专题01相交线与平行线期末复习专项训练（13大重点题型精讲+压轴训练突破）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心考点，以14类题型构建从基础计算到综合应用的递进训练体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|题型1-4（每题3例）|考查对顶角、邻补角、垂线及角平分线计算|从相交线基本概念到角平分线综合，构建概念应用逻辑链| |平行线应用|题型5-10（每题3例）|涵盖性质、判定、拐点、折叠等问题|以三线八角为基础，递进至性质与判定综合，渗透辅助线添加思想| |拓展应用|题型11-13（每题3例）|命题、平移性质及坐标变化|从几何推理到代数表达，体现数形结合| |压轴突破|8道综合题|多知识点交叉，含动态与探究问题|整合全章核心，对接中考命题趋势，培养综合推理能力|

专题01相交线与平行线专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1对顶角、邻补角基础计算 题型2垂线与互余角度的计算 题型3三线八角识别 题型4相交线与角平分线的综合计算 题型5根据平行线性质求角度 题型6平行线的判定 题型7平行线性质与判定综合应用 题型8平行线与角平分线的计算 题型9平行线拐点问题 题型10平行线折叠问题 题型11命题与定理 题型12平移的性质 题型13平移坐标变化 题型14压轴题8道 ✍核心题型精讲 题型1对顶角、邻补角基础计算 1．中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，和是对顶角，，又因为和是邻补角，邻补角的定义是两个角相邻且它们的和为．因此，我们可以得出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ∵， ， 和是邻补角， ， ． 2．已知一个角的邻补角的度数是这个角的度数的2倍，那么这个角的度数为______度． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的性质（互为邻补角的两个角之和是），根据题意列方程即可解出． 【详解】解：设这个角度数为，则它的邻补角度数为． 解得． 所以这个角的度数是． 3．如图，已知直线与直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】（）先根据余角的定义求得的度数，再根据对顶角的性质可求的度数； （）设，，然后求出的度数，利用对顶角的性质、角度和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型2垂线与互余角度的计算 1．如图所示，直线、交于点，添加下列条件之一，可以说明的有（    ） ①；②；③ A．只有①可以 B．①②都可以 C．①③都可以 D．①②③都可以 【答案】C 【分析】根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②由不能得到； ③∵，， ∴， ∴； ∴①和③可以说明． 2．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 【答案】68 【分析】由题意可得，，再结合求出，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，余角的定义求解即可； （2）先证明．．再根据余角的性质，得到，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴，即：． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 题型3三线八角识别 1．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，内错角：在截线两旁，被截线之内的两角，同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角；首先结合图形找出需要判断的两个角所涉及的直线，再根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行分析即可． 【详解】解：．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与不是同位角，说法错误，故该选项不符合题意； ．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 2．如图，已知直线、被直线所截，则与是内错角关系的是______． 【答案】 【详解】解：由图可知，与是内错角． 3．【新考向】如图，直线与直线交于点D． (1)写出的同位角，的内错角和的同旁内角； (2)在图中画出的对顶角； (3)若于G，且，求的度数． 【答案】(1)的同位角和；的内错角是；的同旁内角是和 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了三线八角，垂线的定义，对顶角的定义； （1）根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可； （2）根据对顶角的定义画图即可；对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． （3）由垂直得到，再根据对顶角得到． 【详解】（1）解：与是直线、被所截形成的同位角； 与是直线、被所截形成的同位角； 与是直线、被所截形成的内错角； 与是直线、被所截形成的同旁内角； 与是直线、被所截形成的同旁内角； （2）解：如图，分别延长和得到射线、，则的对顶角是； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型4相交线与角平分线的综合计算 1．如图，直线，相交于点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据补角的定义得出的度数，根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义求出的度数，再根据对顶角相等即可得解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 2．如图，直线交于点是的平分线，，则________． 【答案】 【分析】先根据邻补角求出，再根据角平分线定义求出角，最后根据邻补角定义求得． 【详解】解：， ， 是的平分线， ， ． 3．已知，，，三点在同一直线上，平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若在内，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平角的定义可得，进而求得； （2）根据角平分线的定义得，根据平角的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴ ∵， ∴ （2）∵平分，， ∴， ∴ ∴ 题型5根据平行线性质求角度 1．如图，直线，被直线所截，．当时，直线．由此可知，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 【答案】65 【分析】结合两直线平行，同旁内角互补得，又因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．类比内错角的定义，我们定义外错角．如图1，直线，被直线所截，与在直线的外部，并且分别在直线的两侧，具有与这种位置关系的角我们称之为外错角． (1)请在图1中找出另一对外错角； (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图2，若，求证：，并归纳出一个真命题（用文字叙述）． 【答案】(1)与 (2) (3)证明见解析；外错角相等，两直线平行． 【分析】（1）根据外错角的定义写出答案即可； （2）根据平行线的性质得到，再利用对顶角相等即可得到答案； （3）根据已知条件和对顶角相等得到，再根据平行线的判定即可得到结论，再写出真命题即可． 【详解】（1）解：由外错角的定义得到与是外错角， 故答案为：与 （2）解：∵， ∴， ∴ （3）证明：∵， ∴， ∴ 真命题为：外错角相等，两直线平行． 题型6平行线的判定 1．下列说法中，正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．不相交的两条直线叫作平行线 【答案】B 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误； D、在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，原说法错误． 2．如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【答案】或或 【详解】解：根据平行线的判定方法， 当时，； 当时，； 当时，； 故添加条件可以是：或或. 3．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解． （2）证明即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴. （2）证明：， ， ， ， ， ， ． 题型7平行线性质与判定综合应用 1．如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，推导出，得到求出，，则，即可解答． 【详解】解：过点B作，如图 ∴， ∵和始终垂直于地面，与水平地面平行， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，已知，，试说明：． 解：因为，（已知） 所以______，（______） 所以．（______） 因为，（已知） 所以，（等式性质） 即______， 所以______，（______） 所以．（______） 【答案】，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据已知条件，运用平行线的判定与性质填空即可． 【详解】解：因为，（已知） 所以，（同旁内角互补，两直线平行） 所以．（两直线平行，内错角相等） 因为，（已知） 所以，（等式性质） 即， 所以，（内错角相等，两直线平行） 所以．（两直线平行，内错角相等） 3．已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2)写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定、角的计算及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）①根据题意，补全图形即可； ②根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定进行分析计算即可． 【详解】（1）解：①图形如图所示， ； ②，， ． ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ， ， ， ， 则， ． 题型8平行线与角平分线的计算 1．如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 2．如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，正确； ②∵， ∴， 但不一定平分， ∴推不出， 即不一定正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，正确； ④∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴平分，正确 故正确的有①③④． 故答案为：①③④ ． 3．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析; (2)70°． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型9平行线拐点问题 1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，过点D作，得到，根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可． 【详解】解：过点C作，过点D作， ， ， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，再证明，得出，根据角的和即可得出答案． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 3．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)； (2)与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的性质及“拐点”模型的应用，核心是通过构造平行线将分散的角进行转化，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质解决角度计算问题． （1）过拐点作平行线，通过平行线的性质推导得出，代入的度数即可求解； （2）通过作辅助线平行于和，将相关的角分解为与、相关的角，结合平行线性质求出锐角度数． 【详解】（1）解：如图，过的顶点作直线平行于支撑平台． ∵工作篮底部∥支撑平台，支撑平台， ∴工作篮底部． ∵支撑平台， ∴． ∵工作篮底部， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，过点作， ， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ， ， ． 答：与所成锐角的度数为． 题型10平行线折叠问题 1．如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定．由折叠的性质求得，，即，，根据平行线的判定定理即可判断． 【详解】解：由折叠的性质知，， ∵，， ∴，，即，， ∵， ∴(同位角相等，两直线平行)，故选项A不符合题意； ∵， ∴(同旁内角互补，两直线平行)，故选项B不符合题意； ∵，， ∴(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，故选项C不符合题意； ∴不能作为判断与平行的依据是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选：D． 2．将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， ∴ 故答案为：． 3．图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中为转动杆，为水平杆，当转动杆转动时，杆始终保持水平，即．已知． (1)如图3，当转动杆转动到三点在同一条直线上时，．若，求的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． （已知）， （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （________）（________）． ． (2)如图2，在转动杆转动过程中，的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不会改变， 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据题干的提示求解即可； （2）过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】（1）解：（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ； （2）解：的大小不会改变，， 如图，过点作， ， （平行于同一条直线的两条直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （辅助线作法）， ∴， ． 题型11命题与定理 1．下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，关键是根据定义进行判断；命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵命题的定义是可以判断真假的陈述句， ∴A选项是可以判断真假的陈述句，是命题； B选项是祈使句，无法判断真假，不是命题； C选项是可以判断真假的陈述句，是命题； D选项是可以判断真假的陈述句，是命题； ∴不是命题的是B选项， 故答案选：B． 2．要判断命题“若，则”是假命题，请举出一个反例，的取值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了举反例，找出满足但的x，取小于等于的负数如即可． 【详解】解：当时，成立，但，即不成立，故命题为假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 题型12平移的性质 1．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 2．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 3．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 题型13平移坐标变化 1．对于平面直角坐标系中的图形Q和图形Q上的任意点，给出如下定义： 将点平移到称为将点P进行“a（a是实数）型直角平移”，点称为将点P进行“a型直角平移”的对应点；将图形Q上的所有点进行“a型直角平移”称为将图形Q进行“a型直角平移”． 例如：将点平移到，则点称为将点P进行“1型直角平移”的对应点；将点平移到，则点称为将点P进行“型直角平移”的对应点． 已知点和点．    (1)将点进行“2型直角平移”后的对应点的坐标为 ； (2)将线段进行“型直角平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ； (3)若线段进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值是 ； (4)已知点，，点H是线段上的一个动点，将点A进行“a型直角平移”后得到的对应点为．画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】本题考查平移变换、坐标与图形，（1）根据题目中的平移方式求解即可； （2）根据题目中的平移方式求得、，即可求解； （3）根据定义求出a的最大值、最小值即可求解； （4）观察图象得，当在线段上时，的最小值保持不变，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点进行“2型直角平移”后的对应点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：将点、进行“型直角平移”后得、， ∵点、、与点A、B的纵坐标相同，且， ∴在线段上的点是，， 故答案为：，； （3）解：结合图象可得，若线段进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则或， 故答案为：或； （4）解：观察图象得，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时，， 故答案为：．      2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为___________． 【答案】 【分析】利用平移的性质画出图形，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，N′（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为点，，，平移三角形得到三角形，使得点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了根据平移前后点的位置判断平移方式，画平移图形． 根据点的对应点的坐标为求出平移方式，进而画出平移图形，最后写出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴三角形先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到三角形， 如图，三角形即为所求，可知点的坐标为． 👍压轴精练 1．如图，点，，在同一条直线上，平分，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义可知，根据邻补角的定义可知，再根据即可求得答案． 【详解】解：平分，， ， ， ， . 故选：C． 2．如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 二、填空题 3．如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、利用邻补角求角的度数等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． 由补角的性质以及角平分线的性质，计算的度数，得出的度数，判断结论①； 由平行的性质得出，结合，可证，判断结论②；分别计算出与的度数，判断结论③；由与平分，结合对顶角相等，找出等量关系，可证，判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论②正确； ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故结论③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 4．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是_______，的度数为_______． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 5．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，再由可得出，据此得，进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； （2）由已知得，，再由（1）的结论得，，据此可求出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，再由得，由此得，然后由（1）的结论得，据此可得出，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决平行线间拐点问题的万能钥匙，是过拐点作已知直线的平行线，将拐角拆分为两组内错角，实现角的等量转化；第（1）问证得的基础结论，可直接复用至后续两问，体现了几何题“证一次、用多次”的高效解题逻辑，避免重复推导． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)是轴上（除去点）的动点． 连接，，使，求符合条件的点坐标； 如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；②或，理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、平移的性质、平行线的性质等知识点，作出图形、利用分类讨论的思想和数形结合思想是解题的关键． （1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标求出点C、D的坐标即可； （2）①设P点坐标为，根据坐标与图形性质结合，得到，即可求得点P的坐标；②分点P在点B左侧和右侧两种情况，分别作出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，的坐标分别为，，将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，， ∴，即． 故答案为：． （2）解：①∵点A，的坐标分别为，， ∴， ∴， 设P点坐标为，则， ∵， ∴，解得：或10． ∴点P点坐标为或． ②或．理由如下： 如图，当点P在点B左侧时，过点Q作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在点B右侧时，过点Q作，则， ∵， ∴， ∴， ∴∠． 综上所述，与的数量关系为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1对顶角、邻补角基础计算 题型2垂线与互余角度的计算 题型3三线八角识别 题型4相交线与角平分线的综合计算 题型5根据平行线性质求角度 题型6平行线的判定 题型7平行线性质与判定综合应用 题型8平行线与角平分线的计算 题型9平行线拐点问题 题型10平行线折叠问题 题型11命题与定理 题型12平移的性质 题型13平移坐标变化 题型14压轴题8道 ✍核心题型精讲 题型1对顶角、邻补角基础计算 1．中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个角的邻补角的度数是这个角的度数的2倍，那么这个角的度数为______度． 3．如图，已知直线与直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型2垂线与互余角度的计算 1．如图所示，直线、交于点，添加下列条件之一，可以说明的有（    ） ①；②；③ A．只有①可以 B．①②都可以 C．①③都可以 D．①②③都可以 2．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 3．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 题型3三线八角识别 1．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 2．如图，已知直线、被直线所截，则与是内错角关系的是______． 3．【新考向】如图，直线与直线交于点D． (1)写出的同位角，的内错角和的同旁内角； (2)在图中画出的对顶角； (3)若于G，且，求的度数． 题型4相交线与角平分线的综合计算 1．如图，直线，相交于点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线交于点是的平分线，，则________． 3．已知，，，三点在同一直线上，平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若在内，，，求的度数． 题型5根据平行线性质求角度 1．如图，直线，被直线所截，．当时，直线．由此可知，的值为（   ） A． B． C． D． 2．共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 3．类比内错角的定义，我们定义外错角．如图1，直线，被直线所截，与在直线的外部，并且分别在直线的两侧，具有与这种位置关系的角我们称之为外错角． (1)请在图1中找出另一对外错角； (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图2，若，求证：，并归纳出一个真命题（用文字叙述）． 题型6平行线的判定 1．下列说法中，正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．不相交的两条直线叫作平行线 2．如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 3．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 题型7平行线性质与判定综合应用 1．如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，试说明：． 解：因为，（已知） 所以______，（______） 所以．（______） 因为，（已知） 所以，（等式性质） 即______， 所以______，（______） 所以．（______） 3．已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2)写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 题型8平行线与角平分线的计算 1．如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 2．如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是______． 3．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 题型9平行线拐点问题 1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 3．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 题型10平行线折叠问题 1．如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 3．图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中为转动杆，为水平杆，当转动杆转动时，杆始终保持水平，即．已知． (1)如图3，当转动杆转动到三点在同一条直线上时，．若，求的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． （已知）， （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （________）（________）． ． (2)如图2，在转动杆转动过程中，的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小． 题型11命题与定理 1．下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 2．要判断命题“若，则”是假命题，请举出一个反例，的取值可以是______． 3．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 题型12平移的性质 1．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 3．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 题型13平移坐标变化 1．对于平面直角坐标系中的图形Q和图形Q上的任意点，给出如下定义： 将点平移到称为将点P进行“a（a是实数）型直角平移”，点称为将点P进行“a型直角平移”的对应点；将图形Q上的所有点进行“a型直角平移”称为将图形Q进行“a型直角平移”． 例如：将点平移到，则点称为将点P进行“1型直角平移”的对应点；将点平移到，则点称为将点P进行“型直角平移”的对应点． 已知点和点．    (1)将点进行“2型直角平移”后的对应点的坐标为 ； (2)将线段进行“型直角平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ； (3)若线段进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值是 ； (4)已知点，，点H是线段上的一个动点，将点A进行“a型直角平移”后得到的对应点为．画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是 时，的最小值保持不变． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为点，，，平移三角形得到三角形，使得点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出三角形，并写出点的坐标． 压轴精练 1．如图，点，，在同一条直线上，平分，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 二、填空题 3．如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 4．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是_______，的度数为_______． 三、解答题 5．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)是轴上（除去点）的动点． 连接，，使，求符合条件的点坐标； 如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $