精品解析：山东烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四制）

山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个． 2. 下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 3. 若，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 一定是个二次根式 B. 若a（）为有理数，则是它的算术平方根 C. 化简的结果是 D. 若二次根式有意义，则x的取值范围为 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．当时，是二次根式，当时，没有意义，原说法错误，故本选项不符合题意； B．若为有理数，则是它的算术平方根，原说法正确，故本选项符合题意； C． ，原计算错误，故本选项不符合题意； D．要使有意义，则，即，原说法错误，故本选项不符合题意． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入方程，求出k的值，然后结合一元二次方程定义求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得 ， ∵方程是一元二次方程， ∴ ， 解得 ∴ 故选 ：B． 6. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程2x2-2x-1=0， 整理得：x2-x=， 配方得：x2-x+=，即（x-）2=． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7. 如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；由平角的定义求出，由三角形内角和定理求出，再由平行四边形的对角相等即可得出结果. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴(平行四边形对角相等）． 故选：B． 8. 如图，矩形中，对角线相交于点O，已知，，的面积为20，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】连接，求出，，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 9. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，， 此时； 当时，， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C 10. 如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴ ， ∴在菱形中， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 11. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 12. 在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．甲：根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形；乙：根据作图过程可得是的垂直平分线，然后证明，可得，判断四边形是平行四边形，根据，即可得四边形是菱形． 【详解】解：甲正确，理由如下：四边形是平行四边形， ， 根据作图过程可知：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故甲的说法正确； 乙正确，理由如下： 如图(2)，连接交于点O， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ，. 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故乙的说法正确， 故选：C. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 使代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据这两种算式成立的条件列不等式组并解得一元一次不等式组的解集即可． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴可列不等式组：， ∴解得， ∴的取值范围是． 14. 因为，所以，的整数部分为2，小数部分为；设的小数部分为x，的整数部分为y，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的小数部分为，的整数部分为3，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是2，其小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为3， 即， ∴ ． 15. 如果，，那么下面各式： ①，②，③其中正确的是______（填序号） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是：能熟练的运用二次根式乘除法的运算法则，并知道根号下必须非负．由，，可得出，，从而排除了①，再根据二次根式乘除法运算法则可得知②③正确． 【详解】解：，， ，． ①根号下必须非负，错误； ②，正确； ③，正确． 故答案为②③． 16. 已知是一元二次方程的两个根，且，则a等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出， ，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，，即， ∵ ， ∴， ． 17. 如图，，则的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例得到，继而解得，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴. 18. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，，则的面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理解三角形，直角三角形斜边中线定理． 根据菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理，得到，，继而根据勾股定理得到，继而得到，根据菱形的面积计算公式得到，继而得到． 【详解】解；∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2）-37+2． 【解析】 【分析】（1）先将括号内的二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后，再计算除法即可； （2）利用乘法公式计算即可； 【详解】解：（1）（2-6+3）÷（2）； ＝（4-2+12）÷（2） ＝14÷（2） ＝7 （2）（2+5）（2-5 ）-（）2． ＝（2）2-（5）2-（5﹣2+2） ＝20-50-（7-2） ＝-37+2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，． 21. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： （1） ， 为正整数） （2）若，则 （3）求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键. 22. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 23. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）销售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【小问1详解】 解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 24. 已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【解析】 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 25. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角，等腰直角和等腰直角，连接．当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】先证明，得出， 再证明四边形是平行四边形，根据，求出，即可证明此时四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形；证明如下： ∵和为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 26. 如图，中，，cm，cm，过点作于点，点以的速度从点出发，匀速向终点运动；同时，点以的速度从点出发，匀速向终点运动，一点到达终点后，另一点也随之停止运动．过点作于点，连接，，．设运动的时间为，解答下列问题： （1）求线段AD的长； （2）当四边形ANMC的面积是34cm2时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在以M，E，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，的值为1或 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，设，则，再利用勾股定理运算求解即可； （2）过作于点，利用列式运算即可； （3）分类讨论的位置，再利用平行四边形的性质列式运算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 设，则， 在Rt中，， ∴ ， 解得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 过作于点，如图所示： 在中，， 由题可知，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 依据题意可得， 整理得， 即 ， 解得或； 【小问3详解】 ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①当点M在点D右侧时，， 即， 解得； ②当点在点左侧时，， 即， 解得； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 一定是个二次根式 B. 若a（）为有理数，则是它的算术平方根 C. 化简的结果是 D. 若二次根式有意义，则x的取值范围为 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 或2 6. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，对角线相交于点O，已知，，的面积为20，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 9. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 使代数式有意义，则的取值范围是_____． 14. 因为，所以，的整数部分为2，小数部分为；设的小数部分为x，的整数部分为y，则_____． 15. 如果，，那么下面各式： ①，②，③其中正确的是______（填序号） 16. 已知是一元二次方程的两个根，且 ，则a等于______． 17. 如图，，则的长度是_____． 18. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，，则的面积等于_____． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： （1） ， 为正整数） （2）若，则 （3）求的值. 22. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 23. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 24. 已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 25. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角，等腰直角和等腰直角，连接．当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 26. 如图，中，，cm，cm，过点作于点，点以的速度从点出发，匀速向终点运动；同时，点以的速度从点出发，匀速向终点运动，一点到达终点后，另一点也随之停止运动．过点作于点，连接，，．设运动的时间为，解答下列问题： （1）求线段AD的长； （2）当四边形ANMC的面积是34cm2时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在以M，E，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $