恰与AC、AB相切，其运动轨迹如图 根据几何知识有 得 P点距O点的距离 解得 （2）粒子从B点进入电场做类平抛运动，设粒子电场中运动的时间为t，有：沿x负方向 沿y负方向 牛顿第二定律 联立得 （3）带电粒子射出电场时的速度为v，速度与y轴的夹角为，有，， 联立解得， 带电粒子进入第四象限做匀速圆周运动，最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行，讨论两种可能的情况： ①若磁场方向垂直于纸面向里，设其做匀速圆周运动的轨道半径为，圆心为，如图所示 洛伦兹力提供向心力 几何关系， 解得 ②若磁场方向垂直于纸面向外，设其做匀速圆周运动的轨道半径为，圆心为，如图所示 洛伦兹力提供向心力有 几何关系有 解得 综上可知，若磁场方向垂直于纸面向里；若磁场方向垂直于纸面向外。 9．(1) (2) (3)最多3层就能确保粒子不从衰减磁场射出 【详解】（1）从点射出的粒子恰好从点进入电场，则粒子在匀强磁场区域做圆周运动的半径 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 联立可得 粒子经过电场区域，由动能定理得 代入数据可得 （2）从射出的粒子经过点时，速度方向沿轴负方向，粒子在电场中做类平抛运动，由（1）问可知粒子穿过MN边界时的速率为，方向与MN边界的夹角满足 可得 若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，设粒子在衰减磁场的第一层中的轨道半径为，根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）设向下速度为，水平速度为，在水平方向上很短时间，有 从射出的粒子恰好未进入衰减磁场第二层，则有 从射出的粒子在衰减磁场中沿轴的偏移量最大，在衰减磁场中依次有，， 最低点时水平速度为，联立方程组代入可得 解得 则最多3层就能确保粒子不从衰减磁场射出。 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）考虑速度为的粒子，粒子从S点离开磁场，由初速度、末速度方向作垂线得到轨迹圆心O，如图1所示 由几何关系可知此时 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）要使得不同速度的粒子运动方向均顺时针转过60°，在角平分线上构建直线边界PS，PS左上方有匀强磁场，速度为的粒子构成磁场上边界，形成一弓形磁场区域如图2所示 由几何关系可知弓形面积 （3）如图3所示，设出射方向距离直线PM距离为x的粒子，其轨迹半径为，在电场中沿电场中的偏移量为有y，打在荧光屏上的位置与A点相距Y 由几何知    根据匀变速直线运动规律有   则 能打在荧光屏上的v是有范围的。粒子能通过金属板，要求（取等表示恰能通过）。 代入得 显然x=L是该方程的一个根。 再因式分解可得 即能通过平行板的粒子速度范围为 接下来求Y的范围，可直接对Y求导（自变量是v），则 令可得 对应的最值为 当v=vm时，解得 当，解得 综上，Y的长度为 11．(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）从点出发的粒子做匀速圆周运动，直接到达点的粒子中，轨迹圆半径越小，粒子速度越小，为直径时，轨迹圆半径最小，则该粒子速度最小； 由几何知识得 对粒子由牛顿第二定律得 解得 （2）在该条件下，粒子在磁场中运动时，S、始终在轨迹圆上，即轨迹圆圆心一定在垂直平分线上，且轨迹圆与轴的另一个交点即为粒子从电场进入磁场的点; 设粒子初速度为，初速度方向与夹角为（小于），从点由电场进入磁场，轨迹如图1所示，设该粒子在磁场中的轨迹半径为，则 由牛顿第二定律有 设粒子在电场中的运动时间为，由对称性可知： 沿轴方向 沿轴方向 解得 初速度方向与夹角大于时，轨迹与图1中轨迹关于对称，不变； （3）由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 设粒子的速度为，粒子在电场中做一次类平抛运动的时间是，对粒子在磁场中由牛顿第二定律得 在电场中沿轴方向有 若粒子最终能垂直经过轴，轨迹如图2所示 由几何关系得（其中） 解得（其中） 当时，均可满足； 当时，粒子再次进入磁场，由几何关系可知 解得时，应满足的条件为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $