11.3 等腰三角形-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学随堂小练（鲁教版五四制·新教材）

如图2，当△ADP≌△BCE,即点P在CD上运动时， PD=CE. .:CP=21-8-5=21-13. ..PD=CD-CP=8-(2t-13)=21-2t, .∴.21-2t=3,解得t=9. 图2 3 综上所述，当运动)s或9s时，△ADP与△BCE全等， 6.(1)证明：.·△ABC≌△ADE ∴.∠BAC=∠DAE ·,∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, .∴.∠CAE=∠BAD. (2)解：.△ABC≌△ADE,.∠D=∠B. .:∠AFD=∠EFB,∠D+∠FAD+∠AFD=180°，∠B+ ∠EFB+∠BEF=180°， .∠BED=∠BAD. ·.∠BAD=35°，.∠BED=35° 7.解：(1)△ABD≌△CFD, ∴.BD=FD,AD=DC. ·BC=7,AD=5, .∴，BD=BC-DC=BC-AD=7-5=2, FD=2,AF=AD-FD=5-2=3. (2)CE⊥AB.理由如下： .AD⊥BD,.∴.∠ADC=90°， ,∴.∠DFC+∠DCF=90° ·△ABD≌△CFD,∴∠B=∠DFC, .∴.∠B+∠DCF=90° 又.·∠CEB+∠B+∠DCF=180°， .∠CEB=90°，即CE⊥AB. 第3课时全等三角形的判定与性质的综合运用 1.证明：∠1=∠2， .∠1+LDAC=∠2+∠DAC, ..∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中 I∠B=∠D AB=AD. ∴.△ABC≌△ADE(ASA), ∠BAC=∠DAE. .BC=DE. 2.(1)证明：：E为AC的中点，∴.AE=CE. 在△AED和△CEF中， (AE=CE, ∠AED=∠CEF,∴.△AED≌△CEF(SAS), 、DE=FE ∴∠A=∠ACF,∴，CF∥AB. (2)解：.：∠A=∠ACF=70°，∠F=35° .∴.∠AED=∠CEF=180°-70°-35°=75° BE⊥AC,.∠AEB=90°， .∴.∠BED=90°-75°=15 3.(1)解：在△ABC中，.∠BAC=60°， .∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=180°-60°=120 ·.·∠BCN=180°-∠ACB,∠CBM=180°-∠ABC, .∠BCN+∠CBM=360°-（∠ACB+∠ABC)=360°- 120°=240°. 又：CP平分∠BCN,BP平分∠CBM, ∠PCB= 2∠BCN,LPBC= F2∠CBM, ·52. ∠PGB+LPBC=2(∠BCN+CBM))=120 在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC)=180°- 120°=60°. (2)证明：在CD上截取CF=BC,连接PF,如图所示. DA E 由(1)可知∠BPC=60°， .∴.∠CPD=180°-∠BPC=180°-60°=120° .·CP平分∠BCN,.∠PCF=∠PCB. 在△PCF和△PCB中， (CF=CB. ∠PCF=∠PCB,∴.△PCF≌△PCB(SAS), PC=PC. ∴.∠CPF=∠BPC=60°，PF=PB ∴.∠FPD=∠CPD-∠CPF=120°-60°=60°. .∠FPD=∠BPC=60°. ∠PBM是△ABD的外角，也是△BPE的外角， .∠PBM=∠BAC+∠FDP=∠BPC+∠E. .∠BAC=∠BPC=60°， .∴.∠FDP=∠E. 在△FDP和△BEP中， I∠FPD=∠BPE, ∠FDP=∠E,∴.△FDP≌△BEP(AAS), PF=PB. ∴.FD=BE,∴.CD=CF+FD=BC+BE. 4.证明：(1)∠BCD=45°，∠A=135°，点H在DC的延长 线上， ∴.∠BCH=180°-∠BCD=180°-45°=135°， .∠BCH=∠A. 在△BCH和△BAF中 (CB=AB. ∠BCH=∠A,∴.△BCH≌△BAF(SAS) CH=AF, (2)由(1)得△BCH≌△BAF. BH=BF,∠CBH=∠ABF, ∴.∠CBH+∠CBF=∠ABF+∠CBF .∠HBF=∠CBA CH=AF,..EH=CE+CH=CE+AF. ,EF=CE+AF,∴，EH=EF 在△BEH和△BEF中， BH=BF. EH=EF,∴.△BEH≌△BEF(SSS), BE=BE, :.LEBH=LEBF=2 ∠HBF, ∠EBF= 2∠CBA. 3 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质与判定 1.B2.C3.B4.D5.80°6.87.85 8.(1)等腰 (2)证明：.OC平分∠AOB .∠DOP=∠BOP. .·DN∥EM,∴.∠DPO=∠BOP .∠DOP=∠DPO,∴.OD=PD, .△DOP是等腰三角形 9.(1)证明：AF平分∠DAC .∴.∠DAG=∠FAC. ·.AF∥BE,∴.∠DAG=∠B,∠FAC=∠ACB .∴.∠B=∠ACB,.AB=AC, ·.△ABC是等腰三角形 (2)解：.：∠B=∠ACB,∠FAC=∠ACB, .∠B=∠FAC=∠ACB=40° .AG=AC, ∠ACG=∠AGC=180°-∠FAC180°-40 =70° 2 .AF∥BE,.∴.∠GCE=∠AGC=70° 第2课时等腰三角形中的重要线段 C2.C3B415.0或10 6.解：(1)AD=AE,∴.∠AED=∠ADE. '∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2， .∠B+∠1=∠2+∠C+∠2. .∠B=∠C,∠BAC=90°，D是BC的中点， .∠1=45°，∠1=2∠2， .∠2=22.5° 答案：22.5° (2)∠1=2∠2.证明：AD=AE,.∠AED=∠ADE. .·∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2. .∠B+∠1=∠2+∠C+∠2. ∠B=∠C, .∠1=2∠2 7.证明：(1)∠ABC=∠ACB,.AB=AC. A0=B,AB=ACA0=AE 在△ACD和△ABE中， (AD=AE, ∠CAD=∠BAE,∴，△ACD≌△ABE(SAS), AC=AB. .CD=BE (2)由(1)，得△ACD≌△ABE, .∠ACD=∠ABE. AB=AC,AD=AE,.'.BD=CE. 又.·∠CFE=∠BFD, ·.△BDF≌△CEF(AAS),.DF=EF 第3课时等边三角形的性质、判定与反证法 1.A2.C3.A4.∠B=∠C(答案不唯一)5.36.3 7.∠B等边对等角AB<AC∠C<∠B大边对大角 8.证明：(1)：∠BAC=90°，∠C=30 ,∴，∠ABC=90°-30°=60° BF平分∠ABC,.∠ABF=∠CBF=30° AD⊥BC,.∠ADB=90°， .∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=90°-30°=60° .·∠AFB=90°-∠ABF=90°-30°=60°， ∴.∠AFE=∠AEF=60°， ·.△AEF是等边三角形 (2).·∠ADB=90°，∠ABC=60°， ∠BAE=∠ABF=30°，.AE=BE 由(1)知△AEF是等边三角形， ∴.AE=EF,∴.BE=EF. 4直角三角形 第1课时勾股定理及其逆定理 1.C2.D3.B 4.面积相等的两个三角形是全等三角形 6.2.5 7.解：在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD2=√17-152=8. 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2=√82+6=10. 8.解：(1)在Rt△AOB中， ·∠A0B=90°，AB=25cm,OB=7cm, .由勾股定理，得0A=AB2-0B=√252-7产=24(cm). AC=4 cm, .0C=0A-AC=24-4=20(cm). (2)在Rt△COD中，∠C0D=90°，CD=25cm, .由勾股定理，得0D=√CD2-0C=√252-202= 15(cm), .BD=OD-OB=15-7=8(cm) 第2课时直角三角形全等的判定 1.B2.C3.B4.C5.76.2 7.证明：(1)AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠CAD ·.·AD⊥BC·.∠ADB=∠ADC=90° 在△ADB和△ADC中， ∠BAD=∠CAD. AD=AD. .∴.△ADB≌△ADC(ASA), ∠ADB=∠ADC. .AB=AC. (2).·△ADB≌△ADC,.BD=CD ·CD=CE,.BD=CE .EC⊥BC,∴.∠BCE=90° 在Rt△ABD和Rt△BEC中 (AB=BE, BD=EC, .Rt△ABD≌R△BEC(HL) 8.证明：(1).·∠C=∠C'=90 .△ACD和△A'C'D'都是直角三角形. 在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， (AD=A'D' AC=A'C', ∴.Rt△ACD≌Rt△A'CD'(HL) (2).Rt△ACD≌RI△A'C'D', ∴.CD=CD' AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线， .CB=C'B'=2CD. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中， AC=A'C' ∠C=∠C',∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS) CB=C'B'. 5线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质及判定 1.C2.D3.B4.B5.26.76°7.1+3 8.(1)证明：如图所示，连接BP,AP,PC .·PE垂直平分AB,PM垂直平分AC .PA=PB,PA=PC,..PB=PC .点P在线段BC的垂直平分线上 ·53·3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质与判定 1.已知等腰三角形的一个外角等于80°，则它的 8.如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺 顶角是 DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点 A.20° B.100° D落在OA边上，DN边与OC交于点P. C.20°或100° D.不能确定 (1)猜想：△DOP是 三角形 2.如图，已知DE∥BC,AB=AC,∠1=120°，则∠C (2)证明你的猜想，写出解答过程. 的度数是 (） A DA B B A.80° B.70° C.60° D.50° 3.下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形 框架的是（单位：cm) A.2,3,4 B.3,7,7 C.2,2,6 D.5,6,7 4.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的 是 ( 9.如图，已知点D,E分别是△ABC的边BA和BC A.AB=3,AC=3,BC=4 延长线上的点，作∠DAC的平分线AF,若 B.∠A:∠B:∠C=3:4:4 AF∥BC. C.∠B=50°，∠C=80° (1)求证：△ABC是等腰三角形 D.AB:AC:BC=4:5:6 (2)点G是AF上一点，连接CG,若∠B=40°， 5.如图，△ABC中，AB=AC,AE=DE,∠BAE=30°， AG=AC,求∠GCE的度数. ∠CED=45°，则∠DAE= D B B 6.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称 为格点.已知图中A,B两个格点，请在图中再 寻找另一个格点C,使△ABC成为等腰三角形， 则满足条件的点C有 个 B D 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中 线，已知∠CAD=40°，∠BDE=35°，则∠AED的 度数是 .36· 第2课时等腰三角形中的重要线段 1.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC, 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C,D,E分别是线段 BC=BD,AD=DE=BE,则∠A= ( BC,AC上的一点，且AD=AE. A.30° B.36° C.45° D.50° A B4 2C B D E 图1 图2 (1)如图1，若∠BAC=90°，D为BC的中点，则 B C D ∠2的度数为 第1题图 第2题图 (2)如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,S△ABc=27, 关系，并给予证明 直线EF垂直平分线段AB,若点D为边BC的 中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长 的最小值为 ( A.10 B.11 C.12 D.13 3.如图，△ABC中，∠ABC=45°，BE平分∠ABC, BE⊥AC于点E,H是BC边的中点，过点C作 CD⊥AB于点D,连接DH与BE相交于点G,下 列结论：①AB=BF,②∠A=67.5;3△DcF 是等腰三角形；④S四边形DGB=S四边形GHCE,正确的 7.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D,E分 有 别在边AB和AC上，连接BE,CD,交点为F,且 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 0-写，46=写4C求证 (1)CD=BE. (2)DF=EF. H E B 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC中，AB=AC=2,P是BC上任意 点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC= 1,则PE+PF= 5.如图，∠B0C=60°，点A是B0延长线上的一 点，OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以 2cm/s的速度移动，动点Q从点0出发沿OC 以1cm/s的速度移动，如果点P,Q同时出发， 用t(s)表示移动的时间，当t= s时， △POQ是等腰三角形. C 60° 0 ·37· 第3课时等边三角形的性质、判定与反证法 1.用反证法证明命题：“已知△ABC,AB=AC,求 求证：AB>AC. 证：∠B<90°.”第一步应先假设 (完成以下说理过程) A.∠B≥90° B.∠B>90° 证明：假设AB=AC, C.∠B<90° D.AB≠AC .∠C= 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC= 假设 4,则AB的长是 ( ( .无论上述哪种情况，都与∠C>∠B矛盾， 假设不成立， ..AB>AC. B 8.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， A.4 B.6 C.8 D.10 AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,交AD于点E, 3.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中 交AC于点F.求证： 线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的 (I)△AEF是等边三角形 延长线于点E,则∠BDE等于 (2BE=EF. E A.120° B.110° C.100° D.140° 4.在△ABC中，∠A=∠B,若添加一个条件使 △ABC是等边三角形，则添加的条件可以 是 .(写出一个即可) 5.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠ABC= ∠ACB=15°，CD⊥BA,交BA的延长线于点D, 则CD的长为 B 6.如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上 一点，作DE∥AB交AC的延长线于点E.若 AB=5,AE=8,则DE的长为 A D 7.用反证法证明：在三角形中，大角对大边. 已知：如图，在△ABC中，∠C>∠B. ·38·