精品解析：江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷

2025-2026-2学年高一年级5月期中考试 数学试卷 卷面分数：150分 考试时间：120分钟 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单选题 1. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简，再应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则. 3. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， ， 设， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以． 4. 已知，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式化简判断即可. 【详解】由两角和的正弦公式得， 由二倍角公式得，， 因为，所以. 5. 窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 6. 已知锐角满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，则， 令，，则，， 由于是锐角，即，又因为， 由，又由， 所以，，则由基本不等式有： ， 当且仅当时取等号，将其代入，解得， 即，， 此时， 因为，，即存在满足条件的锐角，使得等号成立， 所以的最小值为. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 8. 已知向量，其中，，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直，可得数量积为零，然后结合二倍角公式、弦化切、正切的两角和公式化简，再用换元，结合基本不等式即可求出结果. 【详解】由题知，， 则， 即， 因为，所以，则， 所以，则， 整理得， 令，因为，所以，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题决的关键是利用三角恒等变换将转化为关于的表达式，从而得解. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若（、），则与共线 D. 若，则向量，的夹角不一定为钝角 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由于的方向不确定，故A错误； 对于B，由得的方向相同，所以成立，故B正确； 对于C，当时，对任意均成立，此时与不一定共线，故C错误； 对于D，当与方向相反时，不属于钝角，满足，说明夹角不一定为钝角，故D正确； 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 是图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的零点之和为 D. 函数的零点个数为11个 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点、最值，逐项计算判断即可. 【详解】 . 由图象可知，，所以，即，解得. 所以，又图象经过点，且在处递增趋势， 所以，，解得，， 因为，所以. 所以. 选项A：令，，则，， 即函数的对称轴为，，故不满足，A错误. 选项B：当时，， 又在上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确. 选项C：令，即，，解得，， 又，所以或，零点之和为，故C正确. 选项D：函数定义域为. 令，则， 易知，最小正周期为. 令，，， 在定义域上单调递增，所以大致图像如下： 由图可知，曲线与有11个交点，故D正确. 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，则动点的轨迹经过的外心 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将转化为，然后求数量积；B选项，将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C选项，由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断D； 【详解】选项A.，故A正确； 选项B.设中点为，中点为， ， 即，所以点为中线靠近点的三等分点，所以，故B错； 选项C.设中点为，则， 结合题设. 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上，所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； 选项D.设为中点，，所以， 即，由，所以，所以，，三点共线， 所以．故D正确． 三、填空题 12. 设向量、满足，，且、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】向量、满足，，且、的夹角为60°， 故. 因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线（反向）， 所以且， 解之得：且， 故实数t的取值范围为. 13. 化简___________． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的图形运算可得不等式恒成立的几何意义，然后引入变量，把最大值转化为一个函数问题，再借助三角换元求最大值. 【详解】 对任意，都有恒成立，如图可设， 则， 即表示点到直线上任意一点的距离最小值就是, 可得,再设，取中点为， 因为，所以可得，即， 又因为，所以 ， 由于同时满足，，则的最大值就只有一种情形， 即点在的下方，如图： 此时，, 不妨设， 则 显然当时，， 故的最大值. 四、解答题 15. 在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点． （1）设，求的值． （2）求． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的推论求解； （2）用作基底表示，利用向量的数量积及运算律求解. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 又，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 因为三点共线，所以，所以. 【小问2详解】 已知，， . 16. 已知， （1）先化简，再求的值； （2）若已知，且，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求值； （2）利用半角公式和两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 ，且， 【小问2详解】 ， 因为，所以，又 ， 所以，所以， 所以，， 所以 17. 在菱形中，． （1）求的值； （2）若P是线段上的动点，问是否为定值？若是，求该定值；若不是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）不是定值； 【解析】 【分析】（1）用表示，再利用向量的数量积及运算律求解； （2）设，用表示，再利用向量的数量积及运算律求出，根据的取值范围，确定的取值范围. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设， 则 ， ， 因为，所以， 所以不是定值，取值范围为 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数； （i）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. （ii）讨论的零点个数. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）个 【解析】 【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求解； （2）（i）利用换元法来求最小值，再利用向量的垂直关系来求解坐标即可； （ii）利用换元法先解一元二次方程，再解三角方程，即可结合定义域得到解的个数. 【小问1详解】 由，根据向量平行的坐标条件： ， 展开整理得：， 【小问2详解】 （i）当​时，，. 由, 令，由得，且， 代入得：, 令，该二次函数的对称轴为，定义域为，开口向下， 所以最小值在处取得，此时，结合， 得，则，， 即，设单位向量， 则由，则，又由， 联立解得或， 即或； （ii）的零点满足，代入得， 解得或， 当时，，在内有2个不同解，即和； 当 ​时，，因为， 所以只有唯一解； 综上，共3个零点. 19. 如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）已知在仿射坐标系中，，. ①若，求； ②若，求； （2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； ②求出的值，利用平面向量数量积的定义可得出关于的值，解之即可； （2）由已知条件得出，，利用平面向量数量积的运算性质结合对恒成立，以及且，可求出的取值范围，再利用平面数量积的运算性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， ①因为，所以. ②因为， 所以， ， 因为，， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 由，得， 即 对恒成立， 因为且，所以 ， 所以， 化简得 ，所以 ， 又因为 且，所以 或 因为与的夹角为， 所以， 而 或 ， 所以或， 即，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2学年高一年级5月期中考试 数学试卷 卷面分数：150分 考试时间：120分钟 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单选题 1. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知锐角满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，其中，，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若（、），则与共线 D. 若，则向量，的夹角不一定为钝角 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 是图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的零点之和为 D. 函数的零点个数为11个 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，则动点的轨迹经过的外心 D. 若，且，则的面积是面积的 三、填空题 12. 设向量、满足，，且、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________． 13. 化简___________． 14. 在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为___________． 四、解答题 15. 在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点． （1）设，求的值． （2）求． 16. 已知， （1）先化简，再求的值； （2）若已知，且，求的值． 17. 在菱形中，． （1）求的值； （2）若P是线段上的动点，问是否为定值？若是，求该定值；若不是，求的取值范围． 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数； （i）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. （ii）讨论的零点个数. 19. 如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）已知在仿射坐标系中，，. ①若，求； ②若，求； （2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $