精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知 或, 所以. 2. 多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合欧拉公式列出方程组，求解方程组即得. 【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为， 依题意，，消去得， 所以. 故选：C 3. 如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，化简得，故. 故选:C 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题. 4. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 5. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF不平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得出平面，进而得出，可判定A错误；取的中点，连接，利用线面平行的判定定理，得到平面，可判定B错误；连接，延长交于点，得到截面即为梯形，求得梯形的面积，可判定C正确；记点与点到平面的距离分别为，根据体积公式列出方程，得到，可判定D错误. 【详解】对于A中，若， 因为且，所以平面， 所以，所以，此时不成立，所以A错误； 对于B中，如图所示，取的中点，连接， 由条件可知：，且, 所以平面平面， 又因为平面，所以平面，所以B错误； 对于C中，如图所示，连接，延长交于点， 因为为的中点，所以，所以四点共面， 所以截面即为梯形， 又因为, 所以, 所以梯形，所以C正确. 对于D中，记点与点到平面的距离分别为， 因为, 又因为, 所以，所以D错误. 故选：C. 6. 已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求，再由正弦函数的性质求. 【详解】因为图象的两相邻对称轴之间的距离为，所以最小正周期， 则，所以 因为为偶函数， 所以，， 所以，.因为， 所以. 故选：B. 7. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算化简已知等式，再由共轭复数和复数的关系求出共轭复数的模长即可. 【详解】由已知可得， 所以， 所以， 故选：A. 8. 在平面直角坐标系下，轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为，若向量，，下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的投影为3 B. 在轴上的投影为4 C. 在上的投影为0 D. 在轴上的投影为 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则在轴上的投影为，故A错误； 对于B，，则在轴上的投影为6，故B错误； 对于C，因为， 所以在上的投影为0，故C正确； 对于D，在轴上的投影为，故D错误. 二、多选题 9. 若复数z满足，则（ ） A. B. z的虚部是 C. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再逐项计算判断即可. 【详解】依题意，， 因此，的虚部是，复数z在复平面内对应的点在第四象限，AB正确，C错误； 复平面内的点到原点距离，因此，D错误. 故选：AB 10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C. （其中和的取值使各项都有意义） D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定定义，将转化为，结合余弦函数及性质、余弦定理逐项分析计算即得. 【详解】依题意，，当时，， 对于A，，A正确； 对于B，函数，的最小正周期为，其图象的对称轴为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：AC 11. 设函数则下列说法正确的有（ ） A. 方程的实根之和为 B. 函数的值域为 C. 当时，方程只有1个实根 D. 若方程有5个实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象结合方程的根计算判断A，结合图象的值域判断B，C，分类讨论结合函数图象计算判断D. 【详解】函数， 作出函数的图象，如图： 对于A，令，则由图可知有三个实数根， 其中，则，又，所以方程的实数根之和为，故A正确； 对于B，由图可知，，因为，因此函数值域为，故B错误； 对于C，令，则解得或2， 则当时，方程有2个不等实根，则有只有1个实根； 无实根，所以当时，方程只有1个实根，故C正确； 对于D，令，则， 令得，解得或， 因为函数的值域为，讨论如下： 当时，由C知只有1个实根，不符合题意； 当时，方程有3个不等实根，且由图象可知，则方程有1个实根， ，方程有2个实根，，方程无实根，所以只有3个实根，不符； 当时，方程有2个不等实根， 且由图象可知且， 由图象可知仅当且时，有3个实根，有2个实根，即有5个实根，此时； 当时，方程有唯一解只有3个实根，不符，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再利用投影向量的定义直接计算作答. 【详解】向量，，则，， ∴向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设，得到且，，在中，利用余弦定理列出方程，求得，再由，得到,在直角中，求得，得到，再由椭圆的定义，得到，即可求得椭圆的离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义，可得，， 在中，由余弦定理得， 可得， 整理得，解得， 所以，，则，所以, 在直角中，可得， 即，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 14. 已知函数，，且函数图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象．若关于x的方程在上有两个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，确定函数的最小正周期，求出函数解析式，再利用正弦函数的性质求出递增区间. （2）利用函数图象变换求出，再利用换元法并作出函数在指定区间上的图象，数形结合求出范围. 【小问1详解】 由图象的相邻对称轴之间的距离为，得的最小正周期为， 则，解得，于是， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到函数的图象，再向左平移个单位得的图象， 令，，则，， 于是在上的图象与直线有两个交点， 作出函数在上的图象，如图， 当且仅当时，方程在上有两个解， 所以实数m的取值范围． 15. 已知的面积为，且且. （1）求角的大小； （2）设为的中点，且，求线段的长度. （3）在满足（2）的条件下，若的平分线交于，求线段的长度. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，，相除可求，再结合角的范围即可求解； （2）结合向量中点公式可得，由（1）可得，求，利用余弦定理求； （3）结合面积公式证明，由此可求，利用余弦定理求． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， ∴， 又，∴. 【小问2详解】 如下图所示： 在中，为中线，∴， ∴ 而，∴. 由（1）知：， 所以， 又， ∴，， 由余弦定理可得：， 所以， 【小问3详解】 因为， ， 又， ∴，又， 所以 又，∴， 在中，有： ， 所以. 16. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示． （1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ （2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 【答案】（1）千米 （2）时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到,，，利用两角差的余弦得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据面积公式得到，，从而得到，再利用三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 连接，如图所示： 因为,，则. 又因为为等腰直角三角形，为直角，所以, 所以，. . , 所以千米. 【小问2详解】 ， ，所以. . 所以. 当时，即，时，. 17. 设函数的定义域为，对任意实数，有，且 （1）求证：； （2）若时，，求证：在上单调递减. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先可得，然后分别令、可证明； （2）令可得，然后结合条件和单调性的定义可证明. 【小问1详解】 令，可得， 由，解得， 令可得， 化简得， 令可得 所以， 综上，； 【小问2详解】 因为，所以时， 又因为，所以时，时， 任取， 令可得， 因为， 所以 所以上式可化为，所以函数在上单调递减. 18. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. （1）求； （2）若， （i）求； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）4 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，再根据向量数量积的定义计算即可； （2）（i）根据圆的性质和向量的垂直关系求解即可； （ii）先求得，再结合圆的性质和行了模的计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：因为为弦的中点，所以且， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 （i）因为，，， 所以，所以. （ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 由， ， 所以 所以． 19. 已知函数（）. （1）若对一切实数x都成立，求k的取值范围； （2）若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先对二次项系数进行讨论，只有当时与当且时才能恒成立，进而求得结果. （2）分析得出只有当开口向下且，才能满足题意，求解即可. 【小问1详解】 当时，显然成立； 当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方，即， 得； 当时，二次函数的图象开口向上， 一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. 【小问2详解】 易知函数的对称轴为直线，且， 函数在区间上有两个不相等的零点，须函数开口向下，所以， 且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 又结合二次函数的图象与性质以及零点存在性定理， 需要满足在区间的最大值大于0，即，且即可， 即，解得， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则等于 A. B. C. D. 2. 多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 3. 如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 4. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF不平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 6. 已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 在平面直角坐标系下，轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为，若向量，，下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的投影为3 B. 在轴上的投影为4 C. 在上的投影为0 D. 在轴上的投影为 二、多选题 9. 若复数z满足，则（ ） A. B. z的虚部是 C. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C. （其中和的取值使各项都有意义） D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 11. 设函数则下列说法正确的有（ ） A. 方程的实根之和为 B. 函数的值域为 C. 当时，方程只有1个实根 D. 若方程有5个实根，则 三、填空题 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________． 13. 设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为___________ 四、解答题 14. 已知函数，，且函数图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象．若关于x的方程在上有两个解，求实数m的取值范围． 15. 已知的面积为，且且. （1）求角的大小； （2）设为的中点，且，求线段的长度. （3）在满足（2）的条件下，若的平分线交于，求线段的长度. 16. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示． （1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ （2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 17. 设函数的定义域为，对任意实数，有，且 （1）求证：； （2）若时，，求证：在上单调递减. 18. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. （1）求； （2）若， （i）求； （ii）求的取值范围. 19. 已知函数（）. （1）若对一切实数x都成立，求k的取值范围； （2）若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $