11.6 第1课时角平分线的性质及判定-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

第十一章三角形的证明及其应用 6角平分线 第1课时 角平分线的性质及判定 基础夯实 》知识点二角平分线的判定定理 》知识点一角平分线的性质定理 4.如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM,PB⊥ 1.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q为 AN,垂足分别为B,C.若PB=PC,∠MAN= OM上的动点，若PA=3,则PQ的最小值为 46°，则∠APC的度数为 () ( M 0 D C M A.23° B.44° A.2 B.3 C.46° D.67° C.4 D.5 5.如图，已知AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD= 离相等，则∠P的度数是 4cm,BC=9cm,线段BD平分∠ABC,则 △BCD的面积为 cm2. 6.如图，△ABC中，D,E分别是边AB,AC延长 B 线上的点，AP平分∠BAC,BP平分∠CBD.求 3.如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥ 证：CP平分∠BCE. AD,E,D分别为垂足，CF=CB.求证：BE= E FD. GA B 证明：如图，过点P分别作PF⊥AD,PGLAE, PH⊥BC. .·AP平分∠BAC(已知)，且PF⊥AD, PG⊥AE, (角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等). .BP平分∠CBD,且 ∴.PF=PH, (等量代换). 又.PG⊥AE,PH⊥BC, ∴.CP平分∠BCE.（ 127 练测考七年级数学下册L小 7.如图，已知D,E,F分别为△ABC的三边BC, 》易错点错用角平分线的判定定理致错 CA,AB边上的一点，且CE=BF,S△DCE= 10.已知D,E分别是△ABC中边AB,AC上的 S△DBF.求证：AD平分∠BAC. 点，在△ABC内有一点O,使OE=OD,则AO 平分∠CAB吗？ 解：AO平分∠CAB,理由如下： 因为点O到∠CAB两边的距离相等， 所以点O在∠CAB的平分线上， 所以AO平分∠CAB. 以上解法是否正确？若不正确，请说明理 由，并写出正确的结论 》知识点三：角平分线的尺规作图 8.如图，在△ABC中，以点 C为圆心，任意长为半径 作弧，分别交AC,BC于点 D,E;分别以点D,E为圆 心，大于2DE的长为半径作弧，两弧交于点 F;作射线CF交AB于点G,若AC=10,BC= 7,△BCG的面积为14，则△ACG的面积 为 9.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠A. (1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E. (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) 能力提升 (2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC 11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE 的位置关系.（不要求证明） 是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G, 交BE于点H,下面说法正确的有（) ①△ABE的面积=△BCE的面积； ②∠AFG=∠AGF; ③∠FAG=2LACF; ④BH=CH. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE为AB的垂 直平分线，且DE=CE=3,则BE= 128 第十一章三角形的证明及其应用 13.如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在 素养培优 BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 15.如图1，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE 求证：PM=PN. 平分∠ADC. (1)求证：AE平分∠DAB. (2)如图2，AB∥CD,∠1=∠2，E是BC的中 点，求证：AE⊥DE. (3)由图2，根据(2)的条件，除去一些线段相 等外，请直接写出其他正确的结论 图1 图2 14.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若 BD=CD,BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC (2)直接写出AB+AC与AE之间的等量 关系 B 1294.解：如图，点D为所作 设CD=x,则DA=DB=8-x 在Rt△ACD中， AC2+CD2=AD2, 六63+2=(8-)2，解得x=7 份长是 5.34° 6.解：(1)如图所示，△ABC即为所求。 (2):△ABC为等腰三角形，BC⊥AD, :BD=BC 2×10=5 ·在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ∴.AB2=BD2+AD, ..AB2=52+122,..AB=13. 7.解：(1)，DEFG分别为AB,AC的垂直平分线， ∴.DA=DB,FA=FC, .∴.∠DAB=∠B,∠FAC=∠C, ∴.∠DAB+∠FAC=∠B+∠C .·∠DAF=20°， ∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C=180°-20°=160°， .∴.∠DAB+∠FAC=80°， .∠BAC=80°+20°=100° (2).·△DAF的周长为6，.DA+FA+DF=6. 由(1)知DA=DB,FA=FC ..BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=6. 8.解：(1)如图所示，点P与点Q即为所求. A (2)如图所示，点T即为所求。 M e A (3)存在，如图所示，点H即为所求 N 9.B10.10° 11.(1)解：如图，AD即为所求作的高. D B (2)证明：在Rt△ABD中，.·∠ADB=90°，∠B=30°， .∠BAD=90°-30°=60. AC平分∠BAD,.∠BAC=∠CAD=30°， .∴.∠B=∠BAC,∴.BC=AC 在Rt△ACD中，.·∠CAD=30° .∴.AC=2CD,.BC=2CD. 12.解：(1)DE⊥DP. 理由：PD=PA,∴.∠A=∠PDA. ·EF是BD的垂直平分线，.EB=ED, .∠B=∠EDB. .·∠C=90°，∴.∠A+∠B=90° ∴.∠PDA+∠EDB=90°，∴.∠PDE=180°-90°=90°， .DE⊥DP (2)如图，连接PE.设DE=x,则EB=ED=x,.CE=4-x. .AC=3,PA=1,..PD=PA=1,PC=2. ,·∠C=∠PDE=90°， .PC2+CE2=PE2=PD2+DE2, 22+(4-)2=12+2,解得x=19 则DE=19 8 6角平分线 第1课时角平分线的性质及判定 1.B2.18 3.证明：AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD, .CD=CE. 在Rt△CBE和Rt△CFD中. CB=CF,CE=CD. ..Rt△CBE≌Rt△CFD(HL),'.BE=FD 4.D5.90 6.PF=PGPH⊥BCPG=PH在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上 7.证明：CE=BF,S△DCE=S△Br, 点D到CE,BF的距离相等， .·.AD平分∠BAC. 8.20 9.解：(1)如图所示，DE即为所求. (2)DE∥AC. B 10.解：不正确，以上解法忽视了OD,OE分别垂直于AB,AC的 条件，故产生错误，正确的结论是“AO不一定平分 ∠CAB” 11.C12.6 13.证明：BD为∠ABC的平分线， ..∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中 .·AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD, .△ABD≌△CBD(SAS),.∠ADB=∠CDB, 即DP是∠ADC的平分线. .PM⊥AD,PN⊥CD,.PM=PNW 14.(1)证明：DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, .∠E=∠DFC=90°， .△BDE与△CDF均为直角三角形 在Rt△BDE与RL△CDF中， :∫BD=CD, BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴.DE=DF. DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, .AD平分∠BAC. (2)解：AB+AC=2AE. [「提示].AD平分∠BAC .∴.∠EAD=∠FAD. 在△AED与△AFD中， (∠E=∠AFD=90°， ∠EAD=∠FAD, AD=AD. .△AED≌△AFD(AAS),.AE=AF .AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AF=2AE. 15.(1)证明：如图1，过点E作EF⊥DA于点F ∠C=90°，DE平分∠ADC, ∴.CE=EF. E是BC的中点， .'BE=CE,..BE=EF. ,·∠B=90°，∴.EB⊥AB 图 又.·EF⊥AD,.AE平分∠DAB. (2)证明：如图2，延长DE交AB的延长 线于点M. ABCD,.∠2=∠M. ∠1=∠2，.∠1=∠M, .AD=AM, .△ADM为等腰三角形 图 E是BC的中点，.BE=CE. (∠M=∠2」 在△BEM和△CED中，{∠MEB=∠DEC, BE=CE '.△BEM≌△CED(AAS) .EM=ED,点E为DM的中点，.AE⊥DE. (3)解：AE平分∠DAB. [提示]由(2)，知△ADM为等腰三角形，ED=EM, .AE平分∠DAB. 第2课时角平分线的应用 1.D2.C3.814.6 5.解：如图所示，点P即为所求。 6.(1)证明：：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBF. DF⊥BC,.∠DFB=∠BAD=90 又.BD=BD,∴.△ABD≌△FBD(AAS), ∴.∠ADB=∠BDF,AB=BF. (2)解：AD=AG.理由如下： :AE是斜边BC上的高，.AE⊥BC 又.DF⊥BC,∴.∠AEB=∠DFB=90°，∴.AEDF ∴.∠BGE=∠BDF. 又.∠BGE=∠AGD,∠ADB=∠BDF, ·∠AGD=∠ADB, .AD=AG. 7.A8.29.10 10.证明：如图，过点C作CG⊥OA于点 G,CF⊥OB于点F. 在△MOE和△VOD中 .·OM=ON,∠MOE=∠NOD,OE=OD, EF .∴.△MOE≌△NOD(SAS), .S△MoE=S△0D, .S△MOE-S四边形ODGE=S△oD-S四边形0DcE, 即SAMDC=S△EC 3 OM=ON,OD=OE,..MD=NE. 2DM CC=2 EN CF,CG=CF. 又.：CG⊥OA,CF⊥OB .点C在∠AOB的平分线上. 11.证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F .·A0平分∠BAC,.OE=OF .·∠1=∠2，.OB=0C 在Rt△OBE和Rt△OCF中， .OB=OC,OE=OF, .Rt△OBE≌Rt△OCF(HL), .∠5=∠6，.∠1+∠5=∠2+∠6， 即∠ABC=∠ACB, .AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 12.解：BF=CG.证明如下： 连接EB,EC,如图. AE是∠BAC的平分线 且EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G, ∴.EF=EG .·ED⊥BC于点D,D是BC的中点. .EB=EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中， (EB=EC, EF=EG. ..Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),.BF=CG. 微专题12角平分线在求图形的面积中的应用 1.31.52.2:3:43.4 培优专题十一角平分线中常用的作辅 助线的方法 1.解：能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长 理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E,则点E就是 所要确定的点（如图）. .·AD平分∠CAB,∠C=90° DE⊥AB,.DC=DE 在Rt△ACD和Rt△AED中， (AD=AD, DC=DE. .Rt△ACDRt△AED(HL),.∴.AC=AE. .·AC=BC ∴.△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+ BE=AE+BE=AB. 2.解：∠BDP+∠BEP=180°.证明如下： 如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则 ∠PMD=∠PWE=90° .·BP平分∠ABC ..PM=PN. 在Rt△DPM和Rt△EPW中， (PD=PE, PM=PN. .Rt△DPM≌Rt△EPN(HL), .∠ADP=∠BEP .∠BDP+∠ADP=180°， .∠BDP+∠BEP=180° 3.证明：如图，延长CE,BA交于点F .CE⊥BD