山西太原师范学院附属中学2025-2026学年高一年级第二学期期中学业诊断数学试题

2025~2026学年第二学期高一年级期中学业诊断 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 化简等于（ ）． A. B. C. D. 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 6. 的内角所对的边分别为，已知角满足：，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 8. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 对任意向量，都有 B. 若，则和的夹角为 C. 已知，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知向量起点重合，，则的最大值为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ___________． 13. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角所对的边分别为.设点为的费马点，且满足，则的面积为______. 14. 在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数. （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 16. 已知中，角所对的边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）求的值. 17. 如图，在菱形中，若. （1）若，求的值； （2）求以及的值； （3）若与交于点，用向量基底法求的值. 18. 2026年4月20日，太原师范学院附属中学“青春附中杯”第一届班级足球超级联赛正式启幕，师生齐聚绿茵场，共赴这场以青春为名､以足球为媒的体育盛会.如图1为操场的足球门，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，为的中点，在上且. （1）求证：四点共面； （2）求直四棱柱的表面积； （3）求三棱锥外接球的体积. 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为. （1）用”三斜求积"公式证明； （2）若，且，求面积的最大值； （3）定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值. 提示：. 2025~2026学年第二学期高一年级期中学业诊断 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）76 （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $