2026年中考数学二轮专题提高训练-数与式--新定义问题和规律探究题

**基本信息** 聚焦数与式的新定义问题和规律探究，通过观察归纳、周期分析、定义转化等方法构建系统性解题体系，强化从具体到抽象的规律生成逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |规律探究（数式）|10题|观察系数/指数/符号变化，归纳通项公式，周期循环分析|从具体代数式/等式到抽象规律，建立数式特征与通项的推导关系| |规律探究（图形）|4题|图形结构拆解，数量关系转化，递推公式构建|图形变化与代数表达式的对应，培养几何直观与空间观念| |新定义运算|5题|定义内涵转化，规则迁移应用，多步推理验证|新运算规则的数学化表达，发展数学抽象与模型意识|

2026年中考数学二轮专题提高训练-数与式--新定义问题和规律探究题 一、单选题 1．观察下列按一定规律排列的代数式：2，，，，，….第个代数式为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列式子： 则第n个式子为（    ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 6．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 7．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 8．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 9．已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 10．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 11．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 12． 若定义：，则代数式的最小值为______． 13．阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：_____．填9． ②如果正数m的平方等于a，则m是a算术平方根，如求9的算术平方根：____．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和幂，通过逆运算可以求指数．如：，____．填2； 再比如：，_____．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”：，求x，记作：．理解以上内容后计算______． 14．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为__________（用含n的式子表示）．    15．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 16．若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______． 17．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是__________个． 三、解答题 18．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 19．在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别 代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： (1)计算经过的顺序所得式子的运算结果； (2)若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由． 20．淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 21．数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论：，为此，他们继续探究3的倍数的和问题，得到如下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)用含的等式表示第个等式，并验证； (3)记第个等式的和为，数学兴趣小组发现，求的值． 22．在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， …… … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤． (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． (3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 参考答案 1．C 【分析】把2化为，即可发现规律即可求解． 【详解】∵2= ∴，，，，，…. 则第个代数式为 故选C． 【点睛】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是发现代数式的变化特点． 2．B 【分析】本题考查数字规律问题，观察式子找到规律是解题的关键． 【详解】解：观察式子， ， ， ， ， ……， 第个式子为 ， 故选: B． 3．A 【分析】此题考查了与代数式有关的规律探索，观察代数式的系数和指数规律，进行解答便可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴代数式的系数是，的指数是， ∴第n个代数式为：， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， …… 依此类推，第n个多项式为． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查寻找单项式的规律，包括系数符号、系数绝对值的变化规律，以及未知数的指数变化规律；先观察单项式的系数和次数的规律，得出系数的规律是，次数的规律是，再根据规律写出第n个单项式即可． 【详解】解：∵单项式的系数分别是，，，，，．．．，， 次数的规律是从1开始的连续的奇数，即1，3，5，7，9，…，， ∴第n个单项式是：， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了数字类规律探究，通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，然后由即可求解． 【详解】解：因为，，，，，，，，…， 通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环， 所以， 所以末位数字是2． 故选A． 7．D 【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 8．C 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 10．B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 11．C 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 12．/0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 13．5 【分析】本题主要考查幂的运算，根据材料内容进行解答即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：5． 14．/ 【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可． 【详解】解：当时，有个三角形； 当时，有个三角形； 当时，有个三角形； 第n个图案有个三角形， 每个三角形用三根， 故第n个图案需要火柴棍的根数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 15． 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 16．/ 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为是“共生数对”， 所以， 解得． 故答案为： 17．28 【分析】本题考查了图形类规律题，找出规律是解题的关键． 根据氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷有4个氢原子，， 乙烷有6个氢原子，， 丙烷有8个氢原子， ， 以此类推，则十三烷的分子结构模型中氢原子的个数：， 故答案为：28． 18．(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 19．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）依题意得到，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意经过的顺序所得式子的运算结果为； （2）证明：依题意得，，， 无论取何值时，的值均为非负数． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键． （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可； （3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：由题意得，，解得， ∴； （3）解：由题意得，， ； ∵得到的的值比值小， ∴， 解得． 21．(1) (2)，证明见解析 (3)674 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）仿照题意写出第5个等式即可； （2）根据题意可得，第个等式可以表示为，再根据题中的结论即可得到结论，再证明结论即可； （3），再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：根据题意可知第个等式为，证明如下： ∵， ∴ ， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1)详见解析 (2)，，证明见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可； （2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （3）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【详解】（1）解：剩余步骤为：， ∴， ∴； （2）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （3）解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $