专题05 菱形（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

**基本信息** 江苏地区八年级下菱形专题期末试题汇编，覆盖5大高频考点，精选多地期末真题，注重性质判定综合应用与作图实践，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|13题|菱形性质（翻折、动点最值）、判定（与平行四边形结合）|基础巩固，结合几何变换（如旋转、折叠）| |解答题|9题|性质与判定综合（旋转、新定义）、作图（网格/尺规作图）|层次递进，含“等补四边形”等创新题型，贴近江苏期末命题趋势|

专题05 菱形 5大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质求解（小题） 考点02 利用菱形的性质证明或计算（大题） 考点03 菱形的判定 考点04 菱形的性质与判定综合运用 考点05 与菱形有关的作图问题 ( 江苏江苏 考点0 5 考点01 利用菱形的性质求解（小题） ) 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是    （       ） A．对角线相等 B．内角和等于 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有即可解答． 【详解】解：A：对角线相等，矩形的对角线相等是其固有性质，而菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等（除非是正方形），因此，矩形具有而菱形不一定具有该性质； B：内角和等于，所有四边形的内角和均为，矩形和菱形均满足，故排除； C：对边平行且相等，矩形和菱形均为平行四边形，均满足对边平行且相等，故排除； D：对角线互相垂直，菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅当为正方形时才垂直，普通矩形不满足，故排除； 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，E是的中点，连接，将沿着翻折，点B与点C正好重合，则等于（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，由翻折得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，，E是的中点， ∴， ∵将沿着翻折，点B与点C正好重合， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（　　） A． B． C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，由菱形的性质可知：，求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示： 由菱形的性质可知：， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，两点之间线段最短的知识，理解动点与线段最值的计算，菱形的性质是关键． 如图所示，连接，过点作延长线于点，当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 如图所示，连接，过点作延长线于点， 当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴菱形的边长为， 故选：D ． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长． 【详解】解：连接交于点，交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 由翻折性质得：， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 【答案】 【分析】在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点，证明为等边三角形，再证明，则，继而确定点G的轨迹是线段，然后解求出，再由勾股定理求出，可得当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， 则， ∴， ∴中，， ∵， ∴点在线段上运动， ∴当点与点重合时，最小为，当点与点重合时，最大为， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，先画图，求解，过作于，结合，得出为等腰直角三角形，可得答案． 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识． 首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，即可． 【详解】解：过P作于点N，交于点M， 由题意，， ∴， ∵点P是CE的中点， ∴， ∴， ∴， 则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上 过点D作于点F， 则此时点D和F关于直线l对称， 连交直线l于点H，连， 则， 当点P与点H重合时，的值最小， 由题意，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设与交于点，与交于点，根据菱形的性质得出，，，，确定是等边三角形，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 边长为的两个全等的菱形、菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 两个菱形重叠部分的面积四边形的面积， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为_________． 【答案】6 【分析】由菱形的性质得，根据，得是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再利用菱形面积即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是直角三角形， ， 菱形的面积， 故答案为：6． ( 江苏 考点0 2 利用菱形的性质证明或计算（大题） ) 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①垂直，见解析；②或 (3)或 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，，，，进而得到：，推出，，即可求解； （2）①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； （3）当时，点在的上方时，设延长线交于，则，可得出，，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，当点在下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ，， ， ； （2）①，理由如下： 如图1，由（1）知，， 菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形， ， ， ， 四边形和四边形是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得，， ， ，， 当时图中)， 同理可得，， ， 综上所述：或； （3）如图2， 当时，设延长线交于， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：的长为或． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2) 【分析】（）利用折叠的和矩形的性质证明，推导出四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）设，在中，由勾股定理求，在中，由勾股定理求出，再利用菱形面积求出即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形． 证明：由折叠得，，， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴折痕的长为． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． (1)如图1，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； (2)如图2，四边形为矩形，，点在边上，点为对角线的中点，连接并延长，交于点，连接．若四边形是奇特四边形，且为奇特线，求证：四边形为菱形； (3)如图3，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或或． 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）由可证四边形为平行四边形，由奇特四边形可得可证四边形为菱形 （3）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可 【详解】（1）证明：在矩形中， 为直角三角形， 由矩形的性质可知 是等腰三角形 四边形是奇特四边形 （2）证明：在矩形中， , 四边形为平行四边形 是奇特四边形， 是直角三角形，是等腰三角形， 四边形是菱形 （3）解：在菱形中， 为直角三角形 ①当时，如图作交于点， 为等腰三角形 ②如图，设底边的高为，当时， 解得 为底边的高 ③如图设底边的高为，时 解得 即为的高 故答案为：或或 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，平行四边形中，，过点C作，与的延长线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质，等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，再根据平行线的性质，求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， 四边形为平行四边形． ， ． 是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据正方形的性质得到，，，求得，根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形； （2）根据正方形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，（舍，求得，，根据菱形的面积公式得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形， ，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍）， ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)①四边形为“等补四边形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)② (2)或 (3)存在，周长和为 【分析】（1）根据等距四边形的定义即可得出结论； （2）根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含30度的直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出四边形，四边形，四边形是等距四边形，再利用三角形的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：根据等距四边形的定义， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图1， 取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距四边形， 在菱形中，，，， ，， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图2， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； （3）解：存在； 过点分别作于，于，于，连接、、如图3， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， 在中，，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， 四边形，四边形，四边形的周长的和为． ( 江苏 考点0 3 菱形的判定 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题判断命题的真假，涉及特殊四边形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合相应四边形的定义或判定条件． 【详解】A．一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，而选项中另一组对边仅“相等”不满足条件（如等腰梯形），故为假命题，不符合题意． B．菱形的判定需对角线互相垂直且平分，或四边相等．选项仅满足对角线垂直，无法保证是菱形（如对角线垂直但不对称的风筝形），故为假命题，不符合题意． C．平行四边形的对角线必然互相平分，但矩形需满足对角线相等．选项未增加新条件，仅重复平行四边形性质，故为假命题，不符合题意． D．三个角为直角说明四边形是矩形，矩形对角线互相垂直时必为正方形（因对角线相等且垂直的矩形是正方形），故为真命题，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（    ） A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明四边形是菱形可得结论． 【详解】解：如图2中，由作图可知平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同法可证， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 四边形的周长． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各种特殊的平行四边形的判定方法是解题关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：如图，    A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确； B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确； C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确； D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“菱形中的等线转化”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，在菱形中，交的延长线于点E，F为线段上的动点（不与点E重合），过的中点O作，交于点G，过点F作交的延长线于点H，连接． 【初步探索】 （1）小明发现：四边形是菱形．请证明小明发现的这个结论； 【猜想再探】 （2）如图2，当点F与点C重合时，小丽提出新问题：连接，能求的长吗？学习小组中的三位同学分别给出了思路： 小明：可以延长交于点M，得到，分别求出和的长，即可求出的长： 小华：可以延长交于点N，得到，分别求出和的长，即可求出的长； 小红：图2中有两个点之间的距离恰好与相等，把这两个点连起来，也能求出结果． 请判断小明和小华的思路能否求出的长，并尝试用小红所说的方法解决问题． 【综合应用】 （3）请解决小强提出的新问题：连接，在点F运动过程中，是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析，（3）存在， 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可证得，从而，从而四边形是平行四边形，进而证得四边形是菱形； （2）小明的思路：可得出，，，从而得出，从而，可求得的长，可得出，从而得出可求得和的长，从而得出的长，进而根据勾股定理得出的长；小明的思路：可得出，在中，由可求得，从而求得的长，在中，已知和可求得，从而求得，进而得出的长；小红的方法：连接，可证得，从而，可求得的长，进而得出的长； （3）作射线于W，延长，交于V，可得出，从而，从而得出当点F在C点处，最小，此时，故，进而得出结果． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）如图1， 小明和小华的思路能求出的长，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可求得的长， ∴， ∴可求得和的长 从而得出的长，进而根据勾股定理得出的长， ∴小明的思路能求得的长， ∵， ∴， ∴， 在中，由可求得， 从而求得的长， 在中，已知和可求得，从而求得， ∴小华的思路能求得的长， 小红的方法： 如图1，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），如图2， 作射线于W，延长，交于V， ∵， ∴， ∴， ∴当点F在C点处，最小， 此时， ∴， ∴最小值为． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿过点的直线折叠，使翻折至处，折痕为交于点． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长； (2)如图2，连接，四边形能否为菱形？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由； (3)如图3，当时，仅用圆规在图3中作出点（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值． 【答案】(1)①详见解析；②3 (2)不能，理由见解析 (3)图见解析， 【分析】（1）①如图1，由折叠得：，由平行线的性质得：，再由直角三角形的性质即可解答； ②先由勾股定理得，由三角形的面积法可得的长，设，则，由勾股定理列方程即可解答； （2）根据菱形的判定，结合（1）可知：当时，，四边形不可能是菱形； （3）如图3，过点C作于P，再作，即可得点F；如图4，设，证明，即可得和的长，即可解答． 【详解】（1）解：①：如图1，由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴由勾股定理得： 由①得 则， ∴ ∴， ∴ 由折叠得：， ∴ 设， 则， ∴ 在中，， ∴ ∴， ∴； （2）解：如图2，四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形为菱形，则，， 由（1）可知：，， ∴， ∴四边形不可能是菱形； （3）解：如图3，过点C作于P，以P为圆心，以为半径画弧，交于点F，则点F即为所求； 如图4，设， 由折叠得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ( 江苏 考点0 4 菱形的性质与判定综合运用 ) 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，连接交于点，由平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，即可推得，，根据等角对等边得出，根据平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出，，，，推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：解：作，交于点，连接交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，的平分线分别交于点，， ∴，， ∵， ∴，， 故，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，交于点，连接，先证明，进而推出四边形为菱形，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，，，， ∴即： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）可判定是菱形和是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于H，于W，作于G，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点P在与成的直线上运动，延长至R，使，作于V，连接，交直线于，当点P在处时，最小，最小值是的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， 是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． （2）， 证明：如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图， 作于H，于W，作于G，连接 ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形是矩形， ∴矩形正方形，， ∴ ∵射线绕点O逆时针旋转交于点F， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵O和P关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在与成的直线上运动， 延长至R，使，作于V，连接，交直线于， 当点P在处时，最小， ∵ ∴最小，最小值是的长度， 可得， ∵ ∴ ∴ ∴（负值已舍去） 解得 在中， ∴最小值为． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，矩形的对角线、相较于点O，，．试判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】与互相垂直平分，见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质． 先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得到，则平行四边形是菱形，即可证明． 【详解】解：与互相垂直平分． ，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，，， ， 是菱形， 与互相垂直平分． ( 江苏 考点0 5 与菱形有关的作图问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 (1)，； (2)， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点A，交于点C，连接，即可； （2）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点B，交于点D连接，即可． 【详解】（1）解：如图1中，菱形即为所求； （2）解：如图2中，菱形即为所求． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在的网格中，线段的两个端点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)画出以为边的菱形C，点C、D也均为格点； (2)在菱形的边上画出点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作一个边长为 5 的菱形即可； （2）构造等腰直角三角形交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，菱形可即为所求； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，点即为所求， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点在上，，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)如图1，画出的平分线； (2)如图2，画出的平分线； (3)如图3，以为边画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，等边对等角，三线合一定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）射线即为所求； （2）连接交于O，作射线，则射线即为所求； （3）连接交于O，作射线交于F，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； 由矩形的性质可得， 由等边对等角和平行线的性质可得， 即是的平分线； （2）解；如图所示，连接交于O，作射线，则射线即为所求； 由矩形的性质可得为的中点，则由三线合一可得平分； （3）解：如图所示，连接交于O，作射线交于F，连接，则四边形即为所求． 由（2）可得垂直平分，则， 可证明，得到， 则四边形是菱形． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成） (1)以为边画平行四边形； (2)在（1）中所画平行四边形的面积为________； (3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)15； (3)图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用平移思想，点向左移动4个单位长度，向上移动1个单位长度，得到格点，连接，即可； （2）连接，易得平行四边形为菱形，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可； （3）连接，交于点，连接，即可，根据菱形的对称性，得到，对顶角得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； （2）解：观察可知，， ∴平行四边形为菱形， 连接，如图， 由勾股定理，得：， ∴； （3）解：连接，交于点， 如图，点即为所求： 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图，在边上找一点E，边上找一点F，使得四边形为菱形（保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接即可． （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得．设，则，在 中，由勾股定理得，，代入求出的值可得的长，再根据菱形的面积为可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则四边形即为所求． 证明：根据作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在矩形中，平行， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ， ∵四边形为矩形， ， 设，则， 在 中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， ∴菱形的面积为． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图1，点P在内部，连接． (1)尺规作图：作菱形，使点Q落在上，且为菱形的对角线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点N，若，设，，求菱形的面积（用含m、n的代数式表示）．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以点P为圆心，的长为半径画弧交射线于Q，再分别以O、Q为圆心，的长为半径画弧，二者交于点M，连接，则四边形即为所求； （2）设交于点H，设，由菱形的性质可得，由勾股定理得，，解得，再求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：设交于点H，设， ∵四边形是菱形， ∴，   ∵， ∴，   ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 7．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知线段和线段． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：以线段为对角线，作菱形，使得菱形的边长为（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在上述所作图中，若，，则菱形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查作垂直平分线，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，然后以点为圆心，的长为半径画弧交线段的垂直平分线于点，连接，即可得到菱形； （2）设交于点O，利用勾股定理求出进而得到，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：菱形即为所作； 由作图知，所在直线垂直平分， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点O， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； (2)在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 【答案】(1)见解析，或 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理与网格问题，数形结合是解题的关键； （1）结合菱形的性质按要求画图，进而可得答案． （2）结合无理数的定义、勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． 【详解】（1）解：如图1，菱形和菱形，即为所求 菱形的面积为；菱形的面积为， （2）解：如图，，直角三角形即为所求（答案不唯一）． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 菱形 5大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质求解（小题） 考点02 利用菱形的性质证明或计算（大题） 考点03 菱形的判定 考点04 菱形的性质与判定综合运用 考点05 与菱形有关的作图问题 ( 江苏江苏 考点0 5 考点01 利用菱形的性质求解（小题） ) 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是    （       ） A．对角线相等 B．内角和等于 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，E是的中点，连接，将沿着翻折，点B与点C正好重合，则等于（　　） A．2 B． C． D．4 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（　　） A． B． C． D．48 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，则的长为___________． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 13．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为_________． ( 江苏 考点0 2 利用菱形的性质证明或计算（大题） ) 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求折痕的长． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． (1)如图1，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； (2)如图2，四边形为矩形，，点在边上，点为对角线的中点，连接并延长，交于点，连接．若四边形是奇特四边形，且为奇特线，求证：四边形为菱形； (3)如图3，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为________． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，平行四边形中，，过点C作，与的延长线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的度数． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． ( 江苏 考点0 3 菱形的判定 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（    ） A．7 B．12 C．14 D．16 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“菱形中的等线转化”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，在菱形中，交的延长线于点E，F为线段上的动点（不与点E重合），过的中点O作，交于点G，过点F作交的延长线于点H，连接． 【初步探索】 （1）小明发现：四边形是菱形．请证明小明发现的这个结论； 【猜想再探】 （2）如图2，当点F与点C重合时，小丽提出新问题：连接，能求的长吗？学习小组中的三位同学分别给出了思路： 小明：可以延长交于点M，得到，分别求出和的长，即可求出的长： 小华：可以延长交于点N，得到，分别求出和的长，即可求出的长； 小红：图2中有两个点之间的距离恰好与相等，把这两个点连起来，也能求出结果． 请判断小明和小华的思路能否求出的长，并尝试用小红所说的方法解决问题． 【综合应用】 （3）请解决小强提出的新问题：连接，在点F运动过程中，是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿过点的直线折叠，使翻折至处，折痕为交于点． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长； (2)如图2，连接，四边形能否为菱形？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由； (3)如图3，当时，仅用圆规在图3中作出点（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值． ( 江苏 考点0 4 菱形的性质与判定综合运用 ) 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，矩形的对角线、相较于点O，，．试判断线段与的关系，并说明理由． ( 江苏 考点0 5 与菱形有关的作图问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 (1)，； (2)， 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在的网格中，线段的两个端点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)画出以为边的菱形C，点C、D也均为格点； (2)在菱形的边上画出点，使得． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点在上，，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)如图1，画出的平分线； (2)如图2，画出的平分线； (3)如图3，以为边画出一个菱形． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成） (1)以为边画平行四边形； (2)在（1）中所画平行四边形的面积为________； (3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹） 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图，在边上找一点E，边上找一点F，使得四边形为菱形（保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图1，点P在内部，连接． (1)尺规作图：作菱形，使点Q落在上，且为菱形的对角线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点N，若，设，，求菱形的面积（用含m、n的代数式表示）．（如需画草图，请使用图2） 7．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知线段和线段． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：以线段为对角线，作菱形，使得菱形的边长为（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在上述所作图中，若，，则菱形的面积为__________． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； (2)在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $