培优专题1 线段与角中的折叠与动点(边)问题-【练测考】2025-2026学年六年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

11.解：根据题意，作图如图所示： 则∠OAD即为所求。 12.解：如图所示，点C为C城市的具体位置 培优专题一线段与角中的折叠与动点（边） 问题 1.解：因为AP:BP=2:3,所以设AP=2x,BP=3x ①若一根绳子沿B点对折成线段AB,则剪断后的三段绳子 的长分别为2x,2x,6x,所以6x=60,解得x=10, 所以绳子的原长=2x+2x+6x=10x=100(cm); ②若一根绳子沿A点对折成线段AB,则剪断后的三段绳子 的长分别为4x,3x,3x,所以4x=60,解得x=15, 所以绳子的原长=4x+3x+3x=10x=150(cm). 综上所述，绳子的原长为100cm或150cm. 2.解：①当绳子从N处对折，NP的2倍最短时，得NP=30cm, 因为P=；p,所以MP:子P=8em, 所以此时剪断后的三段绳子的长分别是18cm,18cm, 60cm,此情况不符合题意，故舍去. ②当绳子从N处对折，MP最短时，得MP=60cm, 所以P多p=10m 所以此时剪断后的三段绳子的长分别为60cm,60cm, 200cm,符合题意. 因为MN=MP+NP=160cm, 所以这条绳子的原长为2MWN=320cm, ③当绳子从M处对折，NP最短时，得NP=60cm, 所以MP=子P=36m,所以此时剪断后的三段绳子的长 分别为60cm,60cm,72cm,符合题意， 因为MN=MP+NWP=96cm, 所以这条绳子的原长为2MW=192cm. ④当绳子从M处对折，MP的2倍最短时，得MP=30cm, NP=50 cm. 所以此时剪断后三段绳子的长分别为50cm,50cm,60cm, 此情况不符合题意，故舍去. 综上所述，这条绳子的原长为320cm或192cm 3.解：(1)设经过tsP,Q两点相遇， 则t+2t=20+60+10,解得t=30, 所以经过30sP,Q两点相遇. (2)因为AB=60cm,P在线段AB上且PA=3PB, 所以PA=45cm,所以OP=65cm, 所以点P,Q的运动时间为65s. 因为A=60m所以3B=206m 所以QB=20cm或40cm, 所以点Q的运动速度为10+20_6 65 =13(cm/s)或10+40 65 1 3(cm/s). 4.解：(1)当点C在点B右侧时，如图1， M N B C 图1 因为M,N分别为线段AC,BD的中点， 所以AM=24C=(aB+BC)=8, DND(CDBC)5. 2 所以MN=AD-AM-DN=9. 当点C在点B的左侧时，如图2，因为M,N分别为线段AC, BD的中点， M 图2 所以AM=7AC=2(AB-BC)=4, 1 1 DN=2 BD=2(CD-BC)=1, 所以MN=AD-AM-DN=AB+CD-BC-AM-DN=12+6-4- 4-1=9. 综上MN=9. (2)①正确. 因为PA+PB_(PC+AC)+PC-CB)-2PC=2, PC PC PC 所以@PA+PB是定值2 PC 5解：()由折叠，知∠ABC=∠FBC=,∠ABR 因为BE平分LFBD,所以LFBE=)∠FBD 因为∠ABF+∠FBD=180°， 所以LCBE=∠FBC+LFBE= 7∠Aar<B0=9n (2)如图，因为BE平分∠FBD,所以设∠DBE=∠EBF=x. 因为LFBD是由∠FBD沿BF翻折得到， 所以∠MBF=∠MBN=x. D 因为BN平分∠CBM, 所以∠CBN=∠MBN=x, 所以∠CBF=3x. 因为三角形CBF是由三角形CBA翻 折得到，所以∠ABC=∠CBF=3x. 因为∠ABF+∠FBD=180°， 所以3x+3x+2x=180°，即8x=180°，解得x=22.5°， 所以∠ABC=3x=67.5°. 6.解：(1)由折叠的性质，得到∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC 因为点B'恰好落在线段OA'上， 所以∠AOE+∠A'OE+∠B0C+∠B'0C=180°， 所以∠A'OE+∠B'OC=90°， 所以∠COE=∠A'OE+∠B'OC=90° (2)由折叠的性质，得∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC. 因为∠A0E=36°，∠B0C=64°， 所以∠A'OE+∠B'OC=∠AOE+∠BOC=100°， ∠C0E=180°-（∠A0E+∠B0C)=80°， 所以∠A'OB'=∠A'OE+∠B'OC-∠COE=20° (3)因为∠C0E=a, 所以∠AOE+∠BOC=180°-∠COE=180°-a. 由折叠的性质，得∠AOE=∠A'OE,∠B0C=∠B'0C. ①如图1，点B在∠A'OE内部. 因为∠A'OB=∠A'OE+∠B'OC-∠COE, 所以∠A'0B=(180°-a)-a=180°-2a. D 0 图1 图2 ②如图2，点B'在∠A'OE外部， 因为LA'OB'=LCOE-(LA'OE+LB'OC), 所以∠A'0B=a-(180°-a)=2a-180°. 综上，∠A'0B'的度数为180°-2a或2a-180°. 7.解：因为点0在直线AB上，OD平分∠AOB, 所以∠A0D=∠B0D=90. 又因为∠A0F=2∠D0E,所以设∠D0E=x°，则∠A0F=2x°. (1)因为∠B0E=∠B0D-∠D0E=90°-x°， ∠EOF=∠DOE+∠DOF=∠DOE+(∠AOD-∠AOF) =x°+(90°-2x°)=90°-x°， 所以∠BOE=∠EOF=90°-x°，即OE平分∠FOB. (2)①如图1，当∠D0E= 3∠EOF时， 图1 图2 ∠DOF=2∠DOE=2x°， 所以∠AOF+∠DOF=2x°+2x°=90°，解得x=22.5° 所以∠B0E=∠B0D-∠D0E=90°-22.5°=67.5°； 2如图2，当LD0E=；E0F时，LA0E=∠D0E=x⊙ 因为∠A0D=90°， 所以∠AOE+∠DOE=x°+x°=90°，解得x=45°】 所以∠B0E=∠B0D+∠D0E=90°+45°=135°. 综上所述，∠B0E的度数为67.5°或135. 8.解：(1)因为∠M0N=90°，∠B0C=65°， 所以∠M0C=∠M0N-∠B0C=90°-65°=25°. 答案：25 (2)因为∠B0C=65°，0C是∠M0B的平分线， 所以∠MOB=2∠BOC=130°， 所以∠B0N=∠M0B-∠M0N=130°-90°=40°， 所以∠C0N=∠C0B-∠B0N=65°-40°=25°. (3)因为∠0C=4∠A0u, 所以∠AOM=4∠NOC. 因为∠B0C=65°， 所以∠AOC=∠AOB-∠B0C=180°-65°=115 因为∠M0N=90°. 所以∠AOM+∠N0C=∠A0C-∠M0N=115°-90°=25， 所以4LN0C+∠N0C=25°， 所以∠N0C=5°， 所以∠NOB=∠NOC+∠BOC=70° 3多边形和圆的初步认识 1.D2.B3.C4.B5.B6.A7.308.C9.60 10.解：其他交通工具所在扇形的圆心角是 360°×(1-35%-45%)=360°×20%=72 11.A 12.-1解析：依题意，有n=4+3=7, m=6+2=8,t=63÷7=9, 则(n-m)'=(7-8)9=-1. 90° 13.解：因为羽毛球占：360×100%=25%， 所以“排球”所在的扇形的圆心角为 360°×(1-10%-25%-20%-30%)=54° 14.解：(1)因为三个扇形的圆心角的度数的比为1：2：3， 所以设三个扇形的圆心角的度数分别是x,2x,3x,则x+ 2x+3x=360°，解得x=60° 故这三个扇形的圆心角的度数分别是60°，120°，180。 (2)由(1)，知圆心角为60°的扇形的面积最小， 其面积为mx10×,1。=50 1+2+33π(cm2). 15.解：(1)因为∠A0B=180°，∠A0E=40°， 所以∠BOE=140° 因为OF是∠BOE的平分线， 所以∠B0F=)∠B0E=70° 因为两条直径AB,CD相交成90°角，所以∠COB=90°， 所以∠C0F=90°-70°=20°. (2)因为圆0的直径为10cm,所以圆0的半径为5cm, 2025 所以扇形COF的面积=25π 36018m(cm2). 16.解：(1)因为五边形ABCDE内点的个数为1时，分割成的 三角形的个数为5=2×1+3， 五边形ABCDE内点的个数为2时，分割成的三角形的个 数为7=2×2+3： 五边形ABCDE内点的个数为3时，分割成的三角形的个 数为9=2×3+3： 所以五边形ABCDE内点的个数为4时，分割成的三角形 的个数为2×4+3=11： 所以五边形ABCDE内点的个数为n时，分割成的三角形 的个数为2n+3. 答案：112n+3 (2)原五边形能被分割成2025个三角形 由题意，可得方程2n+3=2025,练测考六年级数学下册山 培优专题一线段与角中的折叠与动点（边）问题 【要点归纳】解决动点问题一般需注意： 类型二线段中的动点问题 (1)找准，点的各种可能的位置，灵活应用翻折不 3.如图，射线OM上有三点A,B,C,满足OA= 变性 20cm,AB=60cm,BC=10cm,点P从点0出 (2)通常可用设元法，表示出移动变化后的线段 发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点 的长（有可能是常数，那么就是定值），再由题意 Q从点C出发在线段C0上向点0匀速运 列方程求解. 动，两点同时出发，当点Q运动到点0时，点 类型一线段中的折叠问题 P,Q停止运动 1.如图所示，把一根绳子对折成线段AB,从点P (1)若点Q运动速度为2cm/s,经过多长时 处把绳子剪断，已知AP:BP=2:3,若剪断 间P,Q两点相遇？ 后的各段绳子中最长的一段为60cm,则绳 (2)当点P在线段AB上且PA=3PB时，点Q 子的原长是多长？ 运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求 点Q的运动速度， 0 A B C M 4.已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB 上运动(A在B,C左侧，C在D左侧) 2.如图，将一根绳子对折后用线段MN表示，现 (1)M,N分别是线段AC,BD的中点，若BC=4, 从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中较 求MN的长， 匣的一段为60cm,若NP=3MP,则这条绳子 (2)当CD运动到D点与B点重合时，P是线 段AB延长线上一点，下列两个结论： 的原长是多长？ 是定值：2是定值 请作出正确的选择，并求出其定值， 12 第五章基本平面图形 类型三角中的折叠问题 6.点O,E分别是长方形纸片ABCD的边AB,AD 5.（1)如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点 上的点，沿OE,OC翻折，点A落在点A'处，点 A落在F处，折痕为BC.作∠FBD的平分线 B落在点B处， BE,求∠CBE的度数， (1)如图1，当点B恰好落在线段OA'上时， (2)现将∠FBD沿BF折叠使BE,BD落在 求∠COE的度数. ∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点 D M,BD交CF于点N,若BN平分∠CBM,则 B ∠ABC的度数是多少？ 4 图1 图2 (2)如图2，当点B'落在∠EOA'的内部时，若 ∠A0E=36°，∠B0C=64°，求∠A'OB'的度数 (3)当点A',B落在∠COE的内部时，若 ∠COE=a,求∠A'OB'的度数.（用含的代 数式表示) D 备用图 13 练测考六年级数学下册J 类型四角中的动边问题 8.点0为直线AB上一点，过点O作射线OC, 7.如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOB,作 使∠B0C=65°，将一直角三角板的直角顶点 射线OE,OF,使得∠AOF=2∠DOE 放在点0处， (1)当射线OE,OF在如图位置时，试说明： (1)如图1，若三角板MON的一边ON与射线 OE平分∠FOB. OB重合，则∠MOC= (2)射线OE,OF从图的位置同时绕点0逆 (2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋 时针旋转，在转动的过程中始终满足∠AOF= 转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求 2∠DOE,当∠D0E=∠B0F时，求LB0E 旋转角∠BON和∠CON的度数： (3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3 的度数 时，∠0C=∠401，求20B的度数 图1 图2 图3 14