山西太原师范学院附属中学2025-2026学年高一年级第二学期期中学业诊断数学试题

2025~2026学年第二学期高一年级期中学业诊断 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 化简等于（ ）． A. B. C. D. 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 6. 的内角所对的边分别为，已知角满足：，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 8. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 对任意向量，都有 B. 若，则和的夹角为 C. 已知，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知向量起点重合，，则的最大值为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ___________． 13. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角所对的边分别为.设点为的费马点，且满足，则的面积为______. 14. 在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数. （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 16. 已知中，角所对的边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）求的值. 17. 如图，在菱形中，若. （1）若，求的值； （2）求以及的值； （3）若与交于点，用向量基底法求的值. 18. 2026年4月20日，太原师范学院附属中学“青春附中杯”第一届班级足球超级联赛正式启幕，师生齐聚绿茵场，共赴这场以青春为名､以足球为媒的体育盛会.如图1为操场的足球门，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，为的中点，在上且. （1）求证：四点共面； （2）求直四棱柱的表面积； （3）求三棱锥外接球的体积. 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为. （1）用”三斜求积"公式证明； （2）若，且，求面积的最大值； （3）定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值. 提示：. 2025~2026学年第二学期高一年级期中学业诊断 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） ， 又，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以，所以四点共面. （2）76 （3） 【19题答案】 【答案】（1） 由余弦定理得，所以， 所以 . （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $