2026年苏科版中考数学二轮练习《最后一题压轴题练习》

**基本信息** 聚焦中考数学压轴题，以几何综合、函数应用及动态问题为核心，通过20道典型题构建"问题情境-模型构建-推理计算"的解题逻辑链，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|8题（如1/7/12题）|涉及翻折/旋转变换，需构造全等/相似三角形|以图形变换为线索，串联四边形性质、圆的性质及解直角三角形| |函数综合|6题（如2/5/17题）|含反比例/二次函数图像与性质，结合动态点问题|通过函数解析式与图像特征，建立数与形的对应关系| |动态问题|6题（如4/15/16题）|动点轨迹与几何量关系探究，需分类讨论|融合运动变化思想，体现空间观念与数学抽象的结合|

2025-2026学年第二学期初三数学中考二轮练习《压轴题》 一．选择题（共4小题） 1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A'C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE； B．A′CA′D； C．S△A′CD＝S△A′DE； D．S四边形A′BED＝S△A′BC 2．已知A（x1，t），B（x2，t+1）两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　） A．当t＞0时，0＜x2＜x1 B．当﹣1＜t＜0时，x1＜x2＜0 C．当﹣1＜t＜0时，0＜x2＜x1 D．当t＜﹣1时，x1＜x2＜0 第1题第3题 3．如图，AB是⊙O的直径，点C、点D是⊙O上任意两点，连接CD，若点B是弧CD的中点，，AB＝1，则△BCD的面积为（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点T是y轴上一点，已知点P（不与点T重合），将点P绕点T逆时针方向旋转90°得到点Q，则称点P、Q互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．如图，已知点A（1，0）、B（2，0），点P（a，b）在一次函数y＝2x+1的图象上．若在线段AB上存在点P的和谐点Q，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a≤﹣2 B． C． D．﹣1＜a＜﹣2 第4题第6题第7题 二．填空题（共4小题） 5．（•）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的对称轴为直线x＝t，该二次函数图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），若对于1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，则t的取值范围是 　 　 ． 6．（•）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则线段FG的最小值为　 　 ． 7．（•）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB′C沿AB′翻折到△AB′C′处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　 　 ． 8．若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是　 　 ． 三．解答题（共12小题） 9．（•）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图象交于点B（m，4），与x轴交于点A（1，0）． （1）求直线l的函数关系式； （2）直线y＝﹣x与反比例的图象交于点C，与直线l交于点D，连接BC，点M是直线l上一动点，当S△BCM＝3S△OAD时，求点M的坐标； （3）在（2）条件下，过点D作DE⊥y轴于点E，点P是y轴上一点，且∠PDE＝∠ODA，请求出所有符合条件P点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 11．（•）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）． ①求线段AD的长；（结果保留根号） ②判断AB与DE的位置关系，并说明理由． 12．【特例感知】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，点C的对应点为G，延长EG交AD边于点H，连接BH．求证：△ABH≌△GBH． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，点C的对应点G恰好落在AD边上，求∠CBE的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形ABCD中，∠C＝60°，边长为6，点E是CD边上一点，点F是BC边上一点，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点G恰好落在菱形ABCD的一条边上，且DG＝2． ①如图3，当点G落在CD边上时，求CF的长； ②当点G落在AD边上时，请直接写出CF的长． 13．（•）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）若AB，sin∠AED，求BE的长． 14．）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交BD的延长线于点E，连接AC，AD． （1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线． （2）连接BC，若BC＝4，，求⊙O的半径长． 15．（•）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）： t（min） 0 t1 t2 5.5 d2（m） 0 16 16 0 （1）机器人乙运动的路线长为　 　 m； （2）求t2﹣t1的值； （3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值． 16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D为AC的中点．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点C作CE∥AB，交PD的延长线于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），请解答下列问题： （1）当t为何值时，△ADP是直角三角形？ （2）连接AF，QD，设四边形AFQD的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式； （3）当t为何值时，四边形AFQD的面积与△ABF的面积相等？ （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BD平分∠CDP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 17．（•）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 18．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式及点A、点B的坐标； （2）若点D在二次函数图象上，且，求点D的横坐标； （3）将直线BC向下平移，与二次函数图象交于M，N两点（M在N左侧），如图2，过M作ME∥y轴，与直线BC交于点E，过N作NF∥y轴，与直线BC交于点F，当MN+ME的值最大时，求点M的坐标． 19．（2026•模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD． （1）求证：AF为⊙O的切线； （2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE； （3）在（2）的条件下，若sin∠BAC，AF＝2，求BF的长． 20．（2026•一模）如图，抛物线C1：y＝ax2+bx+c过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝8． （1）求抛物线C1的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）如图2，保持t＝2时的矩形ABCD位置不动，平移抛物线C1使之经过点D，得到抛物线C2：y2＝ax2+dx+40，过点D的直线交抛物线C1和C2于点M，N（点M，N均不与点D重合），设点M的横坐标为m，设点N的横坐标为n，请求出|m﹣n|的值． 4．【解答】解：如图1，B、P为和谐点，设P（a，2a+1），△PTB为等腰直角三角形， 过点P作PH⊥y轴于H，由题意可得：TP＝BT，∠BTP＝90°．∵∠PHT＝∠BOT＝∠BTP＝90°， ∴∠BTO+∠PTH＝90°，∠PTH+∠TPH＝90°．∴∠TPH＝∠BTO． 在△BOT和△THP中，，∴△BOT≌△THP（AAS）． ∴PH＝TO＝﹣a，TH＝OB＝2．∴﹣2a+1＝2﹣a，解得a＝﹣1． 图1图2 在图2中，A、P为和谐点，设P（a，2a+1），△PTA为等腰直角三角形，过点P作PH⊥y轴于H， 由题意可得：TP＝AT，∠ATP＝90°．∵∠THP＝∠TOA＝∠ATP＝90°， ∴∠ATO+∠PTH＝90°，∠PTH+∠TPH＝90°．∴∠ATO＝∠TPH． 在△AOT和△THP中，，∴△AOT≌△THP（AAS）． ∴PH＝TO＝﹣a，TH＝OA＝1．∴﹣a＝1+1+2a，解得．综上所述：．故选：B． 【点评】本题属于几何变换的题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转后线段长度不变，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 二．填空题（共4小题） 5．【解答】解：a＜0，1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，∴|t﹣3|≤|t﹣2|， ①当t≥3时，∴t﹣3≤t﹣2，∴当t≥3时，|t﹣3|≤|t﹣2|，始终有y1＜y2． ②当2≤t＜3时，∴3﹣t≤t﹣2，∴t≥2.5，∴当2.5≤t＜3时，|t﹣3|≤|t﹣2|，始终有y1＜y2， ③当t＜2时，∴3﹣t≤2﹣t，∴3＜2，∴|t﹣3|≤|t﹣2|不成立． 所以a＜0，1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，则t≥2.5．故答案为：t≥2.5． 【点评】本题考查了二次函数的增减性．关键是掌握a＜0，图象上离对称轴越近的点的纵坐标越大． 6．【解答】解：连接AC，作GM⊥AC，连接AG， ∵GO⊥AB，∴OA＝OB， ∵G（0，1）为圆心，半径为2， ∴AG＝2，OG＝1， 在Rt△AGO中，AG＝2OG，OA， ∴∠GAO＝30°，∠AGO＝60°， ∵GC＝GA＝2，∴∠ACG＝∠CAG， ∵∠AGO＝∠ACG+∠CAG， ∴∠ACG＝∠CAG＝30°， ∴AC＝2OA＝2，MGCG＝1， ∴AM，∵CF⊥AE，∴点F在以AC为直径的圆M上移动， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FG＝FM﹣MG1，故答案为：1． 【点评】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA， 由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC，∠AB′C＝∠B＝90°，∴∠B′AC＝∠DCA，∴GA＝GC， 由翻折可知：B′A＝BA＝4，B′C＝BC＝B′C′＝3，∴B′A＝CD＝4，∴B′G＝DG， 设B′G＝DG＝x，∴CG＝CD﹣DG＝4﹣x， 在Rt△B′CG中，根据勾股定理得：B′G2+B′C2＝CG2， ∴x2+32＝（4﹣x）2，∴x2+9＝16﹣8x+x2，∴8x＝7，∴，∴， ∴AG＝CG＝4﹣x，∵∠DAG＝∠B′AF，∠ADG＝∠AB′F＝90°， ∴△ADG∽△AB′F，∴，∴，∴， ∴， ∵∠CFD＝∠AFB′，∠CDF＝∠AB′F＝90°，CD＝AB′， ∴△CDF≌△AB′F（AAS），∴，∵C′E⊥AD，CD⊥AD，∴C′E∥CD， ∴△C′EF∽△CDF，∴，∴，∴， ∴，∴， ∵C′E∥DM，∴△ADM∽△AEC′，∴，∴， ∴DM，故答案为：． 【点评】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 8．【解答】解：由条件可得y＝﹣x2+3x﹣1， ∴； ∴当时，2x+y有最大值为；故答案为：． 【点评】本题考查二次函数求最值，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共12小题） 9．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0），在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，∴CB＝CD， ∵CE⊥BD，∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4），∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8，∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24，解得k＝16，∴k的值为16． 【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数和一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用等，解题的关键是用方字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 10．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点B（m，4）， ∴4，解得：m＝﹣1，∴B（﹣1，4）， 设直线l的函数关系式为y＝kx+b，把A（1，0），B（﹣1，4）代入， 得：，解得：，∴直线l的函数关系式为y＝﹣2x+2； （2）由得：﹣x，解得：x＝±2，∵x＜0，∴x＝﹣2，y＝2，∴点C坐标为（﹣2，2）． 由得：，∴D（2，﹣2）．∴S△OADOA•|yD|1×2＝1， 设M（m，﹣2m+2），过点C作CF∥y轴，交直线l于点F，如图1，则F（﹣2，6）， ∴CF＝6﹣2＝4，当点M在直线CF的右侧时，则S△BCM＝S△CFM﹣S△CBF CF×（xM﹣xC）CF×（xB﹣xC）4×（m+2）4×（﹣1+2）＝2m+2， ∵S△BCM＝3S△OAD，∴2m+2＝3，解得：m，∴M（，1）； 当点M在直线CF的左侧时，则S△BCM＝S△CFM+S△CBF CF×（xC﹣xM）CF×（xB﹣xC）4×（﹣2﹣m）4×（﹣1+2）＝﹣2m﹣2， ∵S△BCM＝3S△OAD，∴﹣2m﹣2＝3，解得：m，∴M（，7）； 综上所述，点M的坐标为（，1）或（，7）； 图1图2 （3）设P（0，n），如图2，过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHO＝∠AHD＝90°， ∵直线CD的解析式为y＝﹣x，∴∠AOD＝45°，∴△OAH是等腰直角三角形， ∴AH＝OHOA，∵OD2，∴DH＝OD﹣OH＝2， ∵DE⊥y轴，∴E（0，﹣2），∠DEP＝90°，∴DE＝2，PE＝|﹣2﹣n|， ∵∠DEP＝∠DHA＝90°，∠PDE＝∠ODA，∴△DPE∽△DAH， ∴，即，解得：n或， ∴所有符合条件P点的坐标为（0，）或（0，）． 【点评】本题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质，三角形相似的性质是解题的关键． 11．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°， ∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE 中，，∴； （2）①如图，过点C 作CG⊥DE，垂足为G， ∵△CDG 中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，， ∴，CG＝CD•sin∠CDE＝6cm， ∵△CGA中，∠CGA＝90°，，CG＝6cm， ∴，∴； ②AB⊥DE，理由如下： ∵在 Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°， 又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AB⊥DE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 12．【解答】（1）证明：∵将△BCE沿BE翻折到△BGE处，四边形ABCD是正方形， ∴BC＝BG，∠BGE＝∠C＝90°，∴∠BGH＝90°＝∠A， ∵BA＝BC＝BG，BH＝BH，∴Rt△ABH≌Rt△GBH（HL）． （2）解：过点G作GK⊥BC于点K，如图1， 则∠BKG＝∠CKG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BCD＝∠D＝90°， ∴∠BCD＝∠D＝∠CKG＝90°，∴四边形CDGK是矩形，∴GK＝CD＝AB， 由翻折得：BG＝BC，∠EBG＝∠EBC，∵BC＝2AB，∴BG＝2GK， ∴∠CBG＝30°，∴∠CBE∠CBG＝15°． 图1图2图3 （3）解：①当点G落在CD边上时，如图2，∵∠C＝60°，FC＝FG， ∴△CFG是等边三角形，∴CF＝CG＝CD﹣DG＝6﹣2＝4； ②当点G落在AD边上时，如图3，过点D作DM⊥BC于点M，过点G作GN⊥BC于点N， ∵∠C＝60°，DM⊥BC，∴∠CDM＝90°﹣60°＝30°，∴CMCD＝3， ∴DM3，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC， ∵DM⊥BC，GN⊥BC，∴DM∥GN，∴四边形DMNG是平行四边形， ∴MN＝DG＝2，GN＝DM＝3，由翻折得：CF＝GF， 设CF＝GF＝x，则FN＝CF﹣CM﹣MN＝x﹣2﹣3＝x﹣5， 在Rt△FGN中，FN2+GN2＝FG2，∴（x﹣5）2+（3）2＝x2，解得：x，∴CF． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 13．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC， ∵∠C＝∠BAD，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，∴BC为⊙O的切线． （2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，∴DF∥AB， ∵∠ABD＝∠AED，AB，∴sin∠ABD＝sin∠AED， ∴ADAB1，∴BD3， ∵∠BDF＝∠ABD，∴sin∠BDF＝sin∠ABD，∴BFBD3， ∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝2BF＝2，∴BE的长是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 第13题第14题 14．【解答】（1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠BDC， ∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BOC＝∠ABD，∴OC∥BD， ∵CE⊥DB，交BD的延长线于点E，∴∠E＝90°，∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC于点C，∴CE是⊙O的切线． （2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC，∴tan∠BAC＝tan∠BDC，∵BC＝4，∴AC＝2BC＝8， ∴AB4，∴OBAB＝2，∴⊙O的半径长为2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，∴AC50m， ∵D为AC中点，∴CD25m，∵BC+CD＝30+25＝55m， ∴机器人乙运动的路线长为55m，故答案为：55； （2）根据题意，得v210，∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点， ∴BD＝CD＝AD＝25，∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C， ∴sin∠ABD＝sin∠BAC，， 当点Q在BC上时，，∴8t1＝16，解得t1＝2， 当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H（如图）， 则， ∵∠CDB＝∠ADH，∴sin∠CDB＝sin∠ADH， ∴， ∴，解得， ∴； （3）当t＝5.5时，d1＝7.5，此时，，∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5， ∴，∴， 当点Q在BC上时，由d1＝d2，得24﹣3t＝8t，解得， 当点Q在CD上时，由d1＝d2，得，解得，∴或． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10（cm），∴BC：AB：AC＝3：4：5， ∵D为AC的中点，∴BD＝CD＝ADAC10＝5（cm），∴∠ACB＝∠DBC，∠DBA＝∠A， ∵AP＝BQ＝t，∴CQ＝6﹣t，BP＝8﹣t． （1）当△ADP是直角三角形，且∠APD＝90°时，如图1， ∵BD＝AD，PD⊥AB，∴AP＝BPAB＝4（cm），∴t＝4； 当△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°时，如图2， ∵cosA，∴AP5，∴t，∵6，∴t不符合题意，舍去， 综上所述，当t＝4时，△ADP是直角三角形． （2）如图3，作FK⊥AB于点K，FH⊥BC于点H，QG⊥AC于点G， ∵QF∥AC，∴∠FQB＝∠ACB＝∠DBC，∴QF＝BF，∴BH＝QHBQt， ∵∠FKB＝∠FHB＝∠KBH＝90°，∴四边形BKFH为矩形，∴FK＝BHt， ∵tan∠DBC＝tan∠ACB，∴FHtt，∵∠CGQ＝90°，∴sin∠ACB， ∴QG（6﹣t），∴S△ABF8t＝2t，S△BQFttt2，S△DCQ5（6﹣t） ＝12﹣2t，∴S＝S四边形AFQD＝S△ABC﹣S△ABF﹣S△BQF﹣S△DCQ8×6﹣2tt2﹣（12﹣2t）t2+12， ∴St2+12（0＜t＜6）． （3）∵S四边形AFQD＝S△ABF，∴t2+12＝2t，解得t＝33，t＝﹣33（不符合题意，舍去）， ∴当t＝33时，四边形AFQD的面积与△ABF的面积相等． （4）存在． 如图4，作CR⊥BD于点R，PT⊥BD于点T，则∠CRD＝∠CRB＝∠PTD＝90°， ∵sin∠DBC＝sin∠ACB，cos∠DBC＝cos∠ACB， ∴CR6，R6，∴DR＝5，∵∠BDP＝∠BDC， ∴tan∠BDP＝tan∠BDC，设DT＝7m，则PT＝24m， ∵tan∠DBA＝tanA，∴BT24m＝32m，∴7m+32m＝5，解得m， ∵sin∠DBA＝sinA，∴BP24m＝40m＝40，∴8﹣t，解得t， ∴当t时，BD平分∠CDP． 【点评】此题重点考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角函数、解直角三角形，以及根据几何图形的面积求函数关系式、数形结合与分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．故点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b，故解得， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3． （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中， 可得，， ∴， 配方得．故当时，y1+2y2的最大值为10． 故不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一得． 当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0． ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0，∴方程没有实数根．∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）． ∵点N坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0）， 点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|． ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°．∴PN∥BC，∴△MDE∽△MNP． ∴，∴，即MD＝ND．∵MM′∥NN′，∴△MM′D∽△NN′D． ∴，即MM′＝NN′，∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）．∴，即m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2， 解得或或m（此时P与M重合，舍去），故或． 【点评】本题考查了待定系数求函数解析式，二次函数的最值，根的判别式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 18．【解答】解：（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴a，∴y，与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴yx﹣3； 过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，设H（x，x﹣3），D（x，x2x﹣3）， ∴DH＝|x2﹣3x|，∵S△ABC，∴S△DBC6，∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6， ∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；∴D点的横坐标为2+2，2﹣2，2； （3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G， 设M（m，m2m﹣3），N（n，n2n﹣3），则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3）， ∴MEm2+3m，NFn2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形， ∴ME＝NF，∴m2+3mn2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC， ∴cos∠NMG＝cos∠OBC，∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3， 在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN（n﹣m）（4﹣2m）＝5m， ∴ME+MNm2+3m+5m（m）2， ∵0，∴当m时，ME+MN有最大值，∴M（，） 【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题； 19．【解答】（1）证明：连接CD．∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ACD，∴∠DAF+∠DAC＝90°， ∴∠FAC＝90°，∴AF为⊙O的切线． （2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，∴AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠AED， ∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ADO，∴∠ADO＝∠AED，∵∠OAD＝∠DAE，∴△ADO∽△AED， ∴，∴AD2＝AO•AE． （3）解：过点B作BJ⊥EC于J．∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴sin∠BAC， ∴可以假设BC＝a，AC＝3a，∵BJ⊥AC，∴∠AJB＝90°， ∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，∴∠CBJ＝∠BAC， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $