7.1 第2课时垂直-【练测考】2025-2026学年六年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

第2课 基础夯实 》知识点一垂直的定义 1.如图，直线AB,CD相交于点O,在下列各条 件中，能说明AB⊥CD的有 ①∠A0D=90°； ②∠AOC=∠B0C; ③∠AOC=∠BOD; ④∠BOC+∠BOD=180°； ⑤∠A0C+∠B0D=180°. A.2个 B.3个C.4个D.5个 2.如图，直线AB,CD相交于点O,若∠EOD= 40°，∠B0C=130°，则射线OE与直线AB的 位置关系是 B 130/ D C O次40°D E X2 A A 第2题图 第3题图 3.如图，点0在直线AB上，C0⊥AB,∠2-∠1= 34°，那么∠AOD的度数是 》知识点二垂线的画法及性质 4.过直线l外一点P画l的垂线CD,下列各图 中，三角尺操作正确的是 D 5.在一张透明的纸上画一条直线1，在直线1外 任取一点Q,并折出过点Q且与直线1垂直 的直线.这样的直线能折出 ()》 A.0条 B.1条C.2条 D.3条 》知识点三垂线段的性质及点到直线的距离 6.如图，从位置P到直线公路MN有四条小道， 其中路程最短的是 MA B CD N A.PA B.PB C.PC D.PD 第七章相交线与平行线 时 垂直 7.(2025·济南历下区期中)宇树科技 Unitree B.2-W轮足机器人正在水中的点A处 工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线 AB到达岸边.其中蕴含的数学原理是() A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直 A机器人 河岸 A B CI 第7题图 第8题图 8.如图，点A,B,C在直线1上，PB⊥1，PA= 6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l 的距离是 cm. 能力提升 9.如图，点P在直线l外，点A,B在直线1上，若 PA=3.5,PB=6,则点P到直线1的距离可能 是 A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图，已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠B0D= 5∠AOC,则∠AOC的度数为 A.22.5°B.30° C.36° D.45° E 0 D 第10题图 第11题图 11.(2025·淄博博山区期末)如图，将平面镜放 置在桌面AB上，光线CO经过平面镜反射 形成光线OD.已知E0⊥AB,∠AOC=35°， 则∠DOE的度数为 55 练测考六年级数学下册L小 12.如图，直线AB,CD相交于点O,过点0作OE⊥ 素养培优 AB,且OF平分∠AOD,已知∠B0D=36°. 13.(2025·滨州无棣县月考)如图，已知0C⊥ (1)试说明：∠COF=∠BOF. AB于点O,∠AOD:∠COD=1:2. (2)求∠EOF的度数. (1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数 (2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的 3倍多30°，试判断OD与OE的位置关系， 并说明理由 微专题8 教材拓展 最短路线问题 教材P72T3变式]如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图 书馆. (1)请画出学校A到书店B的最短路线. (2)在公路I上找一个路口M,使得AM+CM的值最小. (3)现要从学校A向公路修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线 ↑北 B 【总结】能够用来判定线段最短的相关理论依据是：①两，点之间，线段最短；②，点到直线之间，垂 线段最短，因此最短路径要么是两点间的直线段，要么是点到直线的垂线段， 56由题意，得，x +40-x=92,解得x=34 1-50%1-75% 因为34<35，所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放 量符合“标准” 20.解：设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意，得子+-1， 解得x=2. 答：这次小峰打扫了2h. 21.解：设黑色琴键有x个，则白色琴键有(x+16)个， 由题意，得x+(x+16)=88,解得x=36, 所以白色琴键有36+16=52（个）. 答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个 22.解：若每次购买都是100把， 则花费200×8×0.9=1440元≠1504元， 所以一次购买少于100把，另一次购买多于100把， 所以设一次邮购折扇x(x<100)把，则另一次邮购折扇 (200-x)把. 由题意，得8x(1+10%)+0.9×8(200-x)=1504, 解得x=40, 所以200-x=200-40=160(把). 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把. 23.解：(1)由题意，得4×3+2×1+4×(-2)=6（分）： 答：珍珍第一局的得分为6分 (2)由题意，得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13, 解得k=6. 24解：(1南题意，得170×10%=001%， 解得a=10. (2)设可稀释成xkg浓度为0.005%的消毒溶液。 由题意，得0.005%x=0.01%×6,解得x=12, 所以加水x-6=12-6=6(kg. 答：可稀释成12kg浓度为0.005%的消毒溶液，稀释过程 中需加水6kg 第七章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时相交线与平行线 1.B2.D3.C4.30°对顶角相等5.C6.B 7.同角的补角相等8.60° 9.解：由题意，可得∠2=180°-∠1，∠1=3∠2-20°， 所以∠1=3(180°-∠1)-20°， 解得∠1=130°，所以∠2=50° 10.D 11.C解析：因为∠AOC=∠B0D,∠B0D=35°，所以∠AOC= 35°.因为OC平分∠A0E,所以∠A0E=2∠A0C=2×35°= 70°，所以∠B0E=180°-∠A0E=180°-70°=110°.故选C 12.B 13.解：∠3=∠4，理由如下： 因为∠1=∠2，所以∠1+∠BOD=∠2+∠BOD, 即∠EOB=∠DOF. 因为∠3=180°-∠E0B,∠4=180°-∠D0F, 所以∠3=∠4. 14.解：(1)2(2)6(3)12 (4)n条直线相交于一点，可形成n(n-1)对对顶角. (5)100条直线相交于一点，可形成100×(100-1)= 9900(对)对顶角. 微专题7利用方程思想求角度 1.80°解析：设∠DOE=x,则∠AOE=4x.因为∠AOE的余角 比∠D0E小10°，所以90°-4x=x-10°，解得x=20°， 所以∠AOE=80°. 2.54°解析：因为∠M0N=70°， 所以∠COD=∠MON=70°. 设∠AOC=x, 则∠B0C=3x,∠AOD=x+70°， 所以∠BOD=3x-70°. 因为∠A0D=2∠B0D,所以x+70°=2(3x-70°)， 解得x=42°，所以∠B0C=126°， 所以∠B0N=180°-∠B0C=54. 第2课时垂直 1.B2.互相垂直3.1184.B5.B6.B7.C8.5 9.A 10.B解析：因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=90°， ∠COD=90°.又因为∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC= 360°，∠B0D=5∠A0C,所以90°+5∠A0C+90°+∠A0C= 360°，所以∠A0C=30°.故选B. 11.55 12.解：(1)因为0F平分∠AOD. 所以∠AOF=∠DOF. 又因为∠AOC=∠BOD 所以∠AOF+∠AOC=∠DOF+∠BOD. 即∠COF=∠BOF. (2)∠A0D=180°-∠B0D=180°-36°=144°， 1 所以LA0F=∠D0F=2∠A0D=2×14=72 又因为0E⊥AB,所以∠B0E=90°， 所以∠E0D=∠B0E-∠B0D=90°-36°=54°. 所以∠E0F=∠D0F-∠E0D=72°-54°=18°. 13.解：(1)因为OC⊥AB, 所以∠AOC=∠BOC=90°. 因为∠A0D:∠COD=1:2, 所以∠D0C=2 ∠A0C=60. 因为OE平分∠B0C, 所以∠C0E=)∠B0C=45 所以∠D0E=∠D0C+∠C0E=60°+45°=105°. (2)0D⊥0E.理由如下： 由(1)知∠A0C=90°，∠D0C=60°. 因为∠AOE的度数比∠C0E的度数的3倍多30°， 所以∠AOE-∠C0E=2∠C0E+30°=90°， 所以∠COE=30° 所以∠D0E=∠D0C+∠C0E=60°+30°=90°， 所以OD⊥OE. 微专题8最短路线问题 解：(1)如图，连接AB,线段AB就是学校A到书店B的最短路 线 ↑北 (2)如图，连接AC,交公路I于点M,这时AM+CM的值最小. (3)如图，过点A作AD⊥公路I,垂足为点D,这时小路AD的 长最短，垂线段AD就是要修的小路. 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两直线平行 1.B2.A3.A4.C5.同位角相等，两直线平行 6.解：因为∠1=∠2（对顶角相等），∠1=∠3（已知）， 所以∠2=∠3（等量代换）， 所以a仍（同位角相等，两直线平行） 7.B8.C 9.解：因为∠1+∠2=180°（平角的概念），∠1+∠3=180°（已知）， 所以∠2=∠3（同角的补角相等）， 所以a仍（同位角相等，两直线平行） 又因为ac(已知)， 所以b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行). 10.C11.50 12.解：因为GH⊥CD(已知)， 所以∠CHG=90°（垂直的概念） 又因为∠2=30°（已知）， 所以∠3=90°-∠2=60°（互余的概念）， 所以∠4=∠3=60°（对顶角相等）. 又因为∠1=60°（已知）， 所以∠1=∠4（等量代换）， 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 13.解：BEDF,理由如下： 因为AB⊥BC, 所以∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°. 又因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3， 所以∠1=∠4（等角的余角相等）， 所以BEDF(同位角相等，两直线平行). 14.解：AB∥CE.理由如下： 因为CD平分∠ECF(已知)， 所以∠ECD=∠FCD(角平分线的概念). 因为LACB=∠FCD(对顶角相等)， 所以∠ECD=∠ACB(等量代换). 因为∠B=∠ACB(已知)， 所以∠B=∠ECD(等量代换)， 所以ABCE(同位角相等，两直线平行). 15.解：直线与12平行，理由如下： 因为∠2=53°，∠3=85°， 所以∠4=180°-∠3-∠2=42°（平角的1 概念)， 所以∠5=∠4=42°（对顶角相等）. 31 又因为∠1=42°（已知）， 所以∠1=∠5（等量代换）， 所以儿，（同位角相等，两直线平行） 第2课时利用内错角利同旁内角判定两直线平行 1.C2.D3.D4.CD∥EF 5.解：因为AB⊥AD,CD⊥AD(已知)， 所以LCDA=∠BAD=90°（垂直的概念）， 所以∠1+∠ADF=∠2+∠DAE. 因为∠1=∠2（已知）， 所以∠ADF=∠DAE(等角的余角相等)， 所以DFEA(内错角相等，两直线平行). 6.D7.789 8.解：因为∠BGE=70°（已知）， 所以∠AGH=∠BGE=70°（对顶角相等）， 所以∠CHG+∠AGH=180°（角的和差）， 所以ABCD(同旁内角互补，两直线平行). 9.C10.B11.内错角相等，两直线平行12.DEBC 13.解：OABC,OB∥AC.理由如下： 因为∠1=50°，∠2=50°（已知）， 所以∠1=∠2， 所以OB∥AC(同位角相等，两直线平行). 因为∠2=50°，∠3=130°（已知）， 所以∠2+∠3=180°， 所以OA∥BC(同旁内角互补，两直线平行) 14.解：CDAB.理由如下： 因为CE⊥CD(已知)，所以∠DCE=90°（垂直的概念）. 因为∠ACE=136°（已知）， 所以∠ACD=360°-136°-90°=134°（周角的概念）. 因为∠BAF=46°（已知）， 所以∠BAC=180°-∠BAF=134°（平角的概念）， 所以∠ACD=∠BAC(等量代换)， 所以CDAB(内错角相等，两直线平行). 微专题9利用两直线平行的条件解决实际问题 【典题】解：cd.理由如下： 如图所示，因为∠2=∠3（已知）， ∠2+∠5=∠3+∠6=180°（平角的概念）， a 所以∠5=∠6（等角的补角相等）. -2y 因为∠1=∠4（已知）， -6 所以∠1+∠5=∠4+∠6（等式的性质）， 49 所以c/d(内错角相等，两直线平行). d 【变式1】A 【变式2】解：不能断定ABCD,可以补充BA=BC.(答案不唯 一) 因为BA=BC(补充条件)， 所以∠BAC=∠3=60°（等腰三角形的两个底角相等）. 因为∠2=60°（已知）」 所以∠BAC=∠2（等量代换）， 所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)： 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 1.C2.603.B4.B5.60°6.C7.80° 8.解：因为∠CDE=150°」 所以∠CDB=180°-∠CDE=30° 8