精品解析：湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期期中质量监测试卷高一数学

2026年上学期期中质量监测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 2. 一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（  ） A. B. C. 8 D. 3. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为1 B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知平面向量，，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则 D. 若，则在方向上的投影向量是 11. 在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 13. 若复数满足，则的虚部为________. 14. 已知复数，在复平面内复数对应的向量分别为.若（其中表示不超过的最大整数，如：，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为120°， （1）求； （2）求与的夹角． 16. 已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. （1）求m的值； （2）求的值. 17. 如图，在平面四边形中，，. （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积. 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期中质量监测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】解题的关键在于先根据i的幂次规律化简，最后根据虚部的定义确定的虚部. 【详解】，故，故，虚部为0. 2. 一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（  ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，，， 因此， 所以对该物体所做的功为. 3. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 4. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到相关角的度数，结合正弦定理求解即可. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得，，， 在中， ， 在中，由，，，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 8. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为1 B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出复数，利用复数的实部，复数的模，共轭复数，复数在复平面内的点的定义一一求解. 【详解】，，则的实部为，故选项A错误； ，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选项D正确. 10. 已知平面向量，，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则 D. 若，则在方向上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B错误； 对于C，若与夹角为钝角，则且与不共线， 则，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 所以，，所以在方向上的投影向量是，故D正确. 11. 在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律计算判断A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD. 【详解】对于A，由为的重心，得， 则，A正确； 对于B，由余弦定理得，而为的外心， 由正弦定理得，B正确； 对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得 ，则，C错误； 对于D，当为的内心时，为的角平分线，故， 由，可得， 解得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形面积公式求的面积，进而根据的直观图的面积，可得答案． 【详解】已知原图是边长为2的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 13. 若复数满足，则的虚部为________. 【答案】 【解析】 【详解】方法1：设，则，，解得，，故虚部为1. 方法2：因为在复平面内表示以原点为圆心的单位圆， 同理，表示以点为圆心、半径为1的圆， 所以满足的点为两个圆的公共点，结合图形可知点的坐标为，故虚部为1. 14. 已知复数，在复平面内复数对应的向量分别为.若（其中表示不超过的最大整数，如：，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义及向量坐标运算求出的函数关系，再结合给定等式分类求得的范围，并利用正弦函数的性质求出范围. 【详解】依题意，，则， ， ，由，得， 而，当时，，无解； 当时，，则； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解， 因此，，，， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为120°， （1）求； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值. （2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，，且与的夹角为， 所以 所以 所以. 【小问2详解】 因为 ， 所以 因为， 所以与的夹角为. 16. 已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. （1）求m的值； （2）求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1） 应用纯虚数定义列式计算求解； （2）应用复数的乘方总结特征计算求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 则， 即， 所以或且，， 解得，所以m的值为3. 【小问2详解】 由（1）知，又，，，， 则（）， 所以 17. 如图，在平面四边形中，，. （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的长，然后利用正弦定理可求得的值； （2）利用余弦定理结合可求出的长，即可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得. 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 则余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 【答案】（1）该几何体的体积为，表面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）分别求题中的正四棱锥和正四棱柱的体积和表面积，再对应相加可得该几何体的体积与表面积； （2）将侧面和侧面展开，易知的最小值为点到线段上点的最小值，即展开图中的最小值.由已知条件，求出，从而求得，结合余弦定理，判断的最小值为点到的距离，并求得该距离. 【小问1详解】 由题可知，正四棱锥 中， 过点作，垂足为，则. 正四棱锥 的体积为， 侧面积为. 因为， 所以正四棱柱 的体积为， 去掉上底面的表面积为. 所以该几何体的体积为，表面积为. 【小问2详解】 如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段上点的最小值. 由题可知，. 过点作，垂足为，则， 因为正方形中，，所以. 所以，所以，所以. 因为，. 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点到的距离. 所以. 即的最小值为． 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）①利用正弦定理可计算出，再分别在、中，使用正弦定理并作商即可得；②结合费马点定义可得，再利用等面积法计算可得，再利用正弦定理可用表示，结合锐角三角形性质可求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 根据正弦定理，有， 即， 又因为， 所以， 即， 即， 因为三角形中，则有， 即，所以， 又，所以，则； 【小问2详解】 因为，所以和均小于， 又为费马点，则有， （ⅰ）在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，由正弦定理得， 在中，， 由正弦定理得， ①②两式相除得，化简得， 所以； （ⅱ） ， 由， 得， 整理得， 因为， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 则，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $