江西九江市武宁县振风高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试题

**基本信息** 高一数学期中卷聚焦向量、三角函数、几何应用，融合八卦文化、自行车运动等情境，通过基础题与探究题梯度设计，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|9/45|向量共线、三角函数值、几何投影|第2题以八卦正八边形考向量夹角，体现文化传承| |多选题|3/18|向量分解、抛物线性质、三角函数周期|第12题结合周期与最值考推理能力，层次分明| |填空题|2/10|扇形向量分解、函数定义域|第13题扇形中向量线性表示，强化几何直观| |解答题|5/77|三点共线证明、坐标运算、实际应用|第17题游乐场边界设计，考查数学建模与应用|

江西省武宁县振风高级中学2025-2026学年度下学期期中测试 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共9小题，每小题5分，共45分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知向量,且,则的值分别为(　　) A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2 2．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）其中正确的结论为（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 3．的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 4．已知，为非零向量．则是，共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在同一平面内沿平行四边形边向外作正方形，其中，则（    ） A． B． C．0 D． 6．如图，是自行车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向前直行时（车轮向前顺时针滚动，无滑动），下列描述正确的是（    ）    A．点在前轮的左下位置，距离地面约为 B．点在前轮的右下位置，距离地面约为 C．点在前轮的左上位置，距离地面约为 D．点在前轮的右上位置，距离地面约为 7．设、、为非零不共线向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（  ） A．2 B．3 C．5 D．6 9．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 10．直角三角形OAB中，，OA＝3，OB＝2，M为OB的中点，，且P为AM与BN的交点，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（   ） A．l的方程为 B．为正三角形 C． D．的面积为 12．已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．若函数在上存在零点，则的最小值为 D．函数在上一定存在零点 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分, 13．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为，点C在AB上，且，若，则________________． 14．函数的定义域为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线. (2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值. 16．设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． （1）若，求点D的坐标； （2）设向量，，若与垂直，求实数k的值． 17．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场.游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图象，图象的最高点为；边界的中间部分为长1千米的直线段，且；游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧. (1)曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路的长度； (2)如图，在扇形区域内建一个矩形休闲区，矩形的一边在海岸线上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求矩形休闲区面积的最大值和此时点的位置. 18．已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)求向量与方向上的投影数量． 19．已知向量, 设函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求在上的最大值和最小值. 第1页，共4页 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C D C D C C ABC 题号 11 12 答案 ABD ACD 1．D 【分析】根据向量的坐标运算列出关于的方程组求解即可. 【详解】因为,所以. 所以解得. 故选：D． 2．A 【分析】利用正八边形的特征，结合向量的相关概念及加减运算，逐一分析各个命题判断作答. 【详解】在正八边形中，，即与的夹角为，①正确； 因，平分，因此，，②不正确； 显然，而，则，③正确； 由图知在上的投影向量与向量反向，④不正确. 故选：A 3．A 【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案. 【详解】，，． 故选：A 4．C 【分析】根据数量积公式化简可得，进一步可得角度，根据充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】设，夹角为， 则 或，共线． 故选：C 5．D 【分析】建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用坐标进行运算. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，，，，， 所以，， ，所以D正确. 故选：D. 6．C 【分析】计算出点转过的弧度数，确定旋转后点的位置，即可得出结论. 【详解】自行车在向前直行的过程中，点在前轮上按照顺时针的方向在旋转， 点转过的弧度数为， 以前轮的圆心为原点，以向前的方向为的正方向，建立平面直角坐标系， 以轴的正半轴为始边，以射线的初始位置为终边的角为 则向前直行后，射线转到图中的位置，其中，    故点在前轮的左上位置， 距离地面约为. 故选：C. 7．D 【分析】由题意化简得到，整理得恒成立，结合二次函数的性质，结合，即可求解. 【详解】由向量、、为非零不共线向量，若， 则，可得， 化简得， 即恒成立， 令， 则 ，即， 所以 故选：D. 8．C 【分析】利用向量数量积的运算律可得，应用重要不等式及数形结合可得且，此时共线，即可确定最大值. 【详解】由， 根据题设，， 又，当且仅当时等号成立， 所以，即， 如上图知：当圆心在上运动时，有，此时共线， 所以，当且仅当时等号成立，故． 故选：C 9．C 【分析】由定义在，上的函数的最大值为，可得：，解得，因此：．分类讨论：①时，，利用图象以及函数零点定理即可判断出结论．②，，必须，．即可得出结论． 【详解】解：定义在，上的函数的最大值为， ，解得， ． ①当时，即时，， 令，， 如图，易知与的图象有两个交点，， 由图可知，令， ，， 因此存在唯一实数，，使得． ②当时，即，，必须． 综上可得：正实数的取值个数最多为2个． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、函数零点存在判定定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力． 10．ABC 【分析】运用平面向量基底表示向量，再结合平面向量数量积、模、夹角公式计算即可. 【详解】如图所示，    因为，M为OB的中点， 所以，，， 又因为，，， 所以， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，因为， 所以，故B项正确； 对于C项，因为， ， 所以，故C项正确； 对于D项，，故D项错误. 故选：ABC. 11．ABD 【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，， ，为正三角形，B正确； 对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 12．ACD 【分析】A选项，由图象关于对称结合可判断选项；B选项，由最小正周期，，且在处取得最大值可得表达式；C选项，结合AB选项分析确定表达式，验证即可；D选项，分，两种情况分析零点即可. 【详解】A选项，因在处取得最大值，则图象关于对称，则 ，故A正确； B选项，最小正周期，则，， 则或，又在处取得最大值， 则，则或， 其中，则的最小值为，故B错误； C选项，由AB选项分析结合，可知时， 可取，令， 则，其中. 当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意； 由AB选项分析结合，可知时， 可取，令， 则， 当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意， 综上可知的最小值为，故C正确； D选项，由C分析可知，时，可取， 此时，，存在零点； 时，可取， 此时，，存在零点； 当时，，注意到， 则此时函数在上一定存在零点， 综上在上一定存在零点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三角函数的零点问题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题. 13． 【分析】建立直角坐标系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，进而得解． 【详解】建立直角坐标系，如图所示， ，，，即 ，，即 ， ，解得．． 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题主要考查了向量的坐标运算和向量相等，用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决，考查了运算能力，属于中档题. 14． 【分析】分母不能为零和被开方数大于等于零求解即可. 【详解】要使有意义，，解得. 的定义域为. 15．（1）证明见解析；（2）-8 【分析】（1）计算得到，与有公共点B，得到证明. （2）根据共线得到，，计算得到答案. 【详解】(1)，， ，与共线. 又与有公共点B，三点共线. (2). 三点共线，共线. ∴存在实数使，即. . 与不共线，. 16．（1）  （2） 【解析】（1）设点D的坐标为，求出的坐标，由，得到方程，即可求解； （2）求出坐标，与垂直，数量积为，得到关于的方程，求解，可得结论. 【详解】解：（1）设点D的坐标为，则． 因为，， 所以， 解得， 所以点D的坐标是． （2）， 由与垂直， 得， 即， ，解得． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到共线、垂直的坐标关系，属于基础题. 17．(1)千米. (2)面积最大为平方千米，点在弧的中点上. 【分析】（1）根据图像求曲线段的解析式，再求出点坐标，即可求景观路长； （2）记，在中，运用三角函数得到. 进而得到，结合，，求出. 运用矩形面积公式，得到把矩形面积表示成关于的函数，再利用倍角公式和辅助角公式化简，由正弦函数的性质求取最大值. 【详解】（1）由已知条件，得， 又， 又当时，有，且， 曲线段的解析式为. 由，根据图象得到， 解得， 又. 景观路的长为千米. （2）易知，又， ， 记，在中， . 即， ，又，中，. 所以. 故，， 当时，即时，矩形面积最大为平方千米，此时点在弧的中点上. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件，结合数量积的性质求出，再由求结论； （2）结合向量夹角的计算公式求解； （3）根据投影数量的定义求解. 【详解】（1）由均为单位向量，则， 由，即，得， 故； （2）， 由（1）知，，且， 故与的夹角为； （3）由投影数量的定义可知， 向量与方向上的投影数量为. 19．（1）；（2）最大值和最小值分别为. 【分析】（1）求出化简，即可得出结论； （2）根据整体思想，结合图像特征，即可求出答案. 【详解】(1) ,                            . .           所以,  所以最小正周期为. (2) 当 时，        . 所以在上的最大值和最小值分别为. 【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的关键，属于中档题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $