精品解析：湖南省长沙市浏阳市重点校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷

湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一（下） 期中数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边上有一点，则的值为( ) A. 3 B. C. 1 D. 4. 设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A B. C. D. 5. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱的轴截面为正方形，为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，均为单位向量，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 以下结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 10. 以下命题正确的是（ ） A. B. C. 若复数z满足，则z对应的点在第四象限 D. 是复数（、）为纯虚数的必要不充分条件 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有一解 C. 已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有， D. 若为斜三角形，则 12. 如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 异面直线与所成的角为 C. 当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值 D. 平面平面 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知向量与夹角为，，，则_______． 14. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.（结果用坐标表示） 15. 已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是___________． 16. 如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是____________ 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的面积为，求b． 18. 已知向量，. （1）若向量，且，求的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值. 19. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为. （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 20. 如图，有一直径为8米半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且． （1）若，求的长； （2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 21. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22. 如图，三棱台中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一（下） 期中数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】，所以. 故选：B 2. 已知复数，则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算求出，结合虚部的概念即可得出结果. 【详解】∵， ∴z的虚部为. 故选：B. 3. 已知角的终边上有一点，则的值为( ) A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的值，然后将所求的式子利用诱导公式进行化简，然后可得答案. 【详解】依题意得，则， 故选：B. 4. 设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可； 【详解】解：对于A：，a与b可能平行或异面； 对于B：，可得； 对于C：，，a与b可能平行，相交或异面； 对于D：，可得； 故选：D． 5. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：D. 6. 已知圆柱的轴截面为正方形，为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱中的垂直关系,可求出,，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为,则圆柱的高为，在直角三角形中，为上底面圆弧的中点，故, 在直角三角形中,,同理可知 所以在中， 因为,所以为异面直线与所成角，故余弦值为. 故选:A 7. 已知，，均为单位向量，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，可得出，可计算出的值，同理求得，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由于、、均为单位向量，则， 由可得，所以， 即，所以， 由，可得，所以， 即，所以， 由，可得，所以， 即，所以， 则 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8. 如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 【详解】设的中点为，的中点为，则，，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的数量积，通过利用三角函数的性质以及向量的坐标和数量积公式. 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 以下结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直棱柱的定义可判断A选项；利用柱体的体积可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用棱台的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，A对； 对于B选项，根据柱体体积公式可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等，B对； 对于C选项，如在圆锥中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形， 设截面为，设为底面圆的一条直径， 若为钝角，当时，截面三角形的面积最大，C错； 对于D选项，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，只有当侧棱的延长线交于一点，这样的几何体才是棱台， 但D选项中几何体侧棱的延长线并不一定会交于一点，故几何体不一定为棱台，D错. 故选：AB. 10. 以下命题正确的是（ ） A. B. C. 若复数z满足，则z对应的点在第四象限 D. 是复数（、）为纯虚数的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于两个虚数不能比较大，从而可判断，对于B，直接计算判断，对于C，先求出复数z对应的点，然后再判断其所在的象限，对于D，利用充分条件和必要条件的定义结合复数的概念判断即可 【详解】对于A，因为两个虚数不能比较大，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C， 复数在复平面内对应的点为，在第二象限，所以C错误， 对于D，当时，不一定是纯虚数，而当是纯虚数时，一定成立，所以是复数（、）为纯虚数的必要不充分条件，所以D正确， 故选：BD 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有一解 C. 已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有， D. 若为斜三角形，则 【答案】AD 【解析】 分析】根据正弦定理即可判断A、B选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将B项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入D项中计算即可. 【详解】在三角形中，当，则，即，整理可得，故A正确； 由正弦定理得，又因为，所以有两解，B错误； 因为的外接圆的圆心为，所以， 同理可得， 又因为， 所以，故C错误； 因为，得，且为斜三角形， 则 ， 所以，故D正确； 故选：AD 12. 如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 异面直线与所成的角为 C. 当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，求出相关线段长度，利用勾股定理逆定理可判断形状，判断A；利用平移法可求得异面直线与所成的角，判断B；根据棱锥的体积公式可判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明方法可判断D. 【详解】对于A，设正方体的棱长为2，点是的中点，故; 平面平面，故， 则， 则，即，即是直角三角形，A正确； 对于B，在正方体中，点是的中点， 则直线DP即为直线，异面直线与所成的角即异面直线与所成的角， 由于，，故四边形为平行四边形， 所以，则即为异面直线与所成的角或其补角， 连接，则，即， 故异面直线与所成的角为，B正确； 对于C，设交于点O，则O为AC的中点，连接PO， 则PO为的中位线，故，平面，平面， 故平面， 当的长度为定值时，到平面的距离为定值，则Q到平面的距离为定值， 而的面积为定值，故为定值， 又三棱锥的体积，故三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则； 设平面的法向量为，则， 令，则； 则，即不垂直， 故平面和平面不垂直，D错误， 故选：ABC 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知向量与的夹角为，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律和定义可直接构造方程求得结果. 【详解】，. 故答案为：. 14. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.（结果用坐标表示） 【答案】. 【解析】 【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再根据投影向量定义计算向量 在向量 上的投影向量. 【详解】因为，则， 所以向量 在向量 上的投影向量为. 故答案为：. 15. 已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，分离参数可得，再由函数单调性可求t的取值范围. 【详解】，，， ， ∵在上递减，， ∴． 故答案为： 16. 如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是____________ 【答案】 【解析】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可． 【详解】侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q， 使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为． 故答案为． 【点睛】本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的面积为，求b． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求出结果； （2）利用面积公式和余弦定理即可求出结果. 小问1详解】 由题干条件可知，， 由正弦定理得， ∵，∴， ∴． ∵， ∴或． 【小问2详解】 ∵， ∴， 解得， ∴． 当时， 由余弦定理得， ∴． 又， ∴，则，与题干矛盾，舍去． 当时，由余弦定理得， ∴． 综上，． 18. 已知向量，. （1）若向量，且，求的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量的坐标． （2）由题意利用两个向量垂直的性质，代入模即可求出的值． 【详解】解：（1）设，因为，所以， 因为，所以，解得或， 所以或 （2）因为向量与互相垂直 所以，即， 而，，所以，， 因此，解得. 19. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为. （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积； （2）圆柱的高，，再由求出的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可. 【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示： 设，在半圆⊙A中，， 弧长， 这是圆锥的底面周长，所以， 所以， 故圆锥的底面积为； （2）设圆柱的高，， 在中，， ，所以， 即，， ， ， 所以，当，时，圆柱的侧面积最大， 此时. 【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径. 20. 如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且． （1）若，求的长； （2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 【答案】（1）1或3（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）在中,因为，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或 （2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用表示出，再利用三角函数求最值得 试题解析：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形， 因为，，所以，， 在中由余弦定理，且， 所以， 解得或， （2）因为，， 所以， 所以， 在中由正弦定理得： 所以， 在中，由正弦定理得： 所以， 若产生最大经济效益，则的面积最大， ， 因为，所以 所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大 考点：①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值 21. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，计算即可求出a； （2）利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得，设，，根据换元法和二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由函数为奇函数且定义为R，∵， 当时，可得，故， 则，得， 经检验，符合题意， 故； 【小问2详解】 由（1）可知，函数在上为减函数， 由， 得， 所以， 设，，则， 又函数图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为， 所以在上，， 所以，得， 故实数的取值范围. 22. 如图，在三棱台中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得面面垂直， （2）根据线面垂直得线面角的几何角，进而可得，根据线面垂直得线线垂直，即可由几何法求解二面角的平面角，由三角形的边角关系即可求解. 【小问1详解】 取中点为，连接, ∵，，所以,故,由三角形内角和可得, 故， 又∵,平面,为相交直线， ∴平面，平面,∴ 又∵,即,平面, ∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面 【小问2详解】 由（1）知直线与平面所成角为， ∴，由于,∴ 设平面和平面的交线为， 由于平面，平面，所以， 过点作于G， 又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面, ∴平面，平面，所以， 且, 再过点作于，连接， 平面，所以平面， 平面,故， ∵即为所求角, , ∵ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$