11.4 直角三角形-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学随堂小练（鲁教版五四制·新教材）

4 直角三角形 第1课时 勾股定理及其逆定理 1.下列命题的逆命题是真命题的为 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=17, A.若a=b,则1al=1b BD=15,DC=6,求AC的长. B.内错角相等 C.全等三角形的对应边相等 D.若a>0,b>0,则a+b>0 2.在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是 a,b,c,则下列结论正确的是 A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.无法确定 3.在下列条件中： ①∠B+∠C=∠A; ②(a+b)2=c2+2ab; ③a:b:c=1:1:W3; =6 11 8.两个斜边长都为25cm的三角形如图摆放， 4,c 5 ∠0=90°，OB=7cm,两直角顶点A,C之间的 ⑤∠A:∠B:∠C=5:12:13. 距离是4cm. 能确定△ABC是直角三角形的条件有( (1)求0C的长 A.1个 B.2个 (2)求BD的长 C.3个 D.4个 4.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题 是 5.若一个三角形的三边长分别为5,12,13，则这 个三角形最长边上的高线为 6.明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索 长》.该诗词翻译后的示意图中，OA,OB表示秋 千的绳索，AC⊥OB,BC=1,AC=2,则该秋千的 索长OA= 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起， 踏板一尺离地， 0 送行二步与人齐， 五尺人高曾记， 仕女佳人争蹴， 终朝语笑欢嬉， 良工高士素好奇， 借问索长有几？ B ·39· 第2课时 直角三角形全等的判定 1.如图，若要用“L”证明 MA D Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需 D 补充条件 ( A.∠BAC=∠BAD P B C B B.AC=AD 第5题图 第6题图 C.AC=BD 6.如图，AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B,C,AB= D.∠ABC=∠ABD 6,BC=8,CD=2,点P为BC边上一动点，当 BP= 2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C全等 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD 全等 的条件是 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC于 点D,EC⊥BC于点C,且AB=BE,CD=CE. 求证： (1)AB=AC. A B (2)Rt△ABD≌Rt△BEC. A.AC=A'C',BC=B'C' E B.∠A=∠A',AC=A'C C.AB=A'B',BC=B'C' D.∠B=∠B',AB=A'B' 3.如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD,CB⊥AB,垂 足分别是D,B,CD=CB.求证：Rt△ADC≌ Rt△ABC.以下是排乱的证明过程： ①.∠D=∠B=90°； ②：.Rt△ADC≌Rt△ABC(HL); ③.CD⊥AD,CB⊥AB; 8.如图，在Rt△ABC和Rt△A'BC'中，∠C= (CD=CB ∠C'=90°，AC=A'C',AD与A'D'分别为BC, ④.在Rt△ADC和Rt△ABC中， AC=AC. B'C边上的中线，且AD=A'D.求证： 证明步骤正确的顺序是 ( (1)Rt△ACD≌Rt△A'C'D' A.③②④① B.③①④② (2)Rt△ABC≌Rt△A'B'C. C.①②③④ D.①③④② D B 第3题图 第4题图 4.如图，AC=BC,且∠D=∠E=90°，能保证 Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（) ①∠ACB=90°；②AD=CE;③AC=2AD; ④CD=BE. A.1个B.2个C.3个 D.4个 5.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直 线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= ·40.(2)证明：.OC平分∠AOB .∠DOP=∠BOP. .·DN∥EM,∴.∠DPO=∠BOP .∠DOP=∠DPO,∴.OD=PD, .△DOP是等腰三角形 9.(1)证明：AF平分∠DAC .∴.∠DAG=∠FAC. ·.AF∥BE,∴.∠DAG=∠B,∠FAC=∠ACB .∴.∠B=∠ACB,.AB=AC, ·.△ABC是等腰三角形 (2)解：.：∠B=∠ACB,∠FAC=∠ACB, .∠B=∠FAC=∠ACB=40° .AG=AC, ∠ACG=∠AGC=180°-∠FAC180°-40 =70° 2 .AF∥BE,.∴.∠GCE=∠AGC=70° 第2课时等腰三角形中的重要线段 C2.C3B415.0或10 6.解：(1)AD=AE,∴.∠AED=∠ADE. '∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2， .∠B+∠1=∠2+∠C+∠2. .∠B=∠C,∠BAC=90°，D是BC的中点， .∠1=45°，∠1=2∠2， .∠2=22.5° 答案：22.5° (2)∠1=2∠2.证明：AD=AE,.∠AED=∠ADE. .·∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2. .∠B+∠1=∠2+∠C+∠2. ∠B=∠C, .∠1=2∠2 7.证明：(1)∠ABC=∠ACB,.AB=AC. A0=B,AB=ACA0=AE 在△ACD和△ABE中， (AD=AE, ∠CAD=∠BAE,∴，△ACD≌△ABE(SAS), AC=AB. .CD=BE (2)由(1)，得△ACD≌△ABE, .∠ACD=∠ABE. AB=AC,AD=AE,.'.BD=CE. 又.·∠CFE=∠BFD, ·.△BDF≌△CEF(AAS),.DF=EF 第3课时等边三角形的性质、判定与反证法 1.A2.C3.A4.∠B=∠C(答案不唯一)5.36.3 7.∠B等边对等角AB<AC∠C<∠B大边对大角 8.证明：(1)：∠BAC=90°，∠C=30 ,∴，∠ABC=90°-30°=60° BF平分∠ABC,.∠ABF=∠CBF=30° AD⊥BC,.∠ADB=90°， .∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=90°-30°=60° .·∠AFB=90°-∠ABF=90°-30°=60°， ∴.∠AFE=∠AEF=60°， ·.△AEF是等边三角形 (2).·∠ADB=90°，∠ABC=60°， ∠BAE=∠ABF=30°，.AE=BE 由(1)知△AEF是等边三角形， ∴.AE=EF,∴.BE=EF. 4直角三角形 第1课时勾股定理及其逆定理 1.C2.D3.B 4.面积相等的两个三角形是全等三角形 6.2.5 7.解：在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD2=√17-152=8. 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2=√82+6=10. 8.解：(1)在Rt△AOB中， ·∠A0B=90°，AB=25cm,OB=7cm, .由勾股定理，得0A=AB2-0B=√252-7产=24(cm). AC=4 cm, .0C=0A-AC=24-4=20(cm). (2)在Rt△COD中，∠C0D=90°，CD=25cm, .由勾股定理，得0D=√CD2-0C=√252-202= 15(cm), .BD=OD-OB=15-7=8(cm) 第2课时直角三角形全等的判定 1.B2.C3.B4.C5.76.2 7.证明：(1)AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠CAD ·.·AD⊥BC·.∠ADB=∠ADC=90° 在△ADB和△ADC中， ∠BAD=∠CAD. AD=AD. .∴.△ADB≌△ADC(ASA), ∠ADB=∠ADC. .AB=AC. (2).·△ADB≌△ADC,.BD=CD ·CD=CE,.BD=CE .EC⊥BC,∴.∠BCE=90° 在Rt△ABD和Rt△BEC中 (AB=BE, BD=EC, .Rt△ABD≌R△BEC(HL) 8.证明：(1).·∠C=∠C'=90 .△ACD和△A'C'D'都是直角三角形. 在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， (AD=A'D' AC=A'C', ∴.Rt△ACD≌Rt△A'CD'(HL) (2).Rt△ACD≌RI△A'C'D', ∴.CD=CD' AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线， .CB=C'B'=2CD. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中， AC=A'C' ∠C=∠C',∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS) CB=C'B'. 5线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质及判定 1.C2.D3.B4.B5.26.76°7.1+3 8.(1)证明：如图所示，连接BP,AP,PC .·PE垂直平分AB,PM垂直平分AC .PA=PB,PA=PC,..PB=PC .点P在线段BC的垂直平分线上 ·53·