精品解析：山西现代双语学校等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷

山西现代双语学校联校高一年级五月份考试卷 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. 12cm B. 16cm C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ） A. 圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B. 圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 C. 圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 D. 圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 11. 已知平面内三个向量，，满足，且 ，，给出下列四个结论：其中正确的是（ ） A. 若，则射线OC平分； B. 若，则的最小值为； C. 若，，则面积是面积的4倍； D. 若，，设点C到OA所在直线的距离为d，则d的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 13. 已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 14. 在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 16. 如图，在平面四边形中，，. （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积. 17. 如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． （1）求证：四点共面； （2）设与交于点，求证：三点共线． 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校联校高一年级五月份考试卷 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以z的虚部为. 2. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 3. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 4. 如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. 12cm B. 16cm C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过斜二测画法原则，通过直观图可作出原图形图像，然后计算边长即可. 【详解】在直观图中，， 则在原图形中，所以， 即原图形的周长为16. 故选：B. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状 【详解】移项得，可化为 ， 展开得， 整理得，又，所以，即，则为直角三角形. 故选：B． 6. 已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，即， 由，所以， 因为，则， 所以，而，则，且， 所以，则得. 7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】如图，设半球的球心为，半径为，连接， 由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，， 在中，，得到， 故半球的体积为， 故选：A. 8. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10. 圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ） A. 圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B. 圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 C. 圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 D. 圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，再利用即可得到ABD，圆柱内接圆锥半径圆柱底面半径，高等于圆柱的高即可得到C. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A正确； 圆柱的表面积为，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确； 圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误； 圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以，D正确. 故选：. 11. 已知平面内三个向量，，满足，且 ，，给出下列四个结论：其中正确的是（ ） A. 若，则射线OC平分； B. 若，则的最小值为； C. 若，，则面积是面积的4倍； D. 若，，设点C到OA所在直线的距离为d，则d的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则， 因为，故为等腰三角形，取为的中点， 则，而平分，故平分，故A正确； 对于B，若，则， 所以 ， 当时，，故，故B错误； 对于C，若，则,取， 以为邻边做平行四边形,则， 由于，故到直线的距离为到直线距离的4倍， 故面积是面积的4倍，故C正确； 对于D，取，则， 由可得， 因为，故在直线上， 取的中点，过作的平行线交于，过作的平行线交于， 则，， 因为，故在线段上（如图所示）， 故到的距离为，到的距离为， 故的取值范围为，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角公式，可得m的范围，求出当时，m的值，分析即可得答案. 【详解】由与夹角为钝角，得， 解得， 当时，可得，解得，不在范围内， 所以实数的取值范围为 13. 已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【解析】 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 14. 在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算列出方程，解之即可求解； （2）根据向量垂直的坐标运算先求出，再利用向量坐标的线性运算求出，分别求出两向量的模，代入向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，又， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， ， 所以向量与夹角的余弦值为， 又由，可得. 16. 如图，在平面四边形中，，. （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的长，然后利用正弦定理可求得的值； （2）利用余弦定理结合可求出的长，即可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得. 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 则余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 17. 如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． （1）求证：四点共面； （2）设与交于点，求证：三点共线． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【小问1详解】 证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． 【小问2详解】 ∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可得解； （2）由正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的值域问题，计算即可得； （3）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 由，可得, ， , ，又，则, ，又， . 【小问2详解】 由（1），由正弦定理得，， ， 因为为锐角三角形，所以， ，则， ， 所以的周长范围为. 【小问3详解】 由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即， 解得或（舍去）， 所以. 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）①利用正弦定理可计算出，再分别在、中，使用正弦定理并作商即可得；②结合费马点定义可得，再利用等面积法计算可得，再利用正弦定理可用表示，结合锐角三角形性质可求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 根据正弦定理，有， 即， 又因为， 所以 ， 即， 即， 因为三角形中，则有， 即，所以， 又，所以，则； 【小问2详解】 因为，所以和均小于， 又为费马点，则有， （ⅰ）在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，由正弦定理得 ， 在中，， 由正弦定理得 ， ①②两式相除得，化简得， 所以； （ⅱ） ， 由， 得， 整理得， 因为， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 则，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $