8.3 第2课时平方差公式的应用-【练测考】2025-2026学年六年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

第2课时 平) 基础夯实 》知识点一平方差公式的几何背景 1.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长 为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同 的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四 边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影 部分的面积，可以验证成立的公式为() A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b)》 2.从前，古希腊一位庄园主把一块边长为am (a>6)的正方形土地租给租户张老汉，第二 年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加 6m,相邻的另一边减少6m,变成矩形（长方 形)土地继续租给你，租金不变，你也没有吃 亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租 地面积会 A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 3.如图，大正方形与小正方形 的面积之差是40，则阴影部 分的面积是 》知识点二 平方差公式的 运用 4.计算：10552-1054×1056= 5.已知4a2-b2=36,2a+b=4,则2a-b的值为 6.计算： （1)(y+x)(x-y)+x(y-x)+y; 第八章整式的乘除 方差公式的应用 (2)(-2x+3y)(-2x-3y)-(x-2y)·(4x+y); (3)(a-4)(a+4)-2(a-1)(2a+2). 7.用平方差公式计算： (1)1002×998; 能力提升 8.(2025·泰安岱岳区模拟)如果一个数等于两 个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为 “和谐数”.例如：因为12=42-2，所以12是 “和谐数”.下列各数为“和谐数”的是() A.48 B.50 C.52 D.54 9.若(m+43)2=6513,则(m+33)(m+53)= 10.用简便方法计算： (1)201×199+1; 1 (2)1002×99 (3)20262-2025×2027-999×1001. 91 练测考六年级数学下册LJ 11.小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如 图所示的那样分成面积相等的两个梯形种 上不同的蔬菜.已知这两个梯形的上底都是 am,下底都是bm,高都是(b-a)m. (1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多 少平方米？ (2)当a=10m,b=30m时，面积是多少？ 12.如图所示，从边长为a的正方形中剪掉一个 边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一 个长方形 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) (2)已知4a2-b2=24,2a+b=6,则2a-b= (3)应用所得的公式计算：20252-2024×2026. (4)应用所得的公式计算：司× -2035) 92 素养培优 13.阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题：计算：(2+1)(22+ 1)(24+1)(2+1). 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的 变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用 平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1)(2+1) =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1. 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以 下的问题： (1)化简：(3+2)(32+22)(34+24)(38+ 28)(316+216). (2)计算：(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)· (56+1)+4 11×a×(-1)+1×(-3)×(-1)+1×a×2 =-a+3+2a=a+3. 因为多项式不含一次项，所以a+3=0, 解得a=-3. 3乘法公式 第1课时平方差公式 1.B2.A3.D4.A5.1 6.解：(1)原式=9a2-b2. (2)原式=x2y2-25. (3)原式=(-m2n)2-22=mn2-4. 7.A8.1 9.解：因为a-b=2,b-c=2,所以a-c=4. 因为a+c=14,所以a2-c2=(a+c)(a-c)=56, 10.A11.212.2 13.解：x(x-3)+8=(x+5)(x-5), 去括号，得x2-3x+8=x2-25, 移项，得x2-3x-x2=-25-8, 合并同类项，得-3x=-33,解得x=11. 14.解：(1)A=2x-3y,B=2x+3y, 原式=4x-6y-6x-9y=-2x-15y. (2)A2-B2=(2x-3y)2-(2x+3y)2=(2x-3y+2x+3y)(2x- 3y-2x-3y)=4x·(-6y)=-24xy. 15.解：(1)(x-2)-(x+2)+(-2+y)=x-2-x-2-2+y=y-6. (2)▲=3x2+4-(x-2)(x+2)=3x2+4-(x2-4)=3x2+4-x2+ 4=2x2+8 (3)因为计算结果是二次单项式，▲表示常数， 所以■表示的运算符号是×， 所以(x-2)■(x+2)+▲=(x-2)(x+2)+▲=x2-4+▲ 因为计算结果是二次单项式，所以▲的值为4. 微专题17运用平方差公式时系数未平方 【易错题】 解：(5x+y)(5x-y)=(5x)2-y2=25x2-y2. 【小练】 解：原式=(x2-4y2)(x2+4y2)=x4-16y4 第2课时平方差公式的应用 1.D2.C3.204.1 5.9解析：因为4a2-b2=36, 所以(2a+b)(2a-b)=36. 又因为2a+b=4, 所以4(2a-b)=36,所以2a-b=9. 6.解：(1)(y+x)(x-y)+x(y-x)+y2=(x+y)(x-y)+x(y-x)+ y2=x2-y2+y-x2+y2=xy. (2)(-2x+3y)(-2x-3y)-(x-2y)(4x+y) =(-2x)2-(3y)2-(4x2+xy-8xy-2y2) =4x2-9y2-4x2-xy+8xy+2y2=7xy-7y2 (3)(a-4)(a+4)-2(a-1)(2a+2) =a2-42-4(a-1)(a+1)=a2-16-4(a2-1) =a2-16-4a2+4=-3a2-12. 7.解：(1)1002×998 =(1000+2)×(1000-2) =1000-22 =1000000-4 =999996. 2-(ow)月 =-200. 8.C解析：设连续两个偶数为2n,2n+2(n为整数)， 则(2n+2)2-(2n)2-4n2+4+8n-4n2=8n+4. 11 A.当8n+4=48时，n=2不符合题意. B.当8m+4=50时，n=2 4,不符合题意 C.当8n+4=52时，n=6,此时2n=12,2n+2=14,52=142- 122,符合题意. 25 D.当8+4=54时，n=子，不符合题意.故选C 9.6413 10.解：(1)原式=(200+1)×(200-1)+1=2002-1+1=40000. (2)原式=(100+2)(102)=102-（分） 100-4=99 3 (3)原式=20262-(2026-1)(2026+1)-(1000-1)· (1000+1)=20262-(20262-1)-(1000-1)=1-10002+ 1=-999998. 11.解：(1)小红家的菜地面积共有 2x2a+60-o）归(w-(m) (2)当a=10m,b=30m时. 原式=302-102=900-100=800(m2). 12.解：(1)因为题图1的面积=a2-b2, 题图2的面积=(a+b)(a-b), 所以能验证等式a2-b2=(a+b)(a-b) 答案：B (2)因为4a2-62=24, 所以(2a+b)(2a-b)=24. 因为2a+b=6,所以2a-b=24÷6=4. 答案：4 (3)20252-2024×2026 =20252-(2025-1)(2025+1) =20252-(20252-1) =20252-20252+1 =1. 4x22 =(2+I)(2-1Dx3+1)(3-1Dxx2025+1)(2025-D 22 32 2025 23 2025 2024\/34 2026 2025 =1x2026 Γ20252 1013 -2025 13.解：(1)原式=(3-2)(3+2)(32+22)(34+2)(3+2)· (36+26) =(32-22)(32+22)(34+2)(38+28)(316+216)】 =(34-24)(34+24)(38+28)(316+216) =(38-28)(38+28)(316+216) =(316-216)(36+216) =332-232. (2)(5+1)(5+1)(5+1)(5+1)(56+1)+ 4 -45-1D(5+1D(5+1D(5+1(5410(5+1+ 4 -5-1+ 1 52 = 4 第3课时完全平方公式 1.A2.C3.A4.-bx-4y16y2 5.解：(1)(-5a+4b)2 =(-5a)2+2×(-5a)×4b+(4b)2 =25a2-40ab+16b2 (2(2 =2-2x2ax( 3 =4a2. 3b+9 9-30 4 {-2-mx母） 1 6.B7.(a-b)28.C 9-1解析：因为06 x-2x+3 ed=ad-be.2 =9 所以(x-2)(x-2)-(x+1)(x+3)=9, 所以(x2-4x+4)-(x2+4x+3)=9, 所以x2-4x+4-x2-4x-3=9, 解得x=-1. 10.17 11.解：(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2 =4x2+4xy+y2-4x2-8xy-3y2 =-4xy-2y2. 当=4=时， 12.解：(1)因为A-(x-2)2=x(x+7), 所以A=(x-2)2+x(x+7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. (2)因为-2x2-3x+1=0, 所以2x2+3x=1, 所以A=1+4=5. 2 13.解：(1)①题图1中剪去的长方形的长为(a-b),面积为 b(a-b)=ab-b2. 答案：a-bab-b2 ②方法一：阴影部分的面积为(a-b)(a-b)=(a-b)2. 方法二：阴影部分的面积为a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2, 由此可以验证的公式为(a-b)2=a2-2ab+b2. 答案：(a-b)2a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b (2)因为S,+S2=40,4B=8, 所以a2+b2=40,a+b=8. 因为(a+b)2=a2+2ab+b2 所以82=40+2ab,所以ab=12, 所以图中阴影部分的面积为2x2ab=b=12 微专题18探秘“杨辉三角形” 【问题解决】 (1)764 (2)a3+5ab+10a3b2+10a2b3+5ab+b 【变式应用】 解：(1)原式=(3+1)5=45=1024. (2)原式=(-3+1)5=(-2)5=-32. 第4课时完全平方公式的应用 1.D2.1 3.解：(1)(-99.9)2=(99.9)2=(100-0.1)2 =1002-2×100×0.1+0.12=10000-20+0.01=9980.01 (2)3.6722+6.3282+6.328×7.344 =3.672+6.3282+2×3.672×6.328 =(3.672+6.328)2=102=100. 4.A5.B6.D 7.解：(1)原式=(4x+y+4x-y)(4x+y-4x+y) =8x·2y=16xy (2)原式=[(2a-3b)+1]2 =(2a-3b)2+2·(2a-3b)·1+12 =4a2-12ab+9b2+4a-6b+1. 8.C9.D10.B 11.0解析：设x-2015=a,x-2016=b, 则a2+b2=1,a-b=x-2015-(x-2016)=1. 因为(a-b)2=a2+b2-2ab, 所以1=1-2ab,所以ab=0, 即(x-2015)(x-2016)=0. 12.10 13.解：(1)(x+2y)2+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y) =(x2+4xy+4y2)+(x2-4y2)+(x2-4xy) =x2+4xy+4y2+x2-4y2+x2-4xy=3x2. (2)(x-2y+1)(x+2y-1)-(x+2y+1)(x-2y-1) =[x-(2y-1)][x+(2y-1)]-[x+(2y+1)][x-(2y+1)] =[x2-(2y-1)2]-[x2-(2y+1)2] =[x2-(4y2-4y+1)]-[x2-(4y2+4y+1)] =(x2-4y2+4y-1)-(x2-4y2-4y-1) =x2-4y2+4y-1-x2+4y2+4y+1=8y. 14.解：原式=4(x2+4xy+4y2)-4(x2-4y2)+8-16xy =4x2+16xy+16y2-4x2+16y2+8-16xy=32y2+8. 因为1x-31+(y+1)2=0,1x-31≥0，(y+1)2≥0， 所以x-3=0,y+1=0, 解得x=3,y=-1,则原式=32×(-1)2+8=40. 7