山东青岛市2026届高三静悟材料暨高考数学考前读本

静悟材料 青岛市教育科学研究院 2026.05.10 2026届青岛市高三数学静悟材料 2026届青岛市高三数学静悟材料目录 内容 页码 负责单位 静悟材料一：集合，常用逻辑用语，复数 1 城阳教研室 静悟材料二：平面向量 9 胶州教研室 静悟材料三：不等式 17 即墨教研室 静悟材料四：计数原理与二项式定理 29 莱西教研室 静悟材料五：三角函数与解三角形 42 城阳教研室 静悟材料六：数列 58 胶州教研室 静悟材料七：立体几何 74 即墨教研室 静悟材料八：概率与统计 85 青岛一中 静悟材料九：解析几何 92 平度教研室 静悟材料十：函数与导数 121 青西教研室 静悟材料十一：单选题解答策略 148 青西教研室 静悟材料十二：多选题解答策略 162 莱西教研室 静悟材料十三：填空题解答策略 171 平度教研室 静悟材料十四：新定义题解答策略 183 青岛十五中 1 2026届青岛市高三类 静悟材特 【必备知识】 集合与常用逻车 复数及其应年 (学静悟材料 一：集合、常用逻辑用语、复数 主编单位：城阳教研室 1、集台中元素的性质 知识点1集合与元素 2、元素与集合的关系 3、集合的表示方法 4、常见数焦的记法与关系图 知识点2集合之间的基本关系 子集、真子集、相等、空集 知识点3集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 用语 2、集合运算中的常用二级结论 知识点4充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 2、充要条件 1、全称量词与全称量词命题 知识点5全称量词与存在量词 2、存在量词与存在量词命题 3、命题的否定 1、复数的定义 知识点1复数的基本概念 2、复数的分类 3、复数的有关概念 1、复平面的概念 知识点2复数的几何意义 2、实轴、虚轴 3、复数的几何表示 知识点3复数的四则运算 1、复数的运算法则 2、复数运算的几个重要结论 1、复数的辅角 2、复数的三角形式 知识点4复数的三角形式 3、复数的代数式与三角式互化 4、复数乖法运算的三角表示及其几何意义 5、复数除法运箅的三角表示及其几何意义 2026届青岛市高三数学静悟材料 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 2025年I卷2 补集的概念及其运算： 2025年Ⅱ卷3、4 交集的概念及其运算； 求分式不等式的解集 2024年I卷1 交集的概念及其运算； 2024年IⅡ卷2 全称、特称命题的否定及其真假判断 2023年I卷1 交集的概念及其运算： 集合与常用逻辑用 2023年I卷7 判断充分和必要条件； 语 2023年卷2 根据集合的包含关系求参数 2022年I卷1 交集的概念及其运算： 2022年IⅡ卷1 交集的概念及其运算 2021年I卷1 交集的概念及其运算： 2021年Ⅱ卷2 交集、补集的概念及其运算 2025年I卷1 复数的定义及其乘法运算： 2025年Ⅱ卷2 复数的除法运算 2024年I卷2 复数的除法运算； 2024年Ⅱ卷1 复数的模 2023年I卷2 复数的除法运算及共轭复数的计算： 2023年卷1 复数的乘法运算及其象限对应 复数及其应用 2022年I卷2 复数的运算及共轭复数的计算： 2022年Ⅱ卷2 复数的乘法运算 2021年I卷2 复数的乘法运算及共轭复数的计算： 2021年Ⅱ卷1 复数的除法运算及复数的坐标对应 近五年新高考中，集合、复数为必考基础题，常置于选择前2题，难度低、分值稳定。 集合核心考查交并补运算，多与一元二次、分式不等式结合，偶涉含参、新定义问题；复数 侧重复数四则运算、共轭复数、模及几何意义，考查基础运算能力。常用逻辑用语极少单独 命题，多融合其他考点，重点考查充要条件判定、全称与特称命题否定，侧重逻辑推理，整 体考查稳中有变，聚焦基础与核心素养。 2026届青岛市高三数学静悟材料 【易错点提醒】 1.已知集合A={gx<,B={2< 则AUB=() B.-0,2 C.（-0,10) D 【错解】忽略y=lgx的定义域限制，漏掉x>0,错选A项. 【正解】由x>0,得0<x<10,故4=(0,10) gx<1 由2<1得x0,得x<分散B-（0》所以4UB=(x10),故选C 2.若集合A={xex2≤8，B={x(x+1)(x-5)>-8},则An(GB)=() A.{01,2}B.{x0≤x<22C.{x1≤x≤22 D.{1,2 【错解】集合4未看到整数的要求，错选C项。 【正解】由题意，得A={-2,-1,0,1,2}, 因为(x+1)(x-5)>-8,即x2-4x+3>0,解得B={xx<1或x>3} 则CB={x1≤x≤3}，所以An(CB)={1,2},故选D. 3.设集合A={x-3≤x<0},B={xr<a}.若AnB≠O,则实数a的取值范围是() A.{a3<a≤0} B.aa>o c.{aa≥-3} D.{aa>-3} 【错解】端点的取舍易出现错误，导致错选C项 【正解】因为A={x-3≤x<0},B={xx<a且AOB≠⑦， 所以a>-3,即实数a的取值范围是{aa>-3,故选：D. 4.命题“x∈Z,x2≥0”的否定是() A.3x∈Z,x2≥0 B.3xEZ,x2≤0 C.3x∈Z,x2<0 D.3x生Z,x2<0 【错解】误将前后都否定，错选D.3x￠Z,x2<0 【正解】命题“x∈Z,x2≥0”的否定是“3x∈Z,x2<0”.故选：C. 2026届青岛市高三数学静悟材料 5.“x>y”成立的充分不必要条件是() A.x2>y2 B.log,x>l0g2 y C.2>2" D.1<1 x y 【错解】(1)分不清谁是条件(2)疏漏x,y的符号，错选D 【正解】对于.由x2>y2可得x>y,不能得出x>y,故A错误： 对于由log2x>log2y可得x>y>0,能得出x>y,但x>y不能得出x>y>0,故 B正确： 对于.由2>2'可得x>y,是x>y的充要条件，故C错误； 对于由1<1若x<0,y>0,不能得出x>y,故D错误. x V 故选B. 6.复数2iz=i-3(i为虚数单位)，则：在复平面内对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【错解】误将z看成z,错选A项. 【正解】由2i2=i-3得：2=i3-1-3列×(-2刘-2+6i13 2i2i×(-21) 422 3,所以复数：在复平面内对应的点为22 ..z= 13 ,位于第四象限，故选：D 22 7.欧拉公式c°=cos0+isin0把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos0和sin0联系在 一起，被誉为“数学的天桥”.若复数z满足2+e2)i=2-i,则=（) A.2 B.22 C.5 D.V10 【错解】读不懂新概念或看不懂新情境，导致无从下手. 【正解1由欧拉公式得e宁=6os+1sn额-1，因此e+心尚)1=2-化为e-0i-2-i, 2 2 则-i2,即-2M121=1-, i(-i) 1 2026届青岛市高三数学静悟材料 所以z=V-)2+(-1)2=√2，故选：A 【典型真题】 1集合间的基本关系 【2023新课标Ⅱ卷】设集合=0，-}，={1，-2,2-2，若≤，则=() A.2 B.1 c号 D.-1 【答案】B【分析】本题主要考查集合的子集，属于容易题.根据≤，四个选项逐一带 入即可判断， 【解答】 解：若=2，此时={0，-2}，={1,0,2}，不满足题意； 若=1，此时={0，-1，={1，-1,0}，满足题意 若=子，此时=0，-}，=1，--}，不满足题意. 若=-1，此时=0,1}，={1，-3，-4，不满足题意 2.集合的基本运算 (1)【2025·新课标I卷】已知集合U={xx是小于9的正整数}，A={L,3,5},则C,A中元素 个数为() A.0 B.3 C.5 D.8 【分析】根据补集的定义即可求出， 【详解】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CA={2,4,6,7,8},uA中的元素个数为5， 故选：C (2)【2025新课标Ⅱ卷】)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={xx3=x,则A∩B=() A.{01,2 B.{L,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 【分析】求出集合B后结合交集的定义可求A⌒B, 【详解】B={xx3=x={0,-1,1},故A∩B={0,1}, 故选：D 6 2026届青岛市高三数学静悟材料 3.常用逻辑用语 (1)【2024新课标Ⅱ卷】已知命题p:x∈R,|x+1>1;命题q:3x>0,x3=x,则() A.p和g都是真命题 B.一P和g都是真命题 C.p和一9都是真命题 D.一P和9都是真命题 【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1,再结合命题及其否定的真假性相反即 可得解. 【详解】对于卫而言，取x=-1,则有x+1=0<1,故p是假命题，P是真命题， 对于9而言，取x=1,则有x3=13=1=x,故9是真命题，9是假命题， 综上，一P和9都是真命题.故选：B (2)【2025北京高考】已知函数f(x)的定义域为D,则“f(x)的值域为R"是“对任意M∈R, 存在x∈D,使得f(x)>M"的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在x∈D,使得f(x)=M+1, 取=x,则f(x=M+1>M,充分性成立； 取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在x∈D,使得f(x)=M+1, 取，=x,则f(x=M+1>M,但此时函数fx)的值域为(0，+∞)，必要性不成立： 所以“f(x)的值域为R"是对任意MeR,存在x∈D,使得f(x)>M"的充分不必要条件. 故选：A 4.复数的概念及几何意义 【2025新课标I卷】(1+5i)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出。 【详解】因为(1+5i)i=i+5i=-5+i,所以其虚部为1， 故选：C > 2026届青岛市高三数学静悟材料 5.复数的四则运算 (1)【2024新课标I卷】若乙，=1+i,则2=（） z-1 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【解答】因为三=-1+1=1+1，=1+i,所以2=1+=1-i. 2-1z-1 z-1 (2)【2025新课标Ⅱ卷】已知z=1+i,则 =() z-1 A.-i B.i c.-1 D.1 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为z=1+i,所以L=1=11 2-11+1-1i京=i. 故选：A. 【教材好题】 1.集合 请解决下列问题： (1)设a,b∈R,P={1,a,Q={-1,-b},若P=0,求a-b的值： (2)己知集合A={x0<x<a,B={x|1<x<2},若BcA,求实数a的取值范围. 【详解】(1)由于p=e,所以a=-1,且-b=1,.a-b=0. A (2)A={x|0<x<a,B={x|1<x<2},且BsA,.a≥2 B 0 如图所示. 【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 2、常用逻辑用语 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： (1)平行四边形的对角线互相平分；(2)三个连续整数的乘积是6的倍数； (3)三角形不都是中心对称图形；(4)一元二次方程不总有实数根. 【详解】(1)任意一个平行四边形，它的对角线互相平分； 它的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分； (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数； 8 2026届青岛市高三数学静悟材料 它的否定：存在三个连续整数的乘积不是6的倍数； (3)存在一个三角形不是中心对称图形； 它的否定：所有的三角形都是中心对称图形； (4)存在一个一元二次方程没有实数根； 它的否定：任意一元二次方程都有实数根 3、复数 设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)z=1: (2)1<z<2. 【详解】 (1)由z=1得，向量0Z的模等于1，所以满足条件z=1的点z的集合是以原点0为圆心， 以1为半径的圆 (2)不等式1<z<2可化为不等式 z<2, z>1. 不等式|zk2的解集是圆2=2的内部所有的点组成的集合，不等式z>1的解集是圆z=1外 部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件 1<z<2的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点0为圆心，以1及2为半径的两个圆 所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）. 图7.15 9 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料二：平面向量 主编单位：胶州教研室 【必备知识】 定义、模、零向量、单位向量 知识点1向量的概念与表示 加法 三角形法测、平行四边形法测 减法 三角形法侧 知识点2向量的线性运算 数乘向量 模、方向 线性运算性质及坐标运算 向量共线的充要条件 坐标形式的共线判定 知识点3共线向量定理 三点共线 平面向量 定理内容与基底要求 知识点4平面向量基本定理 向量的分解、坐标表示 数量积定义、夹角、投影 坐标运算 知识点5向量的数量积 模、夹角、垂直的判定 数量积运算律 平面几何中的应用（平行、垂直、长度、史角） 知识点6向量的应用 物理中的应用 重心外心、垂心、内心 知识点7三角形四心 10 2026届青岛市高三数学静悟材料 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 平面向量的概念与 2025I卷3；2024Ⅱ卷3： 向量加减、数乘运算；几何意义；三 线性运算 2023I卷4 点共线判定 平面向量基本定理 2025IⅡ卷5；2024I卷4： 基底选择；坐标运算；用基底表示向 与坐标表示 2022Ⅱ卷3 量 2025I卷4：2024I卷5； 数量积计算；模长；夹角；垂直判定 平面向量的数量积 2023Ⅱ卷4 2023I卷10：2022I卷8 与三角函数、解三角形、解析几何结 向量的综合应用 合 近五年新高考中，平面向量为必考中档题，多以选择题、填空题出现，难度中等，分值 稳定。核心考查：线性运算、坐标运算、数量积、垂直与平行判定、模长与夹角，偶尔在解 答题中作为工具考查，与三角函数、解三角形、平面几何结合，突出数形结合与运算素养， 重基础重方法。 【易错点提醒】 1.忽略零向量的特殊性 判断a/b,b//c→a/c易错，b=0时不成立 2.忽略共线向量 (1)己知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且a=1,1b=2,c=3, 求a+b+c的长度 【答案】6或√5 (2)已知向量AB=(1,2),CD=(-2,m),则“m<1”是“<AB,CD>为钝角”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件=C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 3.投影向量理解错误 已知向量a=(0,1),b=(山，V3),则万在a上的投影向量为() A.35 B.a D. 3 【答案】B 4.向量夹角的定义 在边长为1的正三角形ABC中，则AB,BC+BC.CA+CA,AB的值为 【答案】 11 2026届青岛市高三数学静悟材料 5.忽视平面向量的运算律出错 (多选)已知ā，b,c为非零平面向量，则下列说法正确的有() A.a⊥b台a.b=0 B.a∥b台3∈R,b=d C.若a.c=b.c,则a=b D.(a.b).c=a.(b.c) 【答案】AB 6.混淆点的坐标与向量的坐标 已知MN=(2,3),则点N位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.不确定 【答案】D 已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当AB=a+b时，点B的坐标为() A.(2,6) B.(-1,-6) C.(0,-1) D.(-4,5) 【答案】B 7.模长忘记开方 → → 知单位向量ee的夹角为2，则e元e 的最小值为() A.② B.1 C.3 D.3 2 2 【答案】C 8.共线向量忽视方向相同相反 在△ABC中，点D满足BC=2CD,则AD=() 3AC-1AB B.1 C+4Bc.3c+ 3D.14C-348 2 2 2 2 【答案】A 【典型真题】 1.向量加法 【2025新高考I卷6】帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结 果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应 的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.如表给出了 部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对 应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s),则真风为( 等级 风速大小m/s 名称 1.1~3.3 轻风 3 3.45.4 微风 5.57.9 和风 8.0~10.1 劲风 12 2026届青岛市高三数学静悟材料 视风丸速 船速 1 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【解析】：如图：视风风速对应向量的坐标为=(-3，-)， y 视风速 船速 1 2 3 船速对应向量的坐标为y,=1,3),所以船行风速对应的向量坐标为-=(-1，-3)， 设真风风速对应向量为立，则立-，=？，所以=y+2=(2,2), 所以|D=V(-2)2+22=2√2≈2.828∈1.1,3.3)，故真风为轻风.故选：A. 2.向量垂直 【2024新高考I卷3】已知向量ā=(0,1)，b=(2,x),若b⊥（亿-4），则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】解法一：ā=(0,1)，b=(2,x),则b-4ā=(2，x-4), b⊥(6-4a),.2×2+x(x-4)=(x-2)2=0,解得x=2.故选：D 解法二：b.(6-4a)=b2-4ā.b=4+x2-4x=0,∴.x=2 3.向量的模 【2023新高考Ⅱ卷13】已知向量a,6满足a-=v3,a+b=2a-,则- 【解析】解法一：因为a+=2立-，即（ā+）=(2a-, 则a2+2a6+6=4a-4a6+62,整理得a-2a.6=0 又因为a-=5,即(a-=3, 则a-2a6+6=6=3,所以5=V3 解法=：设c=a-6,则=V5,a+6=c+26,2a-6=2元+6， 由题意可得： (+2=(2c+,则2+46+462=4c2+4c.6+6, 整理得：2=2，即=日=V5.故答案为：5 13 2026届青岛市高三数学静悟材料 4.向量线性运算 【2022新高考I卷3】在△4BC中，点D在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=i,则 CB=() A.3m-2元 B.-2m+3i C.3m+2n D.2m+3n 【解析】【解法一】如图， D B CD-CA+AD-C4+DB-CA+(CB-CD)-CA+CB-CD, 0西-300-C,即C=30-2C=3n-2m.枚选：B 【解法二】.BD=2DA,∴.BD=2DA,∴.CD-CB=2(CA-CD),解得CB=3CD-2CA=3n -2m. 【解法三】：取C为直角，并以C为原点，CA、CB所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系， 设A(3a,0),B(0,3b),由BD=2DA知D为靠近A的三等分点，从而D(2a,b),∴ CB=(0,3b)=3(2a,b)-2(3a,0)=3n-2m。 【解法四】：设CB=xCD+yCA,则BD=CD-CB=(1-x)CD-yCA, 与条件BD=2DA=2(CA-CD)对比，得1-y=-2,解得3，y=-2,故CB=3i-2m. 5.向量的夹角 【2022新高考Ⅱ卷4】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>, 则t=() A.-6 B.-5 C.5 D.6 【解析】【解法一】向量ā=(3,4)，b=(1,0),c=ā+b, .c=(3+t,4), <a,c>=<b,c>, a-E=68,25+3_3+',解得实数1=5.故选：C. lal-lal 1b1-8l 5 1 【解法二】<a,c>=<b,c>,.cos<a,c>=cos<b,c>, :ccos<a,co<万-d>,a-c_6-C,:25+3_3+',解得实数1=5.故选： a11b1 ”51 C. 【解法三】记OA=a,OB=tb,OC=c,由题意可得，0C为0A与OB为邻边的棱形对角线， 且OC=5,故t=5.故选：C. 6.数量积运算 【2021新高考I卷l0】已知O为坐标原点，点P(cosa,sina),P(cosB,-sin),P(cos(a+), sin(a+B),A(l,0),则( A.IOP OP I B.APAP C.OA.OP,=OP.OP, D.OA·OP=OP,·OP 【解析】：P(cosa,sina),P(cosB,-sinB),P(cos(a+),sin(a+),AL,O), .OP =(cosa,sina),OP=(cos B,-sin B), 14 2026届青岛市高三数学静悟材料 OE=(cos(a+B),sin(a+β)，OA=(1,0), AP (cosa-1,sin a),AP =(cos B-1,-sin B), 则1OE=Vcos2a+sin2a=1,|OE=Vcos2B+(-sinB)2=1,则1OE曰OE|,故A正确： AP(cosa-1)2+sin'a=cos'a+sin'a-2cosa+1=2-2cosa, AP=(cosB-1)+(-sin B)2=cos'B+sin'B-2cosB+1=2-2cosB, IARAPI,故B错误： O4.OP=1xcos(a+B)+0xsin(a+B)=cos(a+B), OP.OP,cosa cos B-sin asin B=cos(a+B), 、.OA.OE=OE.OE,故C正确： OA.OE=1×cosa+0×sina=cosa, OR·OP=cos Bcos(a+β)-sin Bsin(a+β)=cos[B+(a+B)]=cos(a+2βB), .OA.OF≠OE·OE,故D错误. 故选：AC. 【教材好题】 AB 1.(人教A版习题)若非零向量AB与AC满足 AC BC=0, AB B.4=,则△4BC AB AC 为() A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 AB 【详解】 AC BC=0, 4B AC ∠A的角平分线与BC垂直，AB=AC AB AC 1 2,0<A<π， 4= π 3,B=C== ∴，△ABC为等边三角形.故选：D. 2.(人教A版习题)己知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转日 角得到向量AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角 得到点P.已知平面内点A1,2),点B1+√2,2-2√2)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转T后 得到点P,求点P的坐标 【详解】由已知AB=(N2,-22)。 2026届青岛市高三数学静悟材料 .P-o(-2))2in)--2/)o3 AP=OP-OA, :.OP=AP+OA=(-1,-3)+(1,2)=(0,-1), .点P的坐标为(0，-1) 3.(人教A版习题)如图，在ABCD中，点E,F分别是AD,DC边的中点，BE,BF分别 与AC交于R,T两点，你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. T B 【详解】设AB=a,AD=万，AR=F,则AC=a+b. 由AR/1AC,可设产=na+b),n∈R, 又面=丽-正=i-6,R/E历，可设取=mB=ma- 2 .AR=AE+ER 1.F-6ma- 2 综上，有@j-5ma5-ma+a5-0, n-m=0 由于a与6不共线，则n+m-1-0'解得m=n=3, n+ 2 “孤=}4C.同理，7元=}4C,R7=4C. .AR=RT=TC. 4.(人教A版习题)如图，在⊙C中，是不是只需知道⊙C的半径或弦AB的长度，就可以 求出AB·AC的 值？ B 【详解】只与弦AB的长度有关，与半径无关. 理由如下：设⊙C的半径为r,AB的长度为2a,取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB. 在RiMACD中，AD=a,AC=r,cos∠CAD=a 16 2026届青岛市高三数学静悟材料 .AB·AC=2arc0s∠CAD=2a2 5.（人教A版例题)用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(a-B)=cosa cos B+sin asin B 证明：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以x轴的非负半轴为始边作角，B,它们 的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则 04=(cosa,sina),OB=(cosa,sin B) y B终边 a终边 a终边 B终边 B y A B 0 由向量数量积的坐标表示，有OA.OB=cos a cos B+sinasin阝 设OA与OB的夹角为0，则OAOB=OAOB cos0=cos0 所以cos0=cosa cos B+sin asin B 另一方面，由图(1)可知，a=2kπ+B+0;由图(2)可知，a=2kπ+B-0 于是a-B=2kπ±O,k∈Z.所以cos(a-B)=cos0 于是cos(a-B)=cos a cos阝+sin asin B. 17 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料三：不等式 主编单位：即墨教研室 【必备知识】 两个实数a,b,其大小关系有三种可能，即>b,a=b,Kb. 依据 a>b台a-b>0a=b冷a-b=0 a<b台a-b<0 基本事 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 ①如果a=b,那么b=a ②如果a=b,b=c,那么a=c ③如果a=b,那么a±c=b±c 等式性质 ④如果a=b,那么ac=bc 等式性质与不等式性质 ⑤如果a=b,c40,那么4_b cc 别名 性质内容 注意 对称性 a>b台b<a 台 传递性 a>b,b>c→a>c 不可逆 可加性 a>b台a+c>b+c 可逆 a>b,c>0→a心bc 可乘性 c的符号 a>b,c<0→ac<bc 同向可加性 a>b,c>d→a+c>b+d 同向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d心0→ac>bd 同向 不等式性 可乘方性 a>b>0→a>br(n∈N,22) 同正 18 2026届青岛市高三数学静悟材料 Va,b∈R,有a2+b2>2ab,当且仅当a=b时，等号成立 重要不等式 如果a>0,b>0,Nb≤a ，当且仅当a=b时等号成立 如果a>0,b>0,labsat色， 2 当且仅当a=b时，等号成立 基本不 其中十b叫做正数a,b的算术平均数，b叫做正数a,b的几何平均数 2 式 本不等式 日 b≤+也，a,6ER,当且仅当a=b时，等号成立 用基本不等式出G求最值应注意： 3 (1),y是正数， (2)①如果等于定值卫，那么当x=y时，和x十y有最小值2P ②咖果x十y等于定值S,那么当xy时，积双有最大值S 基本不等式求最值 (③)讨论等号成立的条件是否满足 (1)拼凑法：就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项 (2)常数代换法：构造和式或积式为定值的式子，应把“1”的 表达式与求最值的表达式相乘求积或相除求商， 19 2026届青岛市高三数学静悟材料 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 等式与不等式 2025年1卷8 利用图像比较大小 2025年Ⅱ卷4 分式不等式的求解 2023年I卷1 一元二次不等式的求解 2022年I卷7 作差法构造函数比较大小 2021年IⅡ卷7 找中间值比较大小 基本不等式 2023年I卷22 基本不等式的应用 2022年I卷18 基本不等式求和的最小值 2022年Ⅱ卷12 基本不等式的应用 2021年I卷5 基本不等式和椭圆定义的结合 近五年新高考不再单独把不等式设大题，弱化独立考点，强化工具属性，多融合集合、 函数、导数、数列考查。小题每年必考，以选择、填空为主：常考不等式性质比大小、一元 二次不等式解集，常结合集合运算、指对函数出题，属于基础送分题。基本不等式是高频难 点，多放在多选、填空压轴，侧重一正二定三相等、1的代换、构造定值求最值，偶尔结合 柯西不等式考查。绝对值、分式、高次不等式多作为解题工具，很少单独命题；解答题集中 在导数压轴，以恒成立、能成立、不等式放缩证明为主。 【易错点提醒】 1.误用不等式性质 已知a,b,c为实数，则a>b是ac2>bc2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【错解】c 【错因分析】误用a>b,c>0→ac>bc的不等式性质，没有弄清谁是条件，谁是结论. 【正解】B 【纠错笔记】p是q的充分条件台p→qp的充分条件是q台q→p. 2忽略限制条件 若log2<2,则a的取值范围是 20 2026届青岛市高三数学静悟材料 【错解】因为log。2<2,两边取倒数得log2a>二，所以a>V2 2 【错因分析】忽略0<a<1的情况 【正解】当0<a<1时log。2<0<2,当a>1时logm2<2两边取倒数得log2a>,所以 a>√2，所以a的取值范围是(0,1)UW2,+0 【纠错笔记】若a<b,则ab>0时才能得到1>} a b 3.同向相乘出错 若-1<x<2,3<y<4,求y的取值范围， 【错解】（-3,8) 【错因分析】利用不等式同向相乘，忽略不等式两边为正.的前提条件 【正解】当0<x<2,3<y<4时得0<xy<8,当x=0时y=0,当-1<x<0时 0<-x<1,3<y<4,所以0<-y<4,-4<y<0,综上可得y的取值范围是(-4,8). 【纠错笔记】若a>b>0,c>d>0,则ac>bd充分条件包含充要条件与充分不必要条件. 4.利用同向相加求范围出错 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(I)≤4，则f(-2)的取值范围是 【错解】由已知得1≤a-b≤2①，2≤a+b≤4②， ①+②得3≤2a≤6，∴.6≤4a≤12，又由①可得-2≤-a+b≤-1，③ ②+③得0≤2b≤3，∴.-3≤-2b≤0，又f(-2)=4a-2b,∴.3≤4a-2b≤12， ∴.f(-2)的取值范围是3,12 【错因分析】范围扩大 [f(1)=a+b [a=SO+f(-D 2 【正解】 由 f(-1)=a-b b=f0-f-1) 2 ∴.f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(I) 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，.5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10 【纠错笔记】在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到， 会导致范围扩大。 5.解分式不等式忽略分母不为零 21 2026届青岛市高三数学静悟材料 解不等式2x-1、 1. x-2 【错解】 2x-≥1台x+1≥0台x+1x-2)≥0台x≥2或x≤-1. x-2 x-2 【错因分析】忽略x-2≠0. 【正解】 2x-≥1分+ ≥0台(x+1)x-2)≥0且x-2≠0台x>2或x≤-1， x-2 -2 所以2x1 x-2≥1的解集为(-0，-儿U2,+0) 【纠错笔记】 >0÷f9g(>0,f四≥0÷feg()≥0且g()≠0. g(x) 8(x) 6,连续使用基本不等式忽略等号能否同时成立 已知x>0,y>0且上+2=1，则x+y的最小值是 x y 【错解】 12 x>0y>0,∴.1= è22 ，Vy≥2V2,∴x+y22Vy=4V2, x y xy ∴x十y的最小值为4√2. 12 【错因分析】二+二≥2 2 取等号的条件是1-2-1 x y 2 即x=2,y=4,x+y≥2√xy取等号的条件是x=y与x=2,y=4矛盾. 【正解】x>0,y>0,x+y=x+2+召)=3+上+2x≥3+22，当且仅当 x V y=√2x时取等号∴当x=V2+1,y=2+V2时，(x+y)mm=3+2W2 【纠错笔记】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件。 7.使用基本不等式求和的最值忽略各项为正 函数f(x)=2+log2x+log.2的值域为 【错解】f(x)=2+log2x+log.2≥2+2V1og2 x.log,2=4 所以f(x)的值域为4，+o∞). 22 2026届青岛市高三数学静悟材料 【错因分析】忽略0<x<1时log2x<0 【正解】 当x>1时log2x>0,f(x)=2+log2x+logx2≥2+21log2x·logx2=4,当0<x<1时 log2x<0,f(x)=2+l1og2x+logx2≤2-2=0，所以f(x)的值域为(-o,0U4,+o) 【纠错笔记】利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等。 8.解含有参数的不等式分类不当致误 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0, 【错解】原不等式化为a(x-x-1)<0. a ∴.当a>1时，不等式的解集为 当a<1时，不等式的解集为 a 【错因分析】解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对 a=0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时，若a<0,忘记改变不等号的方向：(3)忽视了 对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合. 【正解】当a=0时，不等式的解集为{xx>1. 当a≠0时，不等式化为a(x--)x-1)<0 当a<0时原不海成海备于一x-月小>0，不缘新集为>成 当0<a<1时，1<二，不等式的解集为{x a 当a>1时，二<1，不等式的解集为 当a=1时，不等式的解集为中. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为-0，U,+o): a 当a=0时，不等式的解集为(1，+o0): 当0<a<1时，不等式的解集为 a 23 2026届青岛市高三数学静悟材料 当a=1时，不等式的解集为中；当a心1时，不等式的解集 【纠错笔记】解形如ax2+bx+c>0的不等式，应对系数a分a>0,a=0,a<0进行讨论，还 要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集. 【典型真题】 1.比较大小 (2022年全国甲，第12题)已知9m=10,a=10"-11,b=8"-9,则() A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a (1)求m,m=logg10>1,借助指对互化，解方程求得m,并明确取值范围 思路分析： (2)比较m与1g11的大小，观察m=1g10 lg11的结构特点，借助换底公式将两 1g9 者的结构统一，借助基本不等式进行放缩 思路探求 (3)比较m与logs9的大小，同上面的思路 (4)构造函数，研究其单调性 详细答案：A 方法：由9”=10可得m=10g,10=1g10>1, 1g9 而1g91g11<(g9+1g凸>=图99<1=0g102, 2 所以lg10,lgL,即m>1g1,所以a=10-11>10n-11=0. 1g9 1g10 又lg8lgl0< 2 所以lg9、lg10 即10g9>m,所以b=8m-9<89-9=0. 1g8 1g9 综上，a>0>b,故选A. 24 2026届青岛市高三数学静悟材料 方法二：由9=10可得m=10g,10∈1,3，由于a=10”-10-1b=8”-8-1,构造函 数f(x)=x"-x-1(x>1),则f'(x)=mxm1-1(x>1),f'(x)=mxm-1>0(x>1),所以 f(x)在(1，+o)内单调递增，即f(I0)>f(8),所以a>b 又f(9)=98,10-10=0,所以a>0>b,故选A 方法总结：比较大小的常用方法有单调性法、中间量法、作差作商法、构造函数法、图象法。 本题的关键是指对互化后，利用放缩法比较大小，或构造函数后用其单调性比较大小本题在 解决过程中借助指对互化、基本不等式等知识进行条件分析，应用指对运算技能完成数式的 化简，应用演绎推理的技能完成基本不等式的放缩，运算放缩法、构造函数法将问题进行有 效转化， 2.不等式性质 (2025北京丰台一模)已知a<b,c<d,则下列不等式恒成立的是() A.a-c<b-d B.ac<bd C.2+2<2b+24D.a2+c2<b2+d2 【答案】C 【解析】选项A:a-c<b-d 举反例：取a=1,b=2,c=3,d=4,则a-c=-2,b-d=-2, 显然-2<-2不成立，因此A不恒成立： 选项B:ac<bd 举反例：取a=-2,b=-1,c=-3,d=-2,则ac=6,bd=2, 显然6<2不成立，故B不恒成立： 选项C:2“+2°<2+2 由于指数函数2是严格递增函数，a<b和c<d分别推出2<2和2<2， 因此2“+2<2+24恒成立，因此C恒成立： 选项D:a2+c2<b2+d2 举反例：取a=-3,b=2,c=-4,d=1,则a2+c2=25,b2+d2=5, 显然25<5不成立，因此D不恒成立.故选：C. 3.基本不等式 (2025·北京·高考真题)已知a>0,b>0,则() 1,1、1 A.a2+b2>2ab B.二+二2 a b ab 1,12 C.a+b>√ab D. ab√ab 25 2026届青岛市高三数学静悟材料 【答案】C 【解析】对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误： 11 对于BD,取a=5,b=三 1=2+4=6< 1 ,此时ab 11 =81 ab 2 X 24 1+1=2+4=6> =4V2=2 2 a b 11 √ab,故BD错误； V24 对于C,由基本不等式可得a+b≥2ab>√ab,故C正确.故选：C. (2024北京高考)·已知(x,y),（x2,y2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则() A1g4<5 2 B.g,”>5 2 Clog2当+y2之xr D.1og22>x1+X1/ 【思路分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB;举例判断CD 即可. 【详解】由题意不妨设x<x2,因为函数y=2*是增函数，所以0<24<2，即0<y<y2, 对于选项AB:可得25+25>22=2学，即当+业>2岁>0， 2 2 根据函数y=10g,x是增函数，所以1g,乃士>16g,2号-当+5，故B正确，A错误： 2 2 对于选项D:例如x=0,x2=1,则y=1,y2=2, 可得1g,”》=lbe多(0，即oe,艺<1=+，枚D错误： 2 11 对于选项C:例如x=-山，x=-2,则八=2少=4' g,+y0g81og,3-3e-2,-,即1og,t2>-3=x+x,故C 2 2 故选：B. 4.不等式中的恒成立问题 (2025·天津·高考真题)若a,b∈R,对x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则 2a+b的最小值为■ 【答案】-4 26 2026届青岛市高三数学静悟材料 【分析】先设t=2a+b,根据不等式的形式，为了消a可以取x=- ,得到t≥4，验证t=4 时，a,b是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案 【详解】设t=2a+b,原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，x2+(t-2a)x-a-1≤0， 不纺代入x=分相好-20)-a-1s0,得：24 当t=-4时，原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0， 即-2x+a+刃+s0. 观察可知，当a=0时，-(2x+)}≤0对-2≤x≤2一定成立，当且仅当x=-取等号， 2 此时，a=0,b=-4,说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意， 故t=2a+b的最小值为-4. 故答案为：-4 【教材好题】 人教B版(2020年)必修一P81页练习题2-2C第3题： 已知∈(1+四)，求=二的最小值，以及y取得最小值时x的值。 【详解】因为2-+4=2-2+1+-1+4=(-1)2+(-1)+4， 所以=--4，即=(-1)+号+1，因为e(1,+0).所以-1>0. -1 则(-10+422(-1)÷=24=4. 那么=(-1)+4+1≥4+1=5，即y的最小值为5。 当且仅当(-1)=时，等号成立，即-1=2，解得=3。 故函数=2二的最小值为5，此时=3： 方法总结： 1.利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记 (1)一正：各项或各因式均为正： (2)二定：和或积为定值： (3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值. 利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检 27 2026届青岛市高三数学静悟材料 验转换是否有误的一种方法. 人教A版(2019年)必修一P58页复习参考题二第5题： 若正数a.b满足ab=a+b+3.求ab的取值范围 【分析】根据基本不等式化为关于√ab二次不等式，解得√ab范围，即得b的取值范围. 【详解】由于ab=a+b+3≥2ab+3，所以有(（Nab)-2Wab-3≥0，即 (Nab-3vab+1)≥0，所以ab≥3三ab≥9. 人教A版（2019年)必修一P39页探究： 如图是在北京召开的第24届国际标数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 【详解】如图： b 0 b 0 设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，b,则大正方形的面积为 (a+b)2,四个矩形的面积和为4ab,显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所 以(a+b)2≥4ab,所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号). 28 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料四：排列组合与二项式定理 主编单位：莱西教研室 【必备知识】 排列里面的元素有顺序关系 A=n(-1)(n-m+1)= (n-m)川 排列数公式 !=2(n-1)--1 组合里面的元素没有顺序关系 C=ml(n-m)! 计数原理 组合数公式及性质 C=C-m C=C (1)枚举法：直接法；间接法；隔板法： 解排列、组合问题的常用方法 (2)相邻问题用捆绑法；不能相邻问题用插空法： (3)特殊元素、特殊位置优先对待 (a+b)”=Cgab°+Cam-8++Cmab” 项式定理 Te Cta"-kbk 1.与首末等距离的项的二项式系数相等，即C=Cm 2.C+C1=C 项式定理 项式系数性质 3.所有二项式系数的和等于C+C++C=2” 4,当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 1近似计算 2整除及余数 项式定理的应用 3.有关组合数的证明 29 2026届青岛市高三数学静悟材料 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 2024全国甲卷16 2024·新课标Ⅱ卷14 有限制条件的排列问题 2023·全国甲卷（文）4 2022·新高考全国Ⅱ卷5 2021·全国甲卷（文）10 2024天津13 排列与组合 2023·新课标I卷13 2023新课标Ⅱ卷13 2023全国甲卷（理）9 组合问题 2023·全国乙卷（理）7 2022·新高考全国I卷5 2022全国乙卷（理）13 2021·全国乙卷（理）6 2025·上海4 2025·天津11 2024天津11 二项式定理 2024北京4 求二项式展开式的特定项 2023·天津11 2022·新高考全国I卷13 2022·天津11 2021北京11 2021·天津11 2025·北京12 2022北京8 二项式展开式项的系数和 2022·浙江12 2021·浙江13 2024全国甲卷（理）13 项的系数最值问题 2023年IⅡ卷2 有限制条件的排列是高频热点，近5年多次考查“有限制条件的排列问题”，题目常 通过“相邻/不相邻”“特殊元素优先”“位置限制””等经典模型设置，侧重逻辑推理和 分类讨论思想的应用：组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对“无 序性”本质的理解。 二项式定理特定项与系数计算是考查重点，其中近5年“求二项式展开式的特定项”（如 常数项、指定次数项)考查频率最高，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项 式系数的区别：“系数和”问题（如赋值法求各项系数和、奇数项/偶数项系数和）也频繁出 30 2026届青岛市高三数学静悟材料 现，侧重对赋值法的灵活应用；系数最值问题偶有出现，注重逻辑分析，虽然考查次数较少， 但系数最值问题常涉及不等式求解或单调性分析，需结合二项式系数的增减性规律（中间项 最大)，体现对知识深度的要求。 【易错点提醒】 易错点1、计数时混淆有序与定序 1、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地 邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目 顺序，则不同的安排方式有种， 【错解】A,原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列 方法有A8种. 【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。 【正解】原先七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目， 先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A8种，而原先七个节目的顺序一定，故不 同的交排方式共有 A -=720(种). 易错点2、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 1、(2025·江西赣州上犹县一模)身高互不相同的6个人呈2横排3纵列照相，每个人都比他 同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是 种。 【错解】540，先将6名学生均分成三组方法数为C2CC?=90,再按顺序依次站好队A=6, 根据分步计数原理合要求的安排方法数为540. 【正解】90将6个人平均分成三组，有C种方法，再进行全排，有C型×A修=CgCC A A =15×6=90(种)排法.故答案为90.] 2.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务， 6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的 传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不 同的分配方案种数是() A.72 B.108 C.216 D.432 【错解】A,根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点， 31 2026届青岛市高三数学静悟材料 共有CCCA种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A种分法，所 A 以共有CCCLAA=72种不同的分配方案。 A 【错因】该题为部分均匀分组，应除以，而不是A, 【正解】C,根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点， 共有CCC.A种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A种分法，所 A 以共有CCCA-A=216种不同的分配方案 A 易错点3、混淆排列与组合导致计数错误 1.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是() A.1260 B.2025 C.2520 D.5040 【错解】先从10人中选出2人承担甲任务：再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任 务.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有A4=5040种.故选A. 【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。 【正解】选C,先从10人中选出2人承担甲任务：再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、 丙任务.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有C%CC,=2520种.故选C. 易错点4、考虑问题不全面导致漏计出错 000000000’ 1、如图，洛书（古称龟书）是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛 ● 0 水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足， ● ● 以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中 随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为() A.10 B.40 C.44 D.70 【错解】选B,由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数， 则3个数都为奇数，共有C=10种方法：所以满足题意的方法共有10种. 【错因】没有考虑两偶一奇的情况， 2026届青岛市高三数学静悟材料 【正解】选B,由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数， 则有两类：一类是3个数都为奇数，共有C=10种方法：另一类是两偶一奇，共有CC=30 种方法，所以满足题意的方法共有10十30=40种.故选B. 易错点5、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错 1.已知(x+)”的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中x4项 的系数是 【错解】令x=1,则4=256，则n=4，(+3的展开式的通项为 =C=C32 由4-2r=4得r=0,所以所求展开式中x4项的系数是C4·3°=1. 【错因】混淆二项式系数之和与所有项系数之和，本题是说(x+)”的展开式中各 项的二项式系数的和为256， 【正解】依题意2”=256，则n=8,(任+3的展开式的通项为 T-axy=G.3 ,由8-2r=4,得r=2,所以所求展开式中x4项的系数是C?.32=252 易错点6、利用分步乘法原理计数，分步标准错误 1、把3个不同的小球投入到4个盒子，所有可能的投法共有() A.24种 B.4种 C.43种D.34种 【错解】因为每个盒子有三种投入方法，共4个盒子，所以共有3×3×3×3=34（种）投法， 【错因】没有考虑每个球只能投入一个盒子中，导致错误 【正解】第1个球投入盒子中有4种投法：第2个球投入盒子中也有4种投法：第3个球投 入盒子中也有4种投法.只要把这3个球投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共 有43种方法. 易错点7、混淆二项式系数与项的系数致错 1.(2025·上海·高考真题)在二项式(2x-1)的展开式中，x3的系数为 【错解】答案10，由通项公式T1=C5·2-r·x-(-1)y=C(-1)y.2x-,令5-r=3,得r=2 33 2026届青岛市高三数学静悟材料 所以x3的系数为C2=10,故答案为10. 【错因】错把二项式系数当成项的系数 【正解】答案80，由通项公式T+=C5·2-r·xr(-1)=C5(-1)y.2-x,令5-r=3,得r=2 令5-r=3,得r=2,可得x3项的系数为C(-1)2.2-2=80 易错点8、忽略二项展开式的通项是第+1项不是第r项致错 1.(2025·上海宝山三模)在(1+x)”的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则n= 【错解】答案6，其展开式的通项公式为×1-×=.令=2，=4，得2=4，解得 =6 【错因】误认为第二项是r=2,第四项是=4而错误。 【正解】答案4，那么对于二项式1+x)”,其展开式的通项公式为T=C×1”-'×x'=Cx' 求第2项的系数：令r=1,可得第2项为T,=Cnx,所以第2项的系数为C,=n 求第4项的系数：令r=3,可得第4项为7=Cx,所以第4项的系数为C=m-11-2) 6 因为第2项和第4项的系数相同，所以n=mn-1(n-2) 6 由于n≠0可得：1=n-10n-2) 6 得6=n2-3n+2,即n2-3n-4=0 解得n=4或n=-1 因为n为正整数，所以n=-1舍去，故n=4 易错点9、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错 1.已知(x+3的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中x项的系数是 【错解】令x=1,则4”=256，则n=4, (x+)4 的展开式的通项为 I1=C白=C3x2由4-2r=4得r=0,所以所求展开武中x项的系数是 C43°=1. 3 【错因】混淆二项式系数之和与所有项系数之和，本题是说(x+)”的展开式中各项的二项 式系数的和为256， 34 2026届青岛市高三数学静悟材料 【正解】依题意2”=256，则n=8，红+3)的展开式的通项为 3 T1=Cx8-()=Cg3·x8-2,由8-2r=4,得r=2,所以所求展开式中x项的系数 是C8·32=252 易错点10、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错 1.（2024全国甲卷高考真题) +x 的展开式中，各项系数中的最大值为 3 10-r 【错解】答案252，由题展开式通项公式为T,+1=( x',0≤r≤10且r∈Z,所以各项 系数中的最大的值为0=252. 【错因】混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项. 【正解】答案5，由题展开式通项公式为T,=Co x',0≤r≤10且r∈Z, 设展开式中第r+1项系数最大，则 29 r≥ 4 33 ≤r≤ 又r∈Z,故r=8, 33 4 4 r≤ 4 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为( 【典型真题】 知识点1：排列组合问题 1.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天， 每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 () A.120种 B.60种C.30种D.20种 答案：B 先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式：再从余下的4人中选2人分别安排 到星期六、星期日，有A好种安排方式，所以不同的安排方式共有C·A经=60（种）.故选B. 35 2026届青岛市高三数学静悟材料 2.(2023·新高考I卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门 课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种.（用数字作答） 答案：64 法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC4种方 案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C4C种方案；第 三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC4种方案.综上，不 同的选课方案共有C4C4+C4C子+CC4=64种) 法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C号-C子-C子=16（种）选课方案；若学生从这8 门课中选修3门课，则有C-C?-C子=48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16十48 =64(种). 方法总结：当完成一件事可以通过多种不同方案实现，且这些方案之间是互斥的（即不同时 使用同一种方案的方法)时，应当考虑用分类加法原理，当完成一件事需要多个步骤，每一步 都有不同的方法数，应当考虑分步乘法原理 3.(2023·新高考Ⅱ)某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽 样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，己知该校初中部和高中部分 别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有() A.C4·C种B.C·C0种 C.C·C20种D.C0·C0种 答案：初中部和高中部分别有400和200名学生，.人数比例为400：200=2：1， 则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有C·C,种.故选：D. 方法总结：当总体由差异明显的几部分构成时，采用分层抽样的方法，也称为按比例抽样， 组合数公式和分步乘法原理的应用是解决本题的关键，利用分步乘法计数原理时，注意将这 件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事 才能完成 知识点2：利用二项式定理求项的系数 36 2026届青岛市高三数学静悟材料 1.(2022新高考1卷第13题 1)+旷的装新式中的系数 (用数 字作答)· 乘法分配律展开 二项式展开 思路分析： 两种方法 组合数 分两类再加和 详细答案： 方法：因为1-x+旷=(x+-x+明. 的展开式中含x2y5的项为Cx2y5-'Cxy=-28xy5, 气1-x+的展并式少的系数为28 方法二：将原式看作9个因式相乘，先第一个因式用1乘，则其余八个选六个用y乘，或者 第一个因式用-上乘，则其余八个选5个用y乘，则C-C=-28。 方法总结：这是一道难度较大的创新性排列组合试题.关键是发现：α+k一定是偶数，这 样就找到了变化中的不变量。 知识点3：利用二项式定理求系数和问题 1.(2022北京)若(2x-1)4=a4x4+ax3+a2x2+4x+a,则a。+a2+a4=( A.40 B.41 C.-40 D 思路分析： 考虑二项展开式 项式展开项的系数 详细答案： 两种方法 赋值法 令X=1,x=-1 法一：(2x-1)4=a4x4+ax3+a2x2+ax+4, 可得a=C4=1,a2=C×22=24,a4=C4×24=16, ∴.a+a2+a4=41, 故答案为：41. 法二：(2x-1)=a4x+ax3+a2x2+ax+a, 令x=1,可得a+4+a2+a3+a4=1, 再令x=-1,可得a-4+42-4+a4=(-3)4=81, 37 2026届青岛市高三数学静悟材料 .两式相加处以2可得，a。+42+a4= 1+81=41,故选：B 2 2.(2025·北京·高考真题)已知(1-2x)°=a-2ax+4ax2-8ax3+16a4x,则a= 41+a2+a3+a4=_ 思路分析：利用赋值法可求a,利用换元法结合赋值法可求a+a2+a+a,的值. 详细答案：令x=0,则a=1, 又(1-2x)=a-2ax+4a2x2-8ax3+16a4x, 故(1-2x)=a。a,（-2x)+a2（-2x)2a(-2x)+a4(2x), 令t=-2x,则(1+t)=a+a,t+a,t2+a,t3+at4, 令t=1,则a+4+a2+a+a4=24,故a1+a2+a,+a4=15 故答案为：1,15. 知识点4：求二项式展开式的特定项 1.(2025·天津·高考真题)在(x-1)°的展开式中，x3项的系数为 思路分析：根据二项式定理相关知识直接计算即可. 详解：(x-1)°展开式的通项公式为T,1=C6x-(-1), 当r=3时，T4=Cx3.(-1)°=-20x3, 即(x-1)°展开式中x3的系数为-20. 故答案为：-20 知识点5：二项式定理综合问题 1.设数列{(2+x)”}的前n项和为S,n(x),已知n∈N. (1)若x∈[-1,0]，设fn(x)=Sn(x)-n-1,证明：fn(x)恰有1个零点： (2)若x>-2,证明：S,(≤m+12++n-1 2 解：(1)由己知可得：Sn(x)=(2+x)+(2+x)2+…+(2+x)” 所以f(x)=(2+x)+(2+x)2+…+(2+x)”-n-1 所以f(x)=1+2(2+x)+3(2+x)2+…+n(2+x)”- 38 2026届青岛市高三数学静悟材料 因为x∈[-1,0]，2+x>0,所以f(x)>0,fn(x)在[-1,0]上单调递增 又因为fn(-1)=1+1+1+…+1-n-1=n-n-1<0; fn(0)=2+22+23+…+2”-n-1=21-n-3 因为f(0)=0,f3(0)=3>0, 当n≥3时， fn(0)=21-n-3=C91+C+1+…+Cm-n-3>C91+Ct1+Cw-n-3=0 所以，fn(x)恰有1个零点7分 (2)设函数g.)=(2+)+(2+)2++(2+)”-n+12+)”+n-」 又知g(x)=1+2(2+)+3(2+x)2++n2+刘时_nn+12+) 2 当x∈(-2，-1)，则2+x∈(0,1) 所以g)>0+2+3++m2+1_nn+12+x=0 2 当x∈(-1，+0)，则2+x∈(1，+0) 所以g(<1+2+3++m2+)_mn+I2+0 2 所以gn(x)在(-2，-1)上单调递增：在(-1，+∞)上单调递减 所以8，≤g.(-)=0,即S,≤0n+12+9°+n-1 方法总结：二项式定理可以与函数导数、数列、不等式等交汇命题.关键是观察理解代数结 构，灵活的运用二项式定理等解决问题。 【教材好题】 1.（人教B版选择性必修第二册P20例5)要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？ (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？ 【答案】(1)1680(2)7560 39 2026届青岛市高三数学静悟材料 2.(人教A版选择性必修第三册P38T8)某种产品的加工需要经过5道工序。 (1)如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (4)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】(1)96(2)36(3)48(4)72 3.（人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2)在(x+y)(x-y)的展开式中，x3y3的系数 为() A.0 B.20 C.10 D.-10 【答案】A 【分析】先求得(x-y)展开式的通项公式，分别求xy和xy2的项，结合题意即可求得答案。 【详解】由题意得(x-y)°展开式的通项公式为T1=Cx(-y),k=0,1,2,3,4,5, 令k=2,I3=C3x-2(-y}=10x3y2, 令k=3,T=Cx-3(-y)=-10x2y3, 所以xy的系数为0.故选：A 4.（人教A版选择性必修第三册P34练习T1) C9+C+C2+.+C Cha +CI +CC 【答案】 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】 由组合数的性质知，C+C+C+.+C=2", C9+C4+C1+.+C=21, 所 C9+C+C++C”2”_1 C1+C1+C1++Cm2m2 5.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T6)用二项式定理证明5555+9能被8整除. 【答案】见解析 【分析】根据555+9=(56-1)5+9，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含 有因数8可得它能被8整除 40 2026届青岛市高三数学静悟材料 【详解】证明：555+9=(56-1)5+9 =C955655+C55564(-1)'+C3,5653(-1)2+…+C456(-1)54+C3(-1)5+9 =565-Cs5654+…+C556+8能被8整除. 所以5555+9能被8整除. 名 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料五：三角函数与解三角形 主编单位：城阳教研室 【必备知识】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式了 sin(a±β)=sin acos B±cos asin B; cos(a±β)=cos acosβ干sin asin B; tan(a±B)= tana±tanB 1F tan ctanB sin(a+B)sin(a-B)=sin2a-sinB(平方正弦公式)： cos(a+B)cos(a-B)=cos2 a-sin2 B. 三角函数的概念、诱导公式及同角关系☒ ○二倍角公式、辅助角公式 (1)二倍角公式 (1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位 sin 2 a=2sin acos a. 圆交于点Px,y,则sina=y,cosa=x,an&=是.各 cos 2a=cos?a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 2tan a 象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦， tan 2a=1-tan'a 三正切，四余弦 D1+sin 2a=(sin a+cos a)2. (21-sin 2a=(sin a-cos a)2. (2同角关系：sira+eos2a=l,&=hna, 构 (2)辅助角公式 ()诱导公式：在红+a,kEZ的诱导公式中“奇变 y=asin x+bcos x=/ab(sin xcos p+cos xsin )=/ab 三 sin(x+9,其中角p的终边所在象限由a,b的符号确定， 偶不变，符号看象限” 角 角p的值由anp=名a≠0确定. 函 性质☒ 数 )定理 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 定理 正弦定理 余弦定理 解 三 图象 a2=b2+c2-2bccos A; 心2m0变 浮 形 内容 b2=a2+c2-2accos B; (R为△ABC外接圆的半径)》 c2=a2+b2-2abcos C 在受+2km, 在-+2kT, 在（受hm, 识 受+2km]e 2kT]&∈Z 上单调递增： 号+kmlk∈z☑ 单 )上单调递增： 系 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, 在受+2km 在2kT,T+ 上单调递增 c=2Rsin C; 2kTJ∈O 3要+2rlae ②i血M录inB=2R, 上单调递减 )上单调递减 sin C=2R cos A=bite-a 2be 对称中心： 变形(3)a:b:c=8inA:sinB: 对称中心： 对称中心： cos B=cta-b sin C; 2ac 对称性 kT,0)k∈： (侵m,0) (4)asin B=bsin A,bsin C= k∈：对 cosC=a+bP-e 对称轴：x=受+ k∈☑ csin B,asin C=csin A 2ab 称轴：x=kT kT(k∈刀 (k∈0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 42 2026届青岛市高三数学静悟材料 2025年I卷4 正切函数的性质； 2025年Ⅱ卷8 同角三角函数的关系半角公式： 2025年Ⅱ卷15 余弦函数的相位求解、三角恒等变换 函数值域与单调区间分析 2024年I卷4 三角函数恒等变换： 三角函数 2024年1卷7 三角函数图像： 2024年Ⅱ卷7 三角函数恒等变换 2023年卷8 三角函数恒等变换： 2023年Ⅱ卷7 三角函数恒等变换半角公式： 2023年Ⅱ卷16 正弦函数图像和性质 2022年I卷6 正弦函数的性质（对称中心）： 2022年Ⅱ卷6 求w的值 2021年I卷4 正弦函数单调区间： 2021年I卷6 三角恒等变换： 2021年Ⅱ卷6 三角恒等变换 2025年I卷11 解三角形： 2025年Ⅱ卷5 已知三边求角 2024年I卷15 正弦定理和余弦定理； 2024年Ⅱ卷16 余弦定理三角形面积公式： 2024年Ⅱ卷18 正弦定理和余弦定理角平分线 2023年I卷15 正弦定理和余弦定理求高； 解三角形 2023年Ⅱ卷17 正弦定理和余弦定理中线 2022年I卷18 求角和最值问题： 2022年Ⅱ卷18 求角和面积 2021年I卷19 正弦定理和余弦定理求边求角： 2021年Ⅱ卷18 正弦定理和余弦定理求边求角 近五年新高考中，新高考始终重视对正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式等基础知 识的考查，解答题基本围绕这些核心内容命题，只要掌握基础就能拿到大部分分数。综合性 与交汇性增强。三角函数与导数、向量、复数、不等式等知识的结合越来越多；创新性与应 用性提升。反套路命题增多，如2025年的解三角形多选题，打破了常规的边/角求解模式， 侧重考查思维的灵活性；解三角形的实际应用（测量问题）虽出现频率不高，但仍是命题的 潜在热点。“多解”与“陷阱”设置。利用正弦定理时，易出现“两解”的情况，命题常通过设置 此类陷阱考查思维的严谨性。 【易错点提醒】 1.任意角和弧度制及三角函数的概念 (2007·四川·高考真题)下面有5个命题： ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π； 43 2026届青岛市高三数学静悟材料 ②终边在y轴上的角的集合是{aa= ③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点： ④把函数y-3sn2x+写到的图象向右平移爱得到y=3sn2x的图象： 6 ⑤角0为第一象限角的充要条件是sin0>0. 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)· 【错解】对轴线角理解不准确：①②④在0°~360°范围内，终边在直线y轴上的角为90°，所 以终边在y轴上的角的集合是：S={BB=90°+k360) 【正解】①函数y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x,最小正周期是π： ②终边在y轴上的角的集合应该是 aa=a+ke乙： ③因为函数f(x)=x-sinx的导数f'(x)=1-cosx≥0，所以函数f(x)单调递增. 又易知f(0)=0,所以在同一坐标系中， 函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点，是原点(0，O): ④完装y=如2+引的图空向右平移利到y=3如：-君引引 6 即得到y=3sin2x的图象： ⑤“角0为第一象限角”是“sin0>0”的充分不必要条件. 故答案为：①④ 2.同角三角函数的关系及诱导公式 若sin(g+a}则sin(g-a+2cos(子+a) 【错解】sin(g-a+2cos(径+asin[r-(爱++2cos(+名+o)sin(g+a+2sin(爱+a-l 【正解】由于sin(+a小3，故 sin)2co )-in 2co ,5π -sin(+a)-2sin(+a)-- 44 2026届青岛市高三数学静悟材料 3.三角恒等变换 (2025新高考Ⅲ卷8)已知0<a<π，c0s:-5 25 则sna-孕-( √2 A. C.3v2 D.72 10 B.v2 5 10 10 【错解】未精确角的取值范围，sina=2 sincos 3 cosa=v1-sin2 a 2 °25， 5 π√2 sin(a)=sina cos-cosa sin 41 4 410 【正解】选D.解法一（正弦二倍角）因为0<a<π，co a 15 2 5 所以0<<， =1-cos2= 2、V2 22 所以sin V52 sin 所以号年即<a<x, 4 a 4 ,所以选A 3 所以sina=2sin2os号-5，cosa=-1-sina=- 则sna孕=s加acos牙-子-75.故选：D. 4 410 解法【四泸州代尔宁】C余滋二倍角)根据0sa2os2上3 5 因为0<u<a,秘sna吃所以sna=na-coa2772选择D 2510 解法三【山西临汾刘亚丽】（万能公式）因为0<a<π，所以0<g<T 22 又因为cos 25 空，所以am经-2 2 tan- 根据万能公式有sina=一 1+tan5sina 24 1-tan2 2-3 1+tan2a5 2 所以sina-孕=in -cosasin 7 4 410 4.三角函数的图像与性质 (1)三角函数的定义域、值域与最值 45 2026届青岛市高三数学静悟材料 函数y=2sin'x-sinr的最大值为 【错解】换元t=sinx时忘记写t的取值范围t=sinx∈[-l,1]。换元后，二次函数在闭区间 的最值直接带端点，不看对称轴。应用换元法结合正弦函数值域结合二次函数得出最大值， 【正解】设sinr=fe[-1刂，则y=22-t,对称轴为1=子 所以当e-引，y=2-单调递减，当e， y=2t2-t单调递增， 当t=-1时，y=2(-1)2-(-1)=3,当t=1时，y=2×12-1=1, 所以函数y=2sin2x-sinr的最大值为3. (2)三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性 函数y=sin -2x 的单调递减区间是 【易错点】求函数f(x)=Asin(ox+p)(o>O)的单调区间时，易忽视A与o的符号致误： 当o<0时，需把o的符号化为正值后，确定函数解析前面的符号对单调性的影响后再求解. 【错解】令2k+骨-2x2k+兰，k∈Z,得-km-晋skr-立，k∈Z求三角函数中，正弦 型函数的单调区间时，函数y=si(-2x)的x前的系数为负数，未化简为正数就直接求解，导 致出错。 【正解】y-sin(写2x),令2kr-2x-2km+5,k∈Z,得kr-Sxskr+,k∈Z (3)三角函数中o的求解 若函数y=4 sinox+刀 -1在[0，π]上有4个最值，则ω的取值范围是 6 【错解】因为0≤x≤，则爱5o+若50+名，因为在0，利上有4个景值， 6 6 所以7≤w+s9 10.13 解得 ≤w≤ 2 62 3 3 错误原因在于未分析清楚端点值能否取等号。 【正解】因为0≤x≤，则2≤x+≤O元+刀因为在[0，π]上有4个最值， 6 6 6 A 2026届青岛市高三数学静悟材料 计后经解 所以7π≤0m+刀< 3 2 350< 5.函数y=Asin(ox+p)的图象及应用 (1)函数y=Asin(wx+p)的图象及变换 把函数f(x)=√5si+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的，，纵坐标不变，再把所得 的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的解析式为() A. B.g(x)=2sin π 23 g)-22-副 C. D.g(x)=-2cos2x 【易错点】不能确定正确的平移量致误：三角函数图象平移变换中，注意由y=sin @x的图 象变换得到y=sin(ox+p)的图象时，平移量为， 9而不是101，另外要弄清楚平移的 方向. 3 1 【正解】f(x)=V3sinx+cosx=2 2 6 横坐标缩短到原来的；，纵坐标不变，得到函数y=2sn2x+ 6/ 再把y=2sm2+君)图象向右平移个单位长度得： g6)-2sin2(x)+月-2sin(（2x)-2·(-cos2)=-2cos2x.选D (2)由图象确定函数y=Asin(ox+p)的解析式 已知函数)=Asin(o+p)4>0,w>0,一<)的部分图象如图所示，则() A.x)的最小正周期为元 B.当x∈[-，]时，)的最大值为V5 C.函数)的图象关于点(，0)对称 D.函数fx)在点(0,1)处的切线方程为y=2V3x+1 【错解】代点坐标求解时出错，导致ω范围过大 47 2026届青岛市高三数学静悟材料 0+马=0：50+=kikeZ 5π 12 6 126 错误原因在于未注意到（侣，0）是位于单调递减区间内的零点，导致代点求值时范围太大不 够精确。 【正解】选AD.由题图可知，A=2,f0)-2sinp=l,即sin=?又-<<分所以p。由五 点作图法可得管+君+2缸，k∈乙，解得@2+誉k∈Z.又由函数图象得，子瓷，即>受解得 0<w<号，所以w2,)-2sn(2+),对于A,)的最小正周期为T受=元，故A正确： 对于B,当x∈[-时，2+e,1.所以sim(2+)∈[9，小，所以)的最大值为2， 故B错误； 对于C,当x=时，2x+名警/得)-2，所以函数)的图象不关于点（倍.0）对称，故C错 误 对于D,由)-2sin(2+),可得()=4cos(2+),f(o)-2V3,所以函数心)在点(0,1)处 的切线方程为y=2V3x+1,故D正确.故选AD. 【典型真题】 1.三角函数图像与性质 【2025北京卷8】设函数f(x)=cos(ox)+sin(ox)(@>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x) 在0到 上存在零点，则ω的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.3 【 思 维 导 图 辅助角公式 根据零点求1Ψ f)-五(w+孕 f(x)=sin wx coswx(w>0) o=2k(k∈N 【详棉1解法-：函级f)=如(o)+cos(o)-=5nor+o>0), 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N), 2026届青岛市高三数学静悟材料 所以T=2亚=(keN),即o=2k(keN): 0 k 又函数f(x)在 04 上存在零点，且当x∈0，时，Ox+ 元 元π0 4 4 44 4 所以π”+亚≥π，即0≥3.综上，0的最小值为4.故选C. 44 解法二：因为f(x)=sin ax+COS X=√2sinr+ π 0>0 4 π 当o=3时，函数f(x)=V2sin3x+ 的最小正周期 4 2π，此时不满足fx+元)=f), 所以D选项不正确： 当=4时，函数f)=2sm4+子的最小正周期为子，此时满足/代+列=f), 4 4+引[] 且当4x+=元，即x=3江为函数)的零点，所以C选项， 16 又因为求⊙的最小值，故选C 【方法提炼】1.辅助角公式；2.周期公式；3.三角函数图像. 【20天准卷81-smox+9o>0,8<p<,在红行1上单调道指，且x-召 为它的一条对称销，胥，0是它的一个对称中心，当x∈0，引时，心)的最小值为() A. B.一2 C.1 D.0 2 【洋】躲社，因为在红设上单调适始，：及为它的一条对称， 12 可得守=1，即石+0=2x+号，太eZ,① 12 2 因为的图象关于（行，0对称，所以答知+=mx,m∈乙，② 且誓--2m+1T=2n+x2,nZ,解得@=4n+2,neZ, 3124 40 为在[，上单调递增，所以(-C)≤)，解得0<w≤2，所以0 12 12 0=2kx+ π 根据①②，可得 2π p=mπ- 3 49 2026届青岛市高三数学静悟材料 因为-<<a,所以p=胥故f)=m2x+学， 当xe0.名时，2+号e写经，可得例的最小值为停=m整点 3 3 3 2 解法二：“)在x上单调递增，于子 22,即T≥z :侣是对称轴，（受0是对称中心，号日号T之T=示脚石元解符 12 0=2, )=n2x+0,:=号是f)的对称精，2×号+g=2r+号ke即 p=2x+写ke:，又7<9<元p-号，倒=sim2x+孕.设卡2x+ π :e0经写71-m5-9 32 【方法提炼】 1熟练掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质，明晰由特殊到一般的研究方法. 2.熟悉特殊角的三角函数值. 2.三角恒等变换 【2024新高考2卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinA+V3cosA=2. (1)求A. (2)(2)若a=2,√2 bsinC=csin2B,求△ABC的周长. 【思维导图】 条件 目标 正弦定理 sin 4+3cosA b,c A= 6 正弦定理边化角 B= π 两角和正弦公式 3bsin C =c sin 2B 4 sin C 三角形内角和 7π C= 12 【详解】(1)解法一：常规方法（辅助角公式） 50 2026届青岛市高三数学静悟材料 由s4+5cos4=2可得8inA+5cosA=1,即n4+经=l, 由于A∈(0，)→A+∈(，4虹， T3e3’3 放4骨至解得4-君 6 解法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由sinA+V3cosA=2,又sin2A+cos2A=1,消去sinA得到： 4cos'A-45cosA+3=0台(2cosA-=0,解得c0os4=5,又A∈0，，故A= 2 6 解法三：利用极值点求解 设f)=sinx+V5cosx0<x<元)，则f)=2sinx+3 (0<x<π)， 显然x=亚时，f(x)m=2,注意到f0=sinA+V5cosA=2=2sin(A+), f(x)mx=f(A),在开区间(O,π)上取到最大值，于是x=A必定是极值点， 即r0=0=osA-3小即amA=5,又Ae0动，故4-君 3 解法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设a=(L,V3),b=(sinA,cosA),由题意，a~b=sinA+V3cosA=2, 根据向量的数量积公式，a.6=cos(a,-2cos(a,, 则2cosa,b=2一cosa,b=1,此时a,b=0,即a,b同向共线， 根据向量共线条件，1cosA=5imA台tam4=y5,又A∈(0，，故A= 3 解法五：利用万能公式求解 设户m令根据万能公式，imA+N3cosA=2三2131- 1+2 1+t2 整理可得，t2-2(2-√5)+(2-5)2=0=t-(2-B)2, 解得tan=t=2-√5，根据二倍角公式，tanA= 2t5 1-t2-3 又A∈(0，)，故A= 6 (2)由题设条件和正弦定理 2bsin C=csin 2B2 sin Bsin C=2sin Csin B cos 又B,Ce(Q,d,则sin BsinC≠0，进而osB=5,得到B= 2 51 2026届青岛市高三数学静悟材料 于是C=元-A-B= 7π 12’ sin C=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin A cosB+sin B cosA= V2+V6 4 由正弦定理可得，” h sin4 sin B-sinc,即g insinsin 6 12 解得b=2√2，c=V6+√5，故△ABC的周长为2+√6+32 【方法提炼】 1.三角形两角和的正弦公式、辅助角公式： 2.三角形正弦定理、余弦定理的应用 3.与解三角形有关的最值问题 【2022年全国甲卷理16】已知△ABC中，点D在边BC上， ∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当 C取得最小值时，BD= AB 【思维导图】 条件 在△ABD中 AB2=f(m) ∠ADB=120° 目标 设BD=m AD=2 AC 的最小值 BD CD=2BD AC2=g(m) 在△ACD中 【分析】设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出 AC2 后，结合基本不等式即可得解。 AB2 【详解】设CD=2BD=2m>0, 则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADc0S∠ADB=m2+4+2m, 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·AD cos∠ADC=4m2+4-4m, AC2_4m2+4-4m_4(m2+4+2m）-12(1+m 12 所以AB2m2+4+2m =4- m2+4+2m (m+1)+3 m+1 12 ≥4 =4-2V3 2Vm+13 m+1 52 2026届青岛市高三数学静悟材料 当且仅当m+1=3 即m=√3-1时，等号成立， +1 所以当AC 取最小值时，m=√3-1. AB 故答案为：√3-1. 【方法提炼】将4C转化为关于BD的函数。 AB 4.以三角形为背景的数学建模 【2021年全国甲】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰 最新高程为8848.86（单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之 一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A.B.C三点，且A.B.C 在同一水平面上的投影A',B,C'满足∠ACB=45°， ∠AB'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB与CC'的差为100： 由B点测得A点的仰角为45°，则A.C两点到水平面A'B'C的高度差AA-CC约为 (V3≈1.732)0 A.346 B.373 C.446 D.473 【思维导图】 AA'-(BB'-BH) AD+100 A'B' 正弦定理 CH =B'C' CC'=HB' AD=DB ∠BCH=15°，BH=100 作BD⊥AA' 于点D 作CH⊥BB于点H AA'-CC' BB'与CC 由点B测得点A 由点C测得点B ∠AB'C'=60 的差为100 的仰角为45° 的仰角为15° ∠A'CB=45° 目标 条件 【解析】过C作CH⊥BB',过B作BD⊥AA', 故AA'-CC'=AA'-（BB-BH）=AA'-BB'+100=AD+100, 由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB. 所以AA'-CC'=DB+100=A'B'+100. 53 2026届青岛市高三数学静悟材料 因为∠BCH=15°，所以CH=C'B'=100 tan15° 在△AB'C中，由正弦定理得： A'B'C'B' 100 100 sin45°sin75 tan15°cos15 sinl5o' 而sin15°=sin(45°-30)=sin45cos30°-cos45sin30°=y6-V2 100x4x2 所以AB=6-2 =100(V5+≈273，所以A4-CC'=A'B+100≈373. 故选：B 【方法提炼】将A-CC的长度转化为题中易求线段的长度。 5.解三角形定理的综合应用 【2021新高考卷19题】记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac' 点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C· (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cos∠ABC· 【思维导图】 条件 目标 A+C 正弦定理 asin 2 =bsinA △ABC面积的范围 a的范围 关于角C的 内角和定理 函数的值域 正弦定理 C= 倍角 余弦 sinAsin 4+C =sin BsinA 公式关于B a,b,c的关系式 定理△ABC为锐 的方程 角三角形 【官方解析】 解：(1)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理， 得sin∠ABC=b ,sinC=c R1 因为BDsin LABC=asinC,所以BD.b 2=a·_,即BD·b=ac 又因为b2=aC,所以BD=b. (2)解法一：【最优解】：两次应用余弦定理 54 2026届青岛市高三数学静悟材料 因为AD=2DC,如图，在△ABC中，cosC=a+-C ,① 2ab 2b 3 6 3 a C a2+-b 在△BCD中，cOsC= ② b 2a 3 由0@得a+-e心=0+学- 整理得2a2-b+c2=0」 3 又因为b=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,解得a=或a=3C 3 2 当a-写62=ac-写时，a+h=tc <c(舍去). 3 33 当a=3C,b2=ac= ac=3c时，cos∠ABC= 27 2 2.3x 12· 所以cos∠ABC=7 2 解法二：等面积法和三角形相似 如图，已知AD=2DC,则S△4BD 2Soanc' 3 即3号ran乙1D8-。 =3x2 acxsin.∠ABC, 而b2=ac,即sin∠ADB=sin∠ABC,，故有∠ADB=∠ABC,从而∠ABD=∠C. 。6,即C4B4 C80a4C80,放招把期空e 2b 由b=ac,即b= 又b=ac,所以c=a,则cos∠ABC=C+a-b7 2ac12 解法三：正弦定理、余弦定理相结合 2 1 由(1)知BD=b=AC,再由AD=2DC得AD=二b,CD=二b. 3 3 在△ADB中，由正弦定理得，AD=BD sin∠4BD sin A' 55 2026届青岛市高三数学静悟材料 2 又∠ABD=∠C,所以3力 b,化简得sinC=名sinA. sinC sin A 3 在△ABC中，由正弦定理知c=a,又由B=ac,所以b2=2g. 2 3 3 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC=a+c2-b2a+4a22 4 98303 7 2ac 2 2×2a2 12 3 7 故coS∠ABC= 121 【方法提炼】 1.由条件入手，利用正弦定理、倍角公式等进行转化，确定△ABC的内角B,进而明确研究△ABC 面积的表达式. 2.根据面积公式将面积的取值范围车专化为α的取值范围，并由己知条件确定取值范围. 【教材好题】 1.三角函数 已知函数f)=sin(x+)+sin(x-石)+cosx+a的最大值为1， 6 6 (1)求常数a的值： (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合. 【详解】)：函数f(d=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a, 61 61 化简得：fa)=sin2+osin+sinc2-coin+cosr+a 6 6 6 6 =√3sinx+cosx+a =2sin(x+乃)+a. 6 :sin(x+乃)的最大值为1，.2+a=1,解得：a=-1. 6 (2)由(1)可得f)=2sin(x+乃)-1，根据三角函数的性质可得： 6 +2kr5x+≤35+2kx(低e2), 6 2 解得： T+2 knsxs4红 +2kπ(k∈Z) 3 ∴f(x)的单调递减区间为 +2k 3 4r+2k元k∈Z) 56 2026届青岛市高三数学静悟材料 6)由题意f(w)≥0，即2sin(x+)-1≥0， 6 π、1 ,π5π 可得：sin(x+6)≥2'·6+2kx≤x+6≤ +2kπ(k∈Z), 61 6 6 6 解得：2kπ≤x <2r+2kπ(k∈Z) 3 f)≥0成立的x的取值范围是x2kr≤x≤27+2kx,(k∈Z}. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式，辅助角公式，三角函数的性质的运用. 2.解三角形 已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，acos C+V3 asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为V3,求b,c. 解：(1)由正弦定理得：acosC+√3 asin C-b-c=0, .sin Acos C+3 sin Asin C=sin B+sin C, 即.sin AcosC+√3 sin Asin C=sin(A+C)+sinC, 3sin 4-cos 4=1,..sin(4)=I 1 62 由A为三角形内角可得，A-严=交，从面A=? 66 2)S=besin A=V3,从而bc=4,由a2=b2+c2-2 bccos得b+c=4, 2 解得：b=c=2. 57 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料六：数列 主编单位：胶州教研室 【必备知识】 解析法：an=f(n)(数列是特殊的函数) ,表示方法0 图象法 概念与表示0 通项公式 列表法 递推公式 通项公式：an=al+(n-1)d 等差数列0 性质：an+am=ap+aq(m+n=p+q) 前n项和：Sn=2n(al+an) 通项公式：an=alqn-1 性质：anam=apaq(m+n=p+q】 等差数列与等比数列 等比数列(an☒=0，q☒= 前n项和：Sn=(|nal,q=11-qa1(1 -qn),q☒=1 ,前n项积(an>0):Tn=(alan)n 数列 核心模块：通项公式、求和公式、性质、判断 ①an+1-an=f(n:逐差累加法 ②anan+1=f(n:逐商累乘法 ③an+1=pan+q:构造等比数列{an+p-lq} 常见递推类型及方法。 ④pan+lan=an-an+l:构造等差数列 ⑤an+1=pan+qn:化为qnan+1=qp·qn-1an+1,转化为类型 公式法：应用等差、等比数列的前项和公式 倒序相加法 常见求和方法⊙ 分组求和法 数学归纳法 裂项相消法 错位相减法 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 数列 2025年I卷17 递推求通项；分组求和：等差、等比 2025年Ⅱ卷15 基本量运算 2024年I卷10、17 等差、等比判定与证明；错位相减求 2024年IⅡ卷17 和；数列不等式证明 2023年I卷7、20 等差性质；递推构造；裂项相消；通 2023年Ⅱ卷8、17 项与前n项和关系 2022年I卷17 由Sn与an关系求通项；等差基本量计 2022年Ⅱ卷3 算；简单求和 2021年I卷16 等比性质与求和；递推求通项；前n 2021年Ⅱ卷17 项和综合运算 58 2026届青岛市高三数学静悟材料 【易错点提醒】 易错点1.已知Sn求an时，易忽略n=1致错. 1.己知数列{an}的前项和为Sn=2”-3,求{an}的通项公式. 【错解】an=Sn-Sn-1=2”-3-2+3=2-1,所以a=20-1. 【正解】当n=1时，a1=S=2-3=-1; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2”-3-2m1+3=2"-1 [-1,n=1 当n=1时不符合上式，所以an= 2m-1,n≥2 易错点2.利用等比数列前n项和公式时，忽略公比g=1致错. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S。,求数列{an}的公比q. 【错解】因为S,+5,=25,所以-9+0-9）-2.a0-g） 1-9 1-q 1-q 整理得g3(2g6-g3-1=0), 由q≠0得方程2g°-g3-1=0 4 所以q=-2 或g=1 【正解】若g=1则有S3=3a,S6=6a1,Sg=9a1,但a1≠0，即得S3+S6≠2Sg, 与题设矛盾 故q≠1 又依题毫9，+5.=25，符40=g）+1-g）-2.60=g0gg-g-1=0 1-9 1-q 1-9 即2g6-g3-1=0得(2g3+1g3-1=0又q≠1 4 故q= 易错点3，忽略数列与函数的区别致错. 3.已知数列{an}满足an= (a-14,n≤5 ，若数列{an}为递增数列，则a的取值范围是 (7-am-1,n> 59 2026届青岛市高三数学静悟材料 a-1>1 【错解】由题有， 7-a>0 ,解得2<a 35 6 (a-15-4≤(7-ax5-1 a-1>1 【正解】由题有， 7-a>0 ,解得2<a<6. (a-15-4<(7-a)x6-1 4.已知数列{a,}满足4=28,01，-0=2，则最小值是」 2 之 【错解】依题意，由a1-an=2n,累加法可得a,=n2-n+28,.a=n 28-1,设 n n )=x+28,可知似)在0,2]上单调递减，在7，+∞)上单调递增，所以最小值是 f27=47-1. 28 【正解】依题意，由a1-a,=2n,累加法可得a,=n2-n+28,0=n+ -1,设 n 创=+空可复在2可上单网选减，布b+上单是省，又 n∈N心，且9：=48<及=29，则品最小值是 8 5563 1 易错点4.数列的定义域是全体的正整数. 5.等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,当l≠m时，Sm=S,问当n为何值时Sn最 大？ 【错解】由题意知S,=f)=a,+-山d=,2 此函数是以n为变量 2 2" m时， 的二次函数，因为a,>0,当1≠m时，S=S,故d<0,开口向下，所以当x=2 f(x)取得最大值. 【正解1由题意知S。=f似=a,+,a-号r+a,- n 此函数是以n为变量 2 2 的二次函数，因为a>0,当1≠m时，S=S,故d<0,开口向下，所以当x=+m时， 2 f(x)取得最大值，但由于n∈N*,故若I+m为偶数，当n= 1+m时，和最大：当l+m 2 为奇数时，n=+m士1时，和最大 2 60 2026届青岛市高三数学静悟材料 易错点5.乱用结论致错， 6.已知等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和分别为Sm,S2m,Sm, Sm=20,S2m=70求S3m· 【错解】因为Sm+S3m=2S2m,Sm=20,S2m=70，所 S3m=52m-Sm=1202×(70-20)=20+S3m-70. 【正解】设数列的公差为d,则Sm=a,+a2+43++am, S2m=a+a2+a3+.....+am+am.....+a2m S3m=a1+a2+a3+.+a2m+a2mH+.+3m S=(a m,Sm-S。=(a+3m- +5m-马m 2 2 -),S3m-S2m=(a, 2 所以Sm,S2m-Sm,S3m-Sm是公差为m'd的等差数列，所以2(S2m-Sm)=Sm+Sm-Snm 即2×(70-20)=20+S3m-70 S3m=150 易错点6。乱设常量致错， 西个等装数列a和b的n和分洲为S.、且之则等于(A A. 107 149 B.5 C. 24 0.14g 12 3 【错解】Sn=(5n+2)k,Tn=(n+3)k,则an=Sn-Sn=5k,bn=Tn-Tn1=k,所以 a1_5k=5. bu k 【正解】设Sn=(5n+2)nk,Tn=(n+3)nk,则an=Sn-Sm1=10nk-3k, b,=7。-7=2k+2k,则g-10k-3张，所以4-107 b 2nk+2k b124 易错点7.用归纳代替证明致错。 8.(2023年全国甲卷17题)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1,2S。=nan,求{an}的通 项公式 61 2026届青岛市高三数学静悟材料 【错解】因为n=1,2S1=a,a1=0 n=2,a2=1 n=3,2S3=3a3,2(a1+a2+a3)=3a3,a3=2 n=4,2S4=4a4,2(a1+a2+a3+a4)=4a4,a4=3 所以an=n-1 【正解】当n≥2时，由2Sn=nan得2Sn-1=(n-1hn 两式相减得2an=nan-(n-1)an- 即(n-l)an-1=(n-2)a 当n=2时a1=0 故当n≥3时，am=n-1 an-n-2 则a。.01a=n-1.n-22 an an-2 az n-2 n-3 1 整理得=n-1∴an=n-1 a, 当n=1,n=2时，满足an=n-1 ..a=n-1 易错点8，数列加绝对值后，认为其还是等差数列. 9.已知数列{an},a,=11-2n,，记bnan,求数列{bn}的前n项和Tn 【错解】依题意an=11-2n,所以{an}为等差数列，bnan|也是等差数列，所以{bn}前n 项和 T=n(ata）_n9+1l-20）-101-2. 2 11 【正解】由an=11-2n>0得n< 所以当n≤5时，a,>06,=1a=a, 62 2026届青岛市高三数学静悟材料 、11 由an=11-2n<0得n> 所以当n≥6时，an<0,bn=an=-a 2 所以当n≤5时，Tn=Sn=10n-n2 当n≥6时，Tn=b+b2+b3+.….+bn=a1+a2+a3+.…+a5-(a6+a7+.+an) =2(a1+a2+…+a5）-(a1+a2+.+an)=2S-Sn =2010×5-52）-10m-n2)=n2-10n+50 所工，=ia6 易错点9.使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错， 10.已知数列{an}满足a=1,an1=2an+1,求an的通项公式. 【错解】an1=2an+1(n∈N),.an41+1=2(an+l), {an+}是以2为公比的等比数列∴a,=1×2”-1=2-(n∈N 【正解】an1=2an+1(n∈N)】,.a1+1=2(an+1), .{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.an+1=2”.即 an=2"-l(n∈N*). 【典型真题】 1数列的单调性、周期性、最值 典例1.(2022全国甲卷理)记S为数列a,}的前n项和.己知 2Sa+m=2a.+1 (1)证明：{an}是等差数列： (2)若a4,a,a,成等比数列，求Sn的最小值. 【解折】（1D因为28+n=2a.+1,即25，+r2=2n0,+n0. n 当n≥2时，2Sn-1+(n-1)=2(n-1)an-1+(n-1)②， 63 2026届青岛市高三数学静悟材料 ①-②得，2Sn+n2-2Sn1-(n-1)=2nan+n-2(n-1)an-1-(-1), 即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1, 即2(n-1)a,-2(n-1)an-1=2(n-1),所以an-an1=1,n≥2且n∈N*, 所以{an}是公差d=1的等差数列. (2)由(1)可得a4=a1+3,47=a,+6,a,=a1+8,又a4,a,a成等比数列，所以 a2=asa, 即(a,+6)=(a+3)(a+8),解得a=-12,所以an=a1+(n-1)d=n-13, 所以3.=-12n+nn--m2-25n=n-25 625 2 2”-2n=2m-2 8 所以，当n=12或n=13时S取得最小值-78. 【总结】(1)解决数列的单调性问题的方法 用作差比较法，根据al-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (3)数列最值问题一般需要先研究数列单调性，可以通过数列单调性定义也可以由相应函数 单调性得到数列单调性注意数列与函数的关系，联系密切但不同. 2.等差数列、等比数列的综合问题 [典例2.(2018天津).设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N),{色} 是等差数列.己知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b,a5=b,+2b。. (I)求{a}和{b}的通项公式 (II)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N), (i)求Tn: )证2+6=2,2aeN) 台(k+1)(k+2)n+2 【解析】详解：（D设等比数列{an}的公比为q.由4=1，a3=a2+2, 可得g2-9-2=0.因为9>0，可得9=2，故an=2"-1. 64 2026届青岛市高三数学静悟材料 设等差数列{bn}的公差为d,由a4=b+b,可得b+3d=4. 由a=b4+2b。,可得3b+13d=16, 从而b=1,d=1,故bn=n. 所以数列{an}的通项公式为an=2”-1, 数列{bn}的通项公式为bn=n. (1D(D由(D,有S,=-2=2-1, 1-2 z-2g-小-2-a- 2x-2）n=2-n-2: 1-2 (i)因为(+6)_(2-k-2+k+2)k k2利 2k+22k+1 (k+1)(k+2) (k+1)(k+2) (k+1)(k+2)k+2k+1 所以（区+6b -222）2423 2+22*1 2+2 -2 名(k+1)(k+2) 3-24-3 n+2n+1 n+2 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 [典例3(2023·新高考I卷20题)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn= n'+n an 记sn,Tn分别为数列{an},bn}的前n项和。 (1)若3a2=3a,+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式： (2)若bn}为等差数列，且Sg-Tg,求d. 【解析】(1)3a2=3a,+a…3(a2-a1)=a3 ..3d =a +2d,..a=d,a,nd(d >1), ..b=n+1 d S,=a,+a,+a=6d,I=6+b,+b,+ 9 65 2026届青岛市高三数学静悟材料 9=21,整理得2d2-7d+3=0 6d+ 即2d-以d-3)=0,解得d=3或d=}(舍去). an=3n,n∈N (2)若bn}为等差数列， b+h,=2b,即2+12-2.6 a as a2 整理得a2-3a,d+2d2=0 解得a1=d或a,=2d 当a,=d时，a,=d,b,=n2+-n+1 nd d ∴3-Tn-9d+9a）- 92,100 =99 2 2d d 整理得50d2-d-51=0, 解得d= 或d=-1(舍去)： 50 当a=2d时，a.=n+1h,b=广+0=， (n+1)dd1 ∴S-Tn=g92a+100d）- 991.99 2 =99. 2 dd 整理得51d2-d-50=0, 解得d= 50 或d=1, 51 d>1,此时无解. 51 综上可知，d= 50 66 2026届青岛市高三数学静悟材料 [典例4(2024北京卷15)15.设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集 合M={k|a=b,k∈N},给出下列4个结论： ①若{an}与{b}均为等差数列，则M中最多有1个元素： ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素： ③若{a}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素： ④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是」 【解析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合 通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 3数列求和 [典例5】(2023全国甲卷17)17.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan (1)求{an}的通项公式： (2)求数列 an+t 的前n项和Tn. 【解析】(1)因为2Sn=nan, 当n=1时，2a1=a1,即a=0; 当n=3时，2(1+a3)=3a3,即a3=2, 当n≥2时，2Sn1=(n-1)an-1,所以2(Sn-Sn-)=nan-(n-1)an1=2an, 化简得：(n-2)a,=(n-1)a,1,当n≥3时，0=a二2==9=1，即a=n-1, n-1n-2 2 当n=l,2时都满足上式，所以an=n-1(n∈N). eE-会所以=k但+目+a =+2+a+a 两式相减得， 67 2026届青岛市高三数学静悟材料 -g目4g =1-+.=2-2* 【总结】错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推 导的 1=a,+1 [典例6](2025·全国一卷·高考真题)已知数列{a,}中，4=3，nn+1n0n+D (1)证明：数列{na,}是等差数列： (2)给定正整数m,设函数f=ar+a,r2++ax”,求f(-2) 【答案】 -2列-g22 antl=an 1 【分析】(1)根据题目所给条件”n+1n(+化简，即可证明结论： (2)先求出(}的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x,作差并利用等比数列前 n项和得出导函数表达式，即可得出结论， 4.数列综合问题 [典例7].(2025上海高考真题)已知数列{a,}、b,}、{c}的通项公式分别为a,=10m-9, b.=2”、,C.=a+-b若对任意的2∈[0，，a、b.、C的值均能构成三角形，则满 足条件的正整数n有() A.4个 B.3个 C.1个 D.无数个 【答案】B 【分析】由C。=a,+1-)b可知范围，再由三角形三边关系可得a,b,cn的不等关系，结 合函数零点解不等式可得. [典例81(2025天津·高考真题)已知数列a}是等差数列，b,}是等比数列， 41=b=2,a2=b2+1,a3=b3 ①求a},,}的通项公式 (2neN,I=0,l1,有T.={Dah+pab++p.anb+p.a,b.nPpP.e1, (i)求证：对任意实数teT,均有t<ab; (ii)求所有元素之和. 68 2026届青岛市高三数学静悟材料 【答案】(1)4，=3n-1,bn=2" (2②)()证明见解析；(i)2[8+(3n-4)2门 【分析】(1)设数列a,}的公差为d,数列b,}公比为9(9≠0)，由题设列出关于d和9(9≠0) 的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； (2)(i)由题意结合(1)求出ab1和Pa+P,a,b++P-a,b+P,a,b的最大值， 再作差比较两者大小即可证明； (i)法一：根据P,P2P-P中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、、全为0 几个情况将。中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加 起来即可得解： 法二：根据.元素的特征得到7，中的所有元素的和中各项a6(∈，2，)出现的次数均为 2-次即可求解. [典例9](206天津)已知数列x,}满足：，=x2=1,并且u=元（入为非零参数， Xn-1 n=2,3,4,…) (1)若x、x3、x,成等比数列，求参数九的值： (2)设0<元<1，常数keN且k23,证明止+达++X达<心 ,(n∈W) 【解析】(1)解：由已知x=x,=1,且=2点→x=元，=入→x=心 X X3 X2 =24→X=若x、x、x成等比数列，则x写=xx,即2=，而元≠0， X4 X3 解得入=±1 （2)证明：设an= 出，由已知，数列a,}是以点=1为首项、元为公比的等比数列， 故花=元，则a=.L=心k-2+3…2= ,m4-3) 2 尤n Xn尤n+k-lXn+k-2Xn 因此，对任意n∈N,达+达十+X达 Xn ,k+k-3) ,2k+k-3) ,+k-3》k6-3) =22+22+…+22=2(2+22+…+2) -》2*(1-2) =九2 1-2* k(k-3) 当k≥3且0<元<1时，0<2≤1,0<1-2<1，所以 69 2026届青岛市高三数学静悟材料 X+k+2+…+nk< (n∈N) X2 xm1-2 【教材好题】 1.数列概念 1已如函数f)-2之x∈R):设较列a,}的适项公式为，=aEN. （1)求证a,22 (2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 【详解】【详解】(1)由题意得an= 2m1 2”-1 2,因为n为正整数，所以 11 11 2”≥2,0< 22122所以≥2 (2){an}是递增数列， 证明：因为an= 11 2”-1 2” 12,所以a1=1-, 24, 111 所以an+1-am 22可2而>0，所以{a,}是递增数列. 2.等差数列 1.已知等差数列{an}的首项a=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数， 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b}. (1)求数列{b}的通项公式。 (2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. 【详解】：(1)设数列{bn}的公差为d' 由题意可知，b=a,b=a42,于是 b-b=a2-a1=8, 因为b-b=4d',所以4d'=8,所以d'=2. 70 2026届青岛市高三数学静悟材料 所以bn=2+(n-1)×2=2n. 所以，数列{bn}的通项公式是bn=2n. (2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1， 公差为4的等差数列{cn},则cn=4n-3. 令4n-3=29,解得n=8. 所以，b9是数列{an}的第8项. 2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和. (1)证明 是等差数列： (2)设Tn为数列 的前n项和，若S4=12,S。=40,求Tn. n 【详解】D:S.=+,少d=n2+a-号n 2 2 d、 2n+a-2 .5.-Sd nn-12 n+(a -a-号 22 :三是等差数列： n (2) S=2=3,S=40 5 44 88 Sg Sa 公差d=8,4- 5-31 442 又：-s+3d 41 =-S-3d=3-31=3 14 22 :s=S+m-l)d=3+n-l 11 n+1 n 1 2 22 n3,n(n-1)11 .5 ∴.Tn=n5+ =-n2+-n. 224 4 3.等比数列 1.在数列{an}的首项为a=1，且满足an1+a,=3·2”. 2026届青岛市高三数学静悟材料 (1)求证：{an-2”}是等比数列. (2)求数列{an}的前n项和Sn· 【详解】(1)由题意，数列{an}满足an1+a,=3.2”，即an+1=-an+3.2”, 则241~21 0+3-20-2-2-0=-1， an-2" 0n-2” a-2" 又由a,=1,可得a-2=-1, 所以数列{a,-2}表示首项为-1，公比为-1的等比数列. (2)由(1)知an-2”=-1×(-1)”-=(-1)”,所以an=(-1)”+2”, 所以Sn=2+22+…+2”+(-1)+1+…+(-1)”, 当n为偶数时，可得S。=20-22+0=21-2: 1-2 当w为奇数时，可得S20-2-1=2-3 1-2 21-2,n为偶数 综上可得，Sn= 2m1-3,n为奇数 2.已知数列{a,}为等差数列，4=l,&=2V2+1,前n项和为S,数列{6，}满足b,=-S 求证： (1)数列{b,}为等差数列： (2)数列{a,}中的任意三项均不能构成等比数列. 【详解】解：(1)因为等差数列{a,}满足a=1,4=22+1,所以d=a,-4=2, 3-1 8w+号- 似3州 b= V2,即 1 n 2 21 72 2026届青岛市高三数学静悟材料 即亿，}为公养为巨的等差数 2 列； (2)设数列{an}中任意三项a,=1+V2(n-1),am=1+V2(m-1),a=1+V2(k-1) 则an≠am≠ak,假设an,am,ak成等比数列，则 [1+2(m-]=[1+2(n-1)][1+迈k-1] 即2(m-1)2-2(n-1)(k-1)=√2(n+k-2m) 因为m,n,k∈Z [n+k-2m=0 所以l(m-旷=(a-k-,所以(k-m=0,即k=n,与a,≠a:矛盾，所以数列a,} 中的任意三项均不能构成等比数列. 73 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料七：立体几何 主编单位：即墨教研室 【必备知识】 根据三视图还原几何体的步骤 棱柱 1选一个视图扩充成几何体（通常为直棱柱） 柱体 2对照三个视图对该几何体进行删点、补点，再连线成体， 圆柱 棱台 三视图：长对正、高平齐、宽相等 台体 直观图（斜二测画法：S=2√2S 空间几何体 圆台 结构特征 棱锥 侧面积、表面积 柱体：V=Sh 锥体 圆锥 体积 锥体：V=Sh 球 设1,2分别经过圆心01,02 台体：V=(S+S+vSS)h 外接球球心的定位 且1⊥圆面0,2⊥圆面02， 则l1与2的交点0为球心 球：V=πR 点与线 点在直线上，或点在直线外，∈或延 点与面 点在平面内，或点在平面外，∈或廷 相交lnm=0 只有一个公共点 共面直线 线与线 平行l//m 没有公共点 异面直线 没有公共点 平行/a 没有公共点 空间点、 直线在平面外 线、面的 线与面 相交1n=O1 只有一个公共点 位置关系 直线在平面内lca 无数个公共点 平行a/B 面与面 相交anB=l 平行关系的 线线 线面 面面 相互转化 平 平 平 证明 垂直关系的 相互转化 综合法、基底法、坐标法 74 2026届青岛市高三数学静悟材料 异面直线所成的角 范围：(0°，90] cos0=位6 lallbl 空间的角 直线与平面所成的角 范围：[0,901 sin=la 1al同 空 二面角的平面角 范围：(0°，180) c0s0= 121 点到面的距离 量 间直角坐标 空间的距离 直线与平面的距离 相互之间的转化 平行平面之间的距离 空间向量基本定理：p=xa十yb十zc,其中{a,b,c为空间的一个基底 若0P=x0A+y0B+z0Cx+y+z=1),P,A,B,C四点共面. 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 2025年I卷9 线面平行、垂直的判定与性质定理 2025年IⅡ卷14 空间几何体嵌套 2024年I卷5 圆柱、圆锥的体积和面积公式 2024年Ⅱ卷7 台体、线面角 2023年I卷12 空间几何体嵌套 2023年I卷14 台体体积 空间几何体 2023年Ⅱ卷9 圆锥的体积和面积公式 2023年Ⅱ卷14 椎体体积 2021年I卷3 圆锥的表面积和侧面积 2022年I卷8 四棱锥与球外接 2022年I卷9 线线角、线面角 2022年Ⅱ卷7 台体与外接球 2022年Ⅱ卷11 台体体积、线面角 2021年I卷12 正方体、直棱柱、正多面体的特殊的 2021年Ⅱ卷10 线面位置关系 2025年I卷9 线线垂直、线面垂直、线面平行 2025年I卷17(1) 面面垂直 2025年I卷17(2) 空间角的综合问题 空间点、线、面的 2025年Ⅱ卷17(1) 线面平行 位置关系 2024年I卷17(1) 线面平行 2024年Ⅱ卷17(1) 线面垂直的判定和性质 2023年I卷18(1) 线线平行 公 2026届青岛市高三数学静悟材料 2022年I卷9 线线角、线面角 2022年Ⅱ卷20(1) 线面平行 2021年Ⅱ卷10 线面垂直 2021年I卷20(1) 面面垂直 2021年Ⅱ卷19(1) 面面垂直 2025年IⅡ卷17(2) 二面角 2024年I卷17(2) 二面角 2024年Ⅱ卷17(2) 已知二面角求线段长度 2023年I卷18(2) 已知二面角求线段长度 二面角的计算 空间中的角、距离 2023年IⅡ卷20(2) 2022年I卷19(1) 点到平面的距离 2022年I卷19(2) 利用向量求解二面角 2022年Ⅱ卷20(2) 二面角的计算 2021年I卷20(2) 空间几何体体积 2021年Ⅱ卷19(2) 二面角的计算 【易错点提醒】 1对判定定理及性质定理理解不到位，判断位置关系时思维不够全面。 (1)(2019全国Ⅲ理)设、B为两个平面，则a∥B的充要条件是() A.内有无数条直线与B平行 B.内有两条相交直线与B平行 C.a,B平行于同一条直线 D.,B垂直于同一平面 【错解】没有全面考虑必要性和充分性，错选A 【正解】由面面平行的判定定理知：Q内有两条相交直线都与B平行是/P的充分条件， 由面面平行性质定理知，若a/IB,则&内任意一条直线都与B平行，所以α内两条相交直 线都与B平行是IIB的必要条件，故选B. (2)已知m,n,表示两条不同直线，C表示平面，下列说法正确的是() A.若m/1a,n/a,则m//n B.若m⊥，nCc,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则n//a D.若m//a,m⊥n,则n⊥ 【错解】A选项应得到m,n,相交或平行或异面，故A错：C选项应得到n//C或nCa, 故C错；D选项应得到n与a平行，相交，nCa都有可能，故D错. 76 2026届青岛市高三数学静悟材料 【正解】由线面垂直性质定理可知B正确。 2.空间几何体求体积时高的求解出现问题 (2023·新高考全国)在正四棱台ABCD-A1B1CD1中，AB=2,A1B1=1,A41=V2,则该棱台 的体积为 【错解】找不准，求不对四棱台的高，错选V2 3 【正解】如图，过A1作A1M⊥AC,垂足为M, C Q B B 易知4M为四棱台ABCD-AiB1CD,的高，A0,=41C-X24B,=2 2 2 AM=4C-A1C)=2 116 ,则AM=AA?-AMP= 2 2 2 21 v=×4+1+4x1)x6.76 3 26 3.空间向量的夹角与所求角之间的转化错误导致失误， (1)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为√2，底面三角形的边长为1，则BC与侧 面ACCA所成的角是」 【错解】处理夹角问题时，没有完全回扣定义，凭主观感受、主观认识来处理问题， 【正解】在R△BCC中，BC=1,CC=V2→BC,=V3,由于三棱柱ABC-ABC1为 正棱柱，底面ABC与侧面垂直，所以正三角形ABC中AC边的高即为B到侧面ACCA,的 V3 1 in=- 距离，点B到平面ACCA的距离为2，所以 2,0=30° 77 2026届青岛市高三数学静悟材料 (2)已知二面角a-1-B的大小为60°，m,n为异面直线，且m⊥a,n⊥B,则m,n 所成的角( ) (A)30° (B)60° (C)90 (D)120° 【错解】对两条直线所成角的定义理解不准确，错选D。 【正解】如图，设m⊥a于A,过m的点P引n的平行线交B于B,设平面PAB与1 交于0点，连结A0、B0,由m⊥，n⊥B可知面1⊥面PAB,所以1⊥AO,1⊥B0 所以∠AOB是二面角的平面角，所以∠AOB=600,可得∠APB=120,则m,n所成 的角为120°，又异面直线所成的角小于等于90，所以0=60°，故选B. 【典型真题】 1.空间几何体的表面积、体积 [2025湖北黄冈二模]己知m,n为异面直线，m⊥平面a,nL平面B.若直线1满足1Lm,lL n,l￠a,l￠B,则(B) A.a∥B,l∥a B.a与B相交，且交线平行于1 C.aLf,l⊥a D.a与B相交，且交线垂直于1 [解析]假设a∥B,则由m⊥平面a,n⊥平面B,可得m∥n,这与m,n是异面直线矛盾，故a与B相交，A 错误；如图，设a∩B=a,过直线n上一点，作b∥m,设b与n确定的平面为y. 78 2026届青岛市高三数学静悟材料 因为1Lm,所以1⊥b,又1Ln,b与n相交，b,ncy,所以1⊥y,因为m⊥a,所以b⊥a,又aca,所以a⊥ b,因为n⊥B,acB,所以a⊥n,又b与n相交，b,nc,所以a⊥y,又因为lta,l￠B,所以1与a不重合， 所以l∥a,B正确，D错误；因为I∥a,la,aca,所以I∥a,C错误.故选B. 2.几何图形的内切球、外接球 (2025全国Ⅱ卷)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计） 内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值是cm. 答案：2.5 解析：当两个铁球半径最大时，两球外切且分别与圆柱上下底面相切，同时与圆柱侧面相切。 设铁球半径为r,圆柱底面半径R=4,高h=9.两球心水平距离：每个球心到圆柱中心轴距离 为R-=4-r,所以水平距离为2(4-r),两球心垂直距离：圆柱高减去上下球半径，即h-2=9-2r, 由勾股定理：[2(4-)]2+(9-2)2=(2)2，化简得：4(16-8r+2)+(81-36+42)=42,得到 42-68r+145=0,由判别式△=682-4×4×145=2304，解得=2.5. 1.点线面的位置关系 (2019·全国Ⅲ理)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平 面ABCD,M是线段ED的中点，则() A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 正确答案B 【解题思维导图】 连接BD→点N在BD上→BM,EN都在平面BDE上→BM,EN相交 【详细解析】 连结BD,因为点N为正方形ABCD的中心，所以点N为BD的中点，可知直线BM,EN 都是平面BED内的直线，且不平行，即直线BM,EN是相交直线，设正方形ABCD的边 19 2026届青岛市高三数学静悟材料 长为2a,则由题意可得：DE=2a,DM=a,DN=V2a,DB=2W2a,根据余弦定理可得： BM2=DB2+DM2-2DB·DM cos∠BDE=9a2-4V2a2cos∠BDE, EN2 DE2+DN2-2DE.DN cos /BDE 6a2-42a2 cos /BDE, 所以BM≠EN,故选B。 4.空间几何体的截面问题 1.正方体ABCD-ABCD中，M、N分别是棱DD,和BB上的点，MD=DD,NB=BB, 、3 3 那么正方体的过M、N、C的截面图形是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析：正方体ABCD-AB,CD中，M、N分别是棱DD和 BR上的点，MDD0,NB-专BB,延长CM交CD于 P,延长CN交CB于Q,连结PQ交AD于E,AB于F, 连结NF,ME,则正方体的过M、N、C的截面图形是五O1 边形.故选：C, 5.空间向量与空间角 1.(2023全国乙卷理科9)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三 角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为() 2 B. √2 5 C⑤ 03 解析：如图所示，取AB中点H,连接DH,CH,则CH⊥AB,DH⊥AB. H B ∠CHD为二面角C-AB-D的平面角，即∠CHD=150°， 且AB⊥平面CHD,平面ABC⊥平面CHD ∠DCH的大小即为直线CD与平面ABC所成角的大小. 80 2026届青岛市高三数学静悟材料 不妨设AB=2,则CH=1,DH=√3 在△CHD中，CD2=1+3-2×1×√3cos150°=7. 所以cos∠DCH=7+1-3.5 2x1xV2V万'sin∠DCH= 5 ）2 27 2V7,an∠DcH= 5 故选C. 6.空间距离 [2025·湖南湘潭联考]如图，△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形，点D,E分别在平面ABC的上 方和下方，点O为BC的中点. (1)求证：A,D,O,E四点共面； (2)若AD=AB=2V3,求直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值. 解：(1)证明：连接DO,AO, 因为△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形， 所以AO⊥BC,EO⊥BC,DO⊥BC, 又AO,E0都在平面AOE内且交于点O,AO,D0都在平面AOD内且交于点O, 所以BC⊥平面AOE,BC⊥平面AOD. 因为过O只有一个平面与BC垂直，且平面AOE与平面AOD有公共点O, 所以平面AOE与平面AOD是同一平面，即A,D,O,E四点共面. (2)以O为原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O0,0,0),A3,0,0),C(0,-V3,0),B(0,V3,0), 设Dx,y,z),因为D0-V2.Z=12-3=3,AD=2V3, 81 2026届青岛市高三数学静悟材料 =V(-3)2+2+Z=2V3, = 2+(V3)2+2=2V3, 所以 =v 2+(+3)2+2=2V3, =V2+2+2=3, =1, 解得 =0,所以D1,0,22) =2V2 设Ex1y1,z1),因为E0=V2.Z=V12-3=3, =√+(1V3)2+=2V3 所以 =√+(1+V32+=2V5,解得针子=9 -、++=3, 由(1)得∠AOE为二面角A-BC-E的平面角， 设∠AOE=0,则点E(3cos0,0,-3sin), 故=(3cos0,0,-3sin),=(-3,-V3,0),=(-2,0,2V2), 设平面ACD的法向量为n=(x22,22), f8n2ga2a 取x2=V2,得y2=-V6,22=1,所以n=(W2,V6,1) 设直线OE与平面ACD所成的角为a,则 sin a=lcos< 、0s00中+sooE+meg7seo2g 9 3 故当cos(0+p1时，sin取得最大值号，所以直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值为 3 7.立体几何探索问题 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB=PC=3. 在梯形ABCD中，AB∥DC,AD⊥DC,AB=5,AD=4,DC=3. (1)求证：AB∥平面PCD: 82 2026届青岛市高三数学静悟材料 (2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值： 3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为D,若存在，求出S巴的值：若不存在，说明 10 CB 理由。 (I)证明'AB∥CD,ABC平面PCD,CDC平面PCD, ∴.AB∥平面PDC. .2分 (2)解·ABCD是直角梯形，AB∥DC,AD⊥DC,AB=5,AD=4,DC=3, .BC=42+5-32=2V5,又PB=PC=3,∴.点P到直线BC的距离为V32-5=2, ,平面PBC⊥平面ABCD,∴.点P到平面ABCD的距离为2. 以D为原点，以DA,DC及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系（图略）. A(4,0,0),B(4,5,0),C0,3,0),P(2,4,2), ∴.P3=(2,1,-2),AB=(0,5,0),C市=(4,2,0)， 设平面APB的法向量为m=(x1,yI,z),平面PBC的法向量为n=(x2,2,z2), mP克=21十m-2a1=0, 则 m:AB=5y1=0, n:P市=2x2十y2-2z2=0, CB=4x2+2y2=0, 令x1=1,x2=1可得m=(1,0,1),n=(1,-2,0), 设平面APB与平面PBC的夹角为O, 则cos0=lcos(m,m)1=m:m-1。=10 mlln2×V510 ·平面4PB与平面PBC夹角的余弦值为10 10 .7分 (3)解假设棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为10， 10 设C0=C3=2(4,2,0)=(41,22,0),元∈[0,1]， .Q(41,21+3,0),.A0=(41-4,21十3,0)， 由(2)知平面PBA的一个法向量为m=(1,0,1), ∴点0到平面PBA的距离d=边m_4-4V10 210 ==1- 201 83 2026届青岛市高三数学静悟材料 ·棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为Y10 10 C0-1-s CB 20 .12分 【教材好题】 1某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1：2，高为 15cm,母线长为25cm.现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方 米需要100克涂料，则共需涂料(C) A.750π克 B.1500π克 C.3000π克 D.6000m克 [解析]如图，圆台上、下底面中心分别为O1,O2,连接O1O2,作CF⊥AB,设圆台的上底面半径为 rcm,则下底面半径为2rcm,因为高CF=15cm,母线CA=25cm,所以由(2-r)2+152=252,得=20， 可得圆台的侧面积为25(20+40)元=1500元(cm2),所以100个灯罩内、外表面面积为 2×1500元×100-300000π(cm2)=30元m2),则共需涂料30元×100-3000元（克）.故选C. D 2已知m,n为异面直线，m⊥平面a,n⊥平面B.若直线1满足1Lm,l⊥n,l￠a,l￠B,则(B)》 A.a∥B,1∥o B.a与B相交，且交线平行于1 C.a⊥p,l⊥a D.a与B相交，且交线垂直于1 [解析]假设a∥B,则由m⊥平面a,n⊥平面B,可得m∥n,这与m,n是异面直线矛盾，故a与B相交，A 错误；如图，设a∩B=a,过直线n上一点，作b∥m,设b与n确定的平面为y. 因为1Lm,所以1Lb,又1Ln,b与n相交，b,nc,所以1⊥y,因为m⊥a,所以bLa,又aca,所以a⊥ b,因为n⊥B,acf,所以a⊥n,又b与n相交，b,ncy,所以a⊥y,又因为l在a,ltB,所以1与a不重合， 所以I∥a,B正确，D错误；因为I∥a,l￠a,aca,所以I∥a,C错误.故选B. 84 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料八：概率与统计 主编单位：青岛一中 【必备知识】 PA+B)=P(40+P(B) Pa0=1-P0P(4n8)-P(PB) 概率的基本性质 互斥事件 对立事件 独立事件 古典概型 概 条件概率 P(BIA)=P(A0B) P() X~B(p)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p 两点分布 E(X0=P.D(X0=p1-) 离散性随机变 二项分布 X-B(n.p).P(X=)=Cip'(1-p)" 量的分布列 E(X)=np.D(X)=mp(1-p) 概率与统 随机变量 超几何分布 ()-CiC C 若了=aX+b,则 正态分布 X-2(4,GE(X)=4,D(X)=G 图像，3c原则 EQ)=aE(0+3 D0)=a2D(9 抽签法 共同特点：抽样过程 简单随机抽样 中每个个体被抽到的 随机抽样 随机数表法 可能性（概率）相等 分层抽样 统 分层随机抽样的平均数计算 总体百分位数的估计 用样本估计 频率分布直方图 总体 样本频率分布 估计总体 总体密度曲线 茎叶图 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数和百分位数 期望、方差和标准差 正相关和负相关 变量间相关关系 线性相关和非线性相关 回归分析 线性回归方程 回归直线过样本点中心G父。 x>0,两变量正相关，x<0,两变量负 统计案例 相关系数x 相关：x越接近1，线性相关性越 强；越接近0，线性相关性越弱 独立性检验 列联表 85 2026届青岛市高三数学静悟材料 【高考规律】 年份 题号 核心考点 题型 难度层级 2025全国一卷 条件概率、独立性检验、分布列 12、20 多选+解答 中档+压轴 与期望 2024全国一卷 9、19 频率分布直方图、线性回归方程 单选+解答 基础+中档 2023全国一卷 11、21 独立事件概率、二项分布期望 多选+解答 中档+压轴 2022全国一卷 5、18 分层抽样、古典概型 单选+解答 基础+中档 2021全国一卷 8、20正态分布、条件概率与分布列 单选+解答 中档+压轴 概率与统计为高考必考模块，稳定呈现“1道小题+1道解答题”的命题结构，总分值约 17-22分。小题侧重基础概念辨析（如互斥与独立事件、正态分布）和简单计算；解答题以 真实情境为载体，考查统计分析（线性回归、独立性检验）或概率模型（分布列、期望）， 强调对题意的理解和建模能力，整体难度中等，计算复杂度适中，核心考查“统计思想+概率 模型识别”的综合应用。 【易错点提醒】 1、互斥事件与对立事件概念混淆 判断“抛掷一枚硬币，‘正面朝上’与‘反面朝上’”和“抛掷两枚硬币，‘均正面朝 上’与‘均反面朝上’”两组事件的关系。 【错解】对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立；对立事件需满足“不能同时发生且必 有一个发生”。 【正解】第一组：对立事件（必发生其一，不能同时发生）。第二组：互斥但不对立事件（不 能同时发生，但可以都不发生)。 2、条件概率公式误用 己知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(AB)=0.2,求P(B|A)。 【错解】直接用P(B)作为结果，或错误使用公式：正确公式为：P(BIA)=A P(A) 【正解】PB1A)=0=8器=05 3、超几何分布与二项分布模型混淆 从含有3件次品的10件产品中，不放回抽取3件，求次品数X的分布类型。 【错解】将不放回抽样的超几何分布误判为二项分布；核心区别：超几何分布为不放回有限 86 2026届青岛市高三数学静悟材料 总体抽样，二项分布为独立重复试验（放回抽样）。 【正解】服从超几何分布；不放回有限总体抽样→超几何分布；放回/独立重复一→二项分布。 4、频率分布直方图中位数计算错误 已知某频率分布直方图，组距为5，各区间依次为0.02,0.04,0.06,0.05,0.03，求中 位数。 【错解】误将纵轴数值直接当作频率，或计算中位数时未从左到右累加频率至0.5。 【正解】各组频率：0.1,0.2,0.3,0.25,0.15。累计频率：0.1→0.3→0.6（超0.5）， 中位数在第3组。中位数≈13.33. 【典型真题】 1、计数原理与排列组合 【2023年新高考I卷第13题】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需 从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）· 【分析】利用分类加法计数原理，分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论体育类 选修几门，结合分步乘法计数原理求解. 【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC4=16种：(2)当从8门 课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC=24种：②若体育类选 修课2门，则不同的选课方案共有CC=24种；综上所述：不同的选课方案共有 16+24+24=64种. 2、统计图表与数字特征 【2023年新高考I卷第9题】有一组样本数据x,x2,,x6,其中X是最小值，x是最大值， 则() A·X2,X3,X4,X的平均数等于x,x2,,x。的平均数 B·x2,x3,x4,x的中位数等于x,x2,,x的中位数 C·X2,X3,x4,X,的标准差不小于X1,X2,,x。的标准差 D·x2,x3,x4,x的极差不大于x1,x2,,x6的极差 87 2026届青岛市高三数学静悟材料 【分析】本题考查平均数、中位数、标准差以及极差的概念，注意特值法的使用，如A选项.同 时，不仅要会算具体数据的平均数、中位数、方差等，更要理解概念的意义，如C选项分析 标准差时，回归标准差的本质一一反映数据波动性的大小· 【详解】对于选项A:设x2,x3,x4,x,的平均数为m,x,x2,,x的平均数为n,则 n-m=当+3+5+x+5+龙-5+5+x+=2(出+)-(s+x+x+x) 6 12 因为没有确定2(x+x6),x+x2+x3+x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小，例如 1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2,故A错误；对于选项B:不妨设x≤x2≤x3≤x4≤x≤x。, 可知，x,,x,的中位数等于x,x,,x的中位数均为十龙，故B正确：对于选项C: 因为X是最小值，。是最大值，则2，七，x4,七的波动性不大于X,x,,x。的波动性，即 x2,七3，x4,X的标准差不大于x1,x2,,x6的标准差，即S,>S2;故C错误：对于选项D:不 妨设x≤x2≤x3≤x4≤x≤x6,则x6-X≥x-x2,当且仅当x=x2,x=x。时，等号成 立，故D正确；故选BD 3、离散型随机变量及其分布列 【2024新课标Ⅱ卷第18题】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛 具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰， 比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段第二阶段由该队的另一名队员投篮 3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛 队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为9，各次投中与否 相互独立. (1)若p=0.4,9=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<g, ()为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ()为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案： (2)(i)首先各自计算出=[1-Q-p)]q,P=[1-1-q)门]p,再作差因式分解即可 判断：（首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作 88 2026届青岛市高三数学静悟材料 差比较大小即可， 【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶 段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.6)1-0.5)=0.686 (2)()若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 P=1-1-p)]9,若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率 为P=[1-1-g)]p3, 0<p<9, .m-D=q3-(g-pq)3-p3+(p-pg)3 =(q-p)(g2+pg+p2）+(p-9)[(p-p9)2+(g-pg)2+(p-p9g-pg)] =(p-q)3pq2-3pq-3pg2） =3pg(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)1-q)-1]>0, P>P,应该由甲参加第一阶段比赛。 (m若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， P(X=0)=1-p)3+[1-1-p)]1-9)3, P(x=5)=1-(1-pCq(1-, P(X=10)=[1-1-p3门C921-q), P(X=15)=[1-1-p)]g2, E(X)=151-1-p)3q=15(p3-3p2+3p）g 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15， 同理E(Y)=15(g3-3g2+3q)p .E(X)-E(Y)=15[pg(p+q)(p-q)-3pq(p-q] =15(p-q)pq(p+9-3), 因为0<p<9,则p-9<0,p+q-3<1+1-3<0, 则(p-q)pq(p+9-3)>0, 应该由甲参加第一阶段比赛。 89 2026届青岛市高三数学静悟材料 4、正态分布 【2024新高考I卷第9题】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶 叶出口为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出 口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,己知该种植区以往的亩收入X服从正态 分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则()（若随机变 量Z服从正态分布N(4,o2),P(Z<4+σ)≈0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 【分析】正态分布具有对称性，清楚正态分布的期望和方差后，借助于正态密度曲线根据区 间的对称性求得相应范围内的概率· 【详解】依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.12), 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.8413>0.5，c正确，D错误： 因为X~N(1.8,0.1),所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1), 因为P(X<1.8+0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413=0.1587<0.2， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×01)<P(X>1.8+0.1)<02,B正确，A错误， 【教材好题】 1、(人教A版选择性必修第三册P74·例2)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着 若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡 有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向 右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2，，10，用X表示小球 最后落入格子的号码，求X的分布列. 【解析】设=“向右下落”，则=“向左下落”，且（)=0=0.5.因为小球最后落入格子的号 码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所 以~(10,0.5).于是，X的分布列为(=)=cg×0.510,=0,1,2,,10. 2、(人教A版选择性必修第三册P91·T11)某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查 乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000 次统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再 90 2026届青岛市高三数学静悟材料 化验如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有 一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次. (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗？ (2)如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？ 【解析】 (1)设每个人需要的化验次数为X若混合血样呈阴性，则=；若混合血样呈阳性，则= 因此，的分布列为（=)=0.955，(=)=1-0.955.（)=[0.955+6× (1一0.955)】≈0.4262.说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次，10000个人大约 需要化验4262次，新的化验方法能减少化验次数. (2)假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y.若混合血样呈阴性，则=；若混合血 样呈阳性，则=1+.因此，的分布列为(=)=0.98k,(=1+)=1 0.98k.()=[0.98k+(+1)×(1-0.98k)]=+(1-0.98k). 利用计算器或计算机，对k取1,2,3，.逐一计算+1一0.98k,发现当k取8时，()取到 最小值0.2742.此时，10000个人大约需要化验2742次. 3、（人教B版选择性必修第二册P97练习AT2)设两个正态分布(1，)（σ1>0）和 (2,)(o2>0)的密度函数图象如图所示.则有() A.1<2,1<02B.1<2,01>02C.μ1>μ2,1<02D.μ1>2，O1>02 【答案】A【解析】根据正态分布(，σ2)函数的性质：=是正态分布曲线的对称轴；σ反应 的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图象可得 μ1<2,01<02.故选A. 91 2026届青岛市高三数学静悟材料 静悟材料九：解析几何 主编单位：平度教研室 【必备知识】 倾斜角与斜率 倾斜角a[0o,180)和斜率k=tana的变化 点斜式：y-y。=kx-xo) 斜截式：y=k优+b 注意(1)截距可 正，可负，也可 直线方程 y-出 两点式： G≠x水 为0：(2)方程 当为-x 各种形式的变化 截距式：x+兰=1(a≠0，b≠0) 和适用范围 般式：A+By+C=0AB≠O) 直线的方程 两直线平行 k=k,且b≠b或4B,=A,B且AC本A,C 平面内两条 两直线垂直 k=-1域44+BB,=0 位置关系 两直线相交 两直线斜交 k≠k,或4B,≠A,B 两直线重合 k=k,且6=b,或4B2=A,B且4C3=A,C 点点距 B=s-s+y,-y月 Ar +By+C 距离 点线距 d √+B 线线距 d--Gl V+B k-k4B-4 0e0°，90 两直线夹角 tan= 1+kk, 44+BB,八A4,+BB,+0 92 2026届青岛市高三数 圆的方程 学静悟材料 标准方程：(x-a)2+0y-b2=2 圆的方程 般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 点在圆内 d<r 点和圆的位置关系 点在圆上 d=r 点在圆外 d>r 相离 △<0，或d>r 直线和圆的位置关系 相切 △=0，或d=r 相胶 △>0，或d<r (1外离：d>r1+n 2外切：d=1+r2 圆和圆的位置关系 (3相交：r1-n|<d<n+r2 (4)内切：d=|n-n (⑤)内含：d<r1-r2l 8 2026届青岛市高三数学静悟材料 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F,F=2c)的 动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F,F2叫做椭圆的焦点 2a=2c 线段 定义 2a<2c 不存在 ⊙ 焦点的位 氢点在x轴上 氢点在y袖上 置 围形 A 标准方程 范圈 -as≤a且一ssh -bs<b且-asa 顺点 A(-a,0,4a,0B10,-b,Ba0,b)40,-d,A0,B-b,0,Bb,0 椭 轴长 组物长为2山，长轴长为2a 丛点 F(-c,0,Fc,0 F0,-c,F0,g 丛距 FF:=2e 对养性 时称轴：x转和y钻，对称中心：原点 离心率 =0<e 性质 定义 椭圆上的一点P与两个焦点F1、F2组成的三角形称为焦点三角形 周长 周长：PE+PE,+EF=2a+2c PF,PF,- 2h2 +cos∠RPF, 面积 三 S PEPE,so.∠EPE=banE=c 2 形 焦点三角形两个底角分别为a、B,则e= sin(a+B) 2a PF+PF,sina+sinB 离心 令∠EPE-0,当P在短轴端点时，角最大 率 当0时，b=cee 当0时，b=c <e<10(0时，b=ca<0<e 2 2 Af=FB→ecos= -1 (θ是直线的倾斜角) 焦半径 λ+1 94 2026届青岛市高三数学静悟材料 平面内到两个定点F,万的距离的羞的绝对值等于常数2(2<5)的点P的轨迹 叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的叁距 当PF1-PF=2a2a<FF列时，点P的轨蓬为靠近乃的双南嘏的一支 定 当PF-PF=-2a2a<FF到时，点P的轨逢为靠近的双南线的一支 若2a=2C,则轨蓬是以F,厅为端点的两条射线： 若2a>2C,则轨迹不存在；若2a=0,则轨迹是线餐FF的垂直平分线 标准方程 =1(n0,b>0 6 20,60 图形 范国 2a或落…d 坚a或2a 对称性 对将袖：坐标轴：对称中心：原点 点 预点坐标4(·40)，Aa0颜点坐标40，·，40， 双曲 ⊙ 心 轴长 实轴长：2a:特长：26 b 近线 学 离心率 a,e0+回，钟ca,8 a,b,c同的关 d:on0.obo 性质 “焦点位置看正负，焦点随着正的跑” 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定 义，确定2a,2b减2c,从而求出a2,,写出双曲线方程 特定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程， 再由条件确定，6的值，即“先定型，再定量” 标准方 程的方法 如果焦点位置不好确定，可将双南线方很设为 =A(a+0, 再根据条件求入的值 95 2026届青岛市高三数学静悟材料 定义：平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相 的点的轨迹 焦点：点F叫做抛物线的焦点 基本概念 准线：直线1叫做抛物线的准线 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线” 标准方程 下=p00 =-p00 =200=-20>0 图形 浙出帝 范围 x20,yER x0.yER 120.xER 0,x6R 焦点 到 周 周 准线纺程 号 号 号 胃 对你袖 x轴 顶点 (0,0) 高心率 e=1 性质 抛 o 方法 待定系数法 线 (1)先定位：根据焦点或准线的位置. 标准方程 关键 (2)再定形：即根据条件求p 焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线2=2>0)焦点F的弦，若A的， n,B,,则 时购号 (2nn=-p2 4B=约十十p=卑a是直线4B的领斜角。 sin'a 国十=为定值F是抛物线的焦点 F BF p 焦点弦 方法一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点 的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和 大于第三边”，使问题得以解决 最值问题 方法二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距 离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决 96 2026届青岛市高三数学静悟材料 【高考规律】 考查内容 考题统计 考情分析 2025年I卷7 圆上到直线距离为定值的点的个数与 半径范围 直线与圆 2024年I卷11 轨迹方程、曲线与方程概念 2023年I卷6 相切、切线夹角正弦值 2022年I卷14 直线与圆相切、圆心到直线距离 2021年I卷11 位置关系、弦长、切线方程 2025年I卷3 双曲线离心率、几何性质； 2025年I卷10 抛物线定义、标准方程、焦点弦、等 2025年I卷18 积法；直线与椭圆联立、韦达定理、 定点定值、面积最值 2024年I卷12 双曲线焦点三角形、定义、离心率： 2024年I卷16 椭圆直线与椭圆、弦长、三角形面积 圆锥曲线 最值 2023年I卷5 椭圆离心率、基本量计算： 2023年I卷16 双曲线离心率、焦点三角形： 2023年I卷22 抛物线轨迹方程、矩形周长最值证明 2022年I卷11 抛物线定义、标准方程、焦点弦、长 2022年I卷16 度/位置关系；椭圆标准方程、定义、 2022年I卷21 弦长计算；直线与双曲线联立、斜率、 三角形面积 2021年I卷5 直线与圆位置关系、弦长、切线方程： 2021年I卷14 抛物线标准方程、焦点弦性质： 2021年I卷21 双曲线轨迹方程、直线与双曲线、斜 率和为定值 近五年新高考中，小题：椭圆、双曲线离心率最高频，其次是抛物线定义/焦点弦、直线与圆 位置关系。大题：椭圆必考(2021-2025年4年考查)，双曲线2次，抛物线1次。解答题 固定考查直线与圆锥曲线综合，围绕轨迹方程、定点定值、弦长面积、最值/范围、存在性五 大类轮换。强调几何直观+代数运算融合，高频考查设而不求、韦达定理、弦长公式、点到 直线距离等通性通法。二级结论（焦点三角形、中点弦、切线方程）可显著提升解题效率。 运算量与思维层次双增，突出压轴区分功能。 97 2026届青岛市高三数学静悟材料 【易错点提醒】 易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件 1.(24-25高三上·陕西榆林期中)已知F、F是平面内两个不同的定点，则“M-MF,为 定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若M-MF=0,则M=MF,此时，点M的轨迹是线段FF的垂直平分线， 所以，“M-MF为定值”“动点M的轨迹是双曲线”；若动点M的轨迹是双曲线，则 M-MF为定值，所以，“M-MF为定值”=“动点M的轨迹是双曲线”. 因此，“M-MF为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制 条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上 动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数：二抛物线则要满足定点不在定直线上. 易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置 2.(24-25高三上·江苏无锡·期中)求长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，-1)的椭圆的标准方 程() A.+2 x2,y2 D. x+ =1 0 182 93 9 【答案】C 若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为。 京山，将点的坐标代入椭圆方程可得 必十公引，解得=2，此时，精圆的标准方程为+兮=1：若精圆的焦点在少销上，则 91 18 椭圆的标准方程为广 +示引，将点的坐标代入船圆方程可得亦+是-1，解得公器 .x2 y2.x2 y2 x2 此时，椭圆的标准方程为$2+82=引综上所述，椭圆的标准方程为二+上 98+21或82+2 =1 9 9 易错提醒：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦 点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一 定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求，b,c或卫的值. 98 2026届青岛市高三数学静悟材料 易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围 3(2425商三上山东演州阶段练习》设R,分别为椭图C号+茶-口>b>0的左、右 焦点，M在椭圆上运动时，至少有两个位置使得M⊥MF2,则椭圆C的离心率范围是 【答案】 【详解】因为动点M满足MF⊥MF,所以M在以FF为直径的圆上.又因为M在椭圆上运 动时，至少有两个位置使得MF⊥MF2,所以b≤c<a,则b2≤c2<a2,即a2-c2≤c2<a2, 同除a2得1-ese<l,解之得 ≤e<l.故答案为： 易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是e∈(0,1)，而双曲线的离 心率范围是e∈(1，+o),在求范围的时候要时刻注意， 易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围 4.(24-25高二上·河南平顶山·阶段练习)在平面直角坐标系中，己知△ABC的顶点 A(-2,0),B(2,0),其内切圆圆心在直线x=1上，则顶点C的轨迹方程为() A.￡上=10x>D B.x-’=1e>) 45 3 c.￡+上=10<x<0 D.+ -=1(0<x<1) 95 94 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案， 【详解】如图，设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则有 AD=AE=2,BF=BE=1,CD=CF,所以CA-CB=3-1=2 根据双曲线定义，所求轨迹是以A,B为焦点，实轴长为2的双曲线的 右支（右顶点除外），即c=2、a=1,又c2=a2+b2,所以b2=3,所 以方程为2_二=1>).故选：B 3 易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件， 求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错. 【典型真题】 1.直线与圆 1.(2025天津·高考真题)4：x-y+6=0,与x轴交于点A,与y轴交于点B,与 99