11.3 第2课时等腰三角形中的重要线段&培优专题9 等腰三角形中的分类讨论思想-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

12.证明：(1)如图 .·EFAD, .∴.∠1=∠4，∠2=∠P AD平分∠BAC, .∠1=∠2，..∠4=∠P ∴.AF=AP,即△APF是等腰三角形 (2).·CH∥AB, ∴.∠5=∠B,∠H=∠1. EF∥AD,.∠1=∠3，.∠H=∠3. 在△BEF和△CDH中， I∠B=∠5， ∠3=∠H,.△BEF≌△CDH(AAS), BE=CD, .BF=CH. .AD平分∠BAC, .∠1=∠2，.∠2=∠H,.AC=CH,AC=BF AB=AF+BF,PC=AP+AC.AF=AP, ∴.AB=PC. 微专题9方程思想与整体思想在等腰三角形中的应用 1.解：设∠A=x. .AD=BD,.∠ABD=∠A=x .·DB=BC,∴.∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2x 在△BDC中， ,∠DBC+∠C+∠BDC=180° .∴20°+2x+2x=180°，解得x=40°，即∠A=40° 2.解：·BE=DE=AD, ∴.设∠EBD=∠EDB=x,则∠A=∠AED=2x, ..∠BDC=∠A+∠ABD=3x. AB=AC,BD=BC,∴.∠BDC=3x=∠C=∠ABC. ,·在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180°， 即2x+3x+3x=180°，解得x=22.5°， .∴.∠C=67.5°. 3.B解析：BD=CD=CE, ∴.∠B=∠DCB,∠E=∠CDE. ∠ADC+∠ACD=114°， .∴.∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=114°， .∴.∠DCB+∠CDE=57°， .∠DFC=180°-57°=123°.故选B. 4.解：.OA=OB=OC ∴.∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB, ∴.∠OAB+∠OCB=∠ABC. ,·∠ABC=70°，∴.∠AOB+∠C0B=360°-70°×2=220° ,∴.∠A0C=360°-220°=140°. ,·∠D=70°，∴.∠DA0+∠DC0=360°-140°-70°=150° 第2课时等腰三角形中的重要线段 1.18解析：在△ABC中， ∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O, ,∴.∠AB0=∠OBC. ·MNBC,∴.∠MOB=∠OBC, .∴.∠ABO=∠MOB, .BM=OM.同理CN=ON ·△AMN的周长是AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+ BM+CN+AN=AB+AC=10+8=18. 2.证明：，·AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, BD,CE是高，.∠BEC=∠CDB=90° 在△BEC和△CDB中， .·∠BEC=∠CDB,∠EBC=∠DCB,BC=CB, ..△BEC≌△CDB(AAS), ∴.∠DBC=∠ECB, .FB=FC,∴.△BFC是等腰三角形 3.证明：AB=AC,AD是BC边上的中线， ..∠B=∠ACB,AD⊥BC .∠CAD+∠ACB=90°. 又.CE⊥AB,∴.∠BCE+∠B=90° .∠CAD=∠BCE. 4.B解析：：CE平分∠ACB, 1 LACE=LBCE=2∠ACB .CD=CA,CH⊥AD于，点H, 1 ·∠ACH=∠DC1=2∠ACD(等腰三角形三线合一)， ∠ECA+∠HCA=)×180°=903.故选B 5.证明：.CD⊥AD, .∠DAC+∠ACD=∠ADE+∠EDC=90°. .DE=CE,.∠EDC=∠ACD .∠DAC=∠ADE. AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC, .∠BAD=∠ADE,.DE∥AB. 6.证明：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE. AD是底边的中线， .BD=CD. 在△ADC和△EDB中、 .AD=ED,∠CDA=∠BDE,CD=BD .△ADC≌△EDB(SAS), ..BE=AC,∠E=∠CAD AD是角平分线， ∴.∠CAD=∠BAD,.∠E=∠BAD, .AB=BE,.AB=AC,即△ABC是等腰三角形 7.C解析：如图，延长AP交BC于 点E. :BP平分∠ABC, .∴.∠ABP=∠EBP .AP⊥BP .∴.∠APB=∠EPB=90 在△ABP和△EBP中， :∠ABP=∠EBP,PB=PB,∠APB=∠EPB, .△ABP≌△EBP(ASA), ∴.AP=PE,.SAABP=S△EBP,S△ACn=S△BGP, Saac=2Sac=2×9=4.5(cm).故选C 8.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠CAD. AD平分∠BAC,.∠EAD=∠CAD .∠EAD=∠EDA. BD⊥AD, ∴.∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA=90°， .∠EBD=∠BDE,DE=BE, .△BDE是等腰三角形. 9.解：BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE. .·∠BAC=90°， ∴.∠AEF=90°-∠ABE. .·AD⊥BC,∴.∠AFE=∠DFB=90°-∠CBE, .∠AFE=∠AEF, AE=AF,即△AFE为等腰三角形. 又.G为EF的中点，EG=1, ∴.EF=2,AG⊥EF AG=2, △ABF的面积=了，BF,AG=子x2x2=2 10.证明：(1).·CE⊥AD,BE⊥CE, ∴.∠ADC=∠ADF=∠CEB=∠ACB=90°， .∠BCE+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°， .·.∠BCE=∠CAD 在△BCE和△CAD中」 '∠BEC=∠CDA,∠BCE=∠CAD,BC=CA, .△BCE≌△CAD(AAS), .BE=CD,CE=AD. AD平分∠BAC, .∴.∠CAD=∠FAD. .·∠CAD+∠ACD=∠FAD+∠AFC=90°， .∠ACD=∠AFC,∴.AC=AF,.CD=DF, .AD=CE=DE+CD=DE+DF. (2)如图，连接CG. ,·∠DGF=∠DFG ∴.CD=DF=DG, .∴.∠DCG=∠DGC. ·.∠CGF=∠DGC+LDGF=∠DCG+∠DFG. :∠CGF+∠DCG+∠DFG=180°， ∠CGF=180 2 =90°， ∴.CG⊥AB. 又AC=BC,∴AG=BG,即G是AB的中点. 微专题10角平分线模型之—平分平行构等腰 1.解：.BP平分∠ABC,.∠ABP=∠PBD PD∥AB,∴.∠ABP=∠DPB,∴.∠PBD=∠DPB, ..BD=PD,同理CE=PE, CAPDE=PD+PE+DE=BD+CE+DE, 即CAPDE=BC=5cm. 2.证明：(1).AB=AC,∴.∠ABC=∠C MN//BC. ..∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C .∠AMN=∠ANM,.AM=AN, ∴.△AMN是等腰三角形. (2)BP平分∠ABC,.∠MBP=∠CBP. .·MNBC,∴.∠MPB=∠CBP, .∴.∠MBP=∠MPB,.∴.MB=MP .△BPM是等腰三角形 培优专题九等腰三角形中的分类讨论思想 1.C解析：.1m-31+(n-5)2=0,1m-3≥0，(n-5)2≥0， ∴.m-3=0,n-5=0, 解得m=3,n=5. 当m=3作腰时，三边为3,3,5，符合三边关系定理，周长为 3+3+5=11; 当n=5作腰时，三边为3,5,5，符合三边关系定理，周长为 3+5+5=13.综上，它的周长为11或13.故选C. 2.C解析：由题意，可设这个等腰三角形为△ABC,且∠B= 2∠C. 情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A,则∠A=∠B= 2∠C. 由三角形内角和为180°，可知∠A+∠B+∠C=180°， .5∠C=180°，.∠C=36°，∴.∠A=∠B=72°， 3 此时“可爱角”为∠A=72. 情况二：当∠C是底角时，则另一底角为∠A,则∠B=2∠A= 2∠C, 由三角形内角和为180°，可知∠A+∠B+∠C=180°， ∴.4∠C=180°，即∠C=45° 此时“可爱角”为∠A=45. 综上，这个三角形的“可爱角”应该是45°或72.故选C. 3.C解析：分为两种情况： (1)当这个102°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角 形的顶角为78°： (2)当这个102°的外角为底角的外角时，可以得到这个等 腰三角形的底角为78°， ..顶角为180°-78°-78°=24° 综上，顶角为24°或78°.故选C 4.70°或20°解析：①当△ABC是钝角等腰三角形时，如图1 所示， D 由题意，得∠ABD=50°，∠D=90°， 、月 ..∠BAC=∠D+∠ABD=90°+50°=B% 140°， 图1 ∠C=∠ABC=180°-∠BAC_180°-140 =20°. 2 2 ②当△ABC是锐角等腰三角形时，如图2 所示， 由题意，得∠ABD=50°，∠ADB=90°， ∴.∠BAC=180°-∠ABD-∠ADB= 180°-50°-90°=40°， ·∠C=∠ABC=180-∠BAC-180°-40 2 2 70°. 图2 故该三角形底角的度数为70°或20° 5.C解析：如图，DE垂直平分AB,垂足为E, .DA=DB, 六∠DAB=∠DBM=180-∠ADB 2 180°-80°=50. 2 当点C在线段DE上，∠CAD=10°时， 则∠CAB=50°-10°=40°，CA=CB, ..∠CAB=∠CBA=40°， .∠ACB=180°-40°-40°=100°； 当点C'在ED的延长线上，∠C'AD=10°时，则∠C'AB=50°+ 10°=60°，CA=C'B. .∠CAB=∠C'BA=60°， .∠ACB=180°-60°-60°=60°. 综上所述，∠ACB的度数为60°或100°.故选C. 6.20°或100°解析：设LABC的平分线交AC于点E, 当∠BEC=60°时，如图1，AB=AC, ·∠ABC=∠C=180°-∠A 2 ·∠ABE=LABC-=180°-LA 2 ·.·∠ABE+∠A=∠BEC, 180°-LA+∠A=60, 4 图1 ..∠A=20°： 当∠AEB=60°时，如图2， .·AB=AC, ∠ABC=∠C=180°-LA 2 ·∠ABE=∠ABC-180°-∠A 2 4 图2 ,∠ABE+∠A+∠BEA=180°， 180°-∠A 4 +∠A+60°=180°，.∠A=100° 综上所述，∠A的度数为20°或100 7.8解析：设腰长为2x, 则(2x+x)-(5+x)=3或(5+x)-(2x+x)= 3,解得x=4或x=1, ..2x=8或2. ①当2x=8时，三角形ABC三边长为8,8，B 5,符合三角形三边关系定理： ②当2x=2时，三角形ABC三边长是2,2,5,2+2<5，不符合 三角形三边关系定理，舍去 故腰长为8cm. 8.18cm或12cm解析：设该三角形的腰长是xcm,底边长 是ycm.根据题意，得一腰上的中线将这个三角形的周长分 为27cm和18cm两部分 =27 x+ (=18 x+ 2 2 或 +2=18 p227, 解得=8，支=2， y=9 (y=21, 经检验，都符合三角形的三边关系， 因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm. 9.C解析：分三种情况： ①OA=OP、 则∠A=∠0P1=(10-20)=10-0y75 1 ②AO=AP, 则∠AP0=∠0=30°， ∴.∠A=180°-∠0-∠AP0=180°-30°-30°=120°： ③PO=PA, 则∠A=∠0=30°. 综上所述，当∠A=75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角 形.故选C 10.D解析：由题意，可知以AP,AB为腰的等腰三角形有1 个；以AP,BP为腰的等腰三角形有2个：以BP,AB为腰的 等腰三角形有4个.所以，这样的点P共有7个.故选D. 11.50°或65°或80°或25°解析：要使△0AB为等腰三角形， 分三种情况讨论： B2/6 B B、 1 0 B2- ①当OB1=AB,时，∠OAB,=∠1=50°； ②当0A=AB2时，∠0AB2=180°-2×50°=80°； ③当01=0B,时，∠0AB,=∠0B,A=(1-0)=6: 1 当0A=0B,时，∠0AB=∠0B,A=2∠1=259， 综上所述，∠0AB的度数是50°或65°或80°或25. 3 第3课时等边三角形的性质、判定与反证法 1.D2.∠B=60°（答案不唯一） 3.证明：.·∠A=120°，AB=AC. ∠B=∠C=30°. 又.DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠BED=∠CFD=90° .∠BDE=∠CDF=90°-30°=60° .∴.∠EDF=180°-60°×2=60°. ·D是BC的中点，∴.BD=CD. 在△BDE和△CDF中， .·∠B=∠C,BD=CD,∠BDE=∠CDF .△BDE≌△CDF(ASA), .DE=DF, .△DEF是等边三角形 4.C 5.证明：△ABC为等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60° M为BC的中点， ∠BMM=∠BMC=30. .MN⊥AB,∴.∠ANM=90°， .AM=2MN. 6.C7.120°8.A 9.证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角， 不妨设LA,∠B为钝角， 则∠A+∠B>180°，这与“三角形的内角和定理”相矛盾，故 假设不成立，即原命题正确。 10.D11.8cm 12.1.5解析：如图，延长AD交BC于点N,延长ED交BC于 点M. ,·AB=AC,AD平分∠BAC ∴.AN⊥BC,BN=CN .·∠EBC=∠E=60°， △BEM为等边三角形， .BE=EM=BM=2.5,∠EMB=60°. AN⊥BC,.∠DNM=90°， .∴.∠NDM=90°-60°=30° BC=4,BN=2, ∴.NM=2.5-2=0.5,.DM=2NM=1, .DE=EM-DM=2.5-1=1.5. 13.解：△APQ为等边三角形.证明如下： :△ABC为等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60° 在△ABP和△ACQ中， AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ. .△ABP≌△ACQ(SAS), ∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. .·∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， .∴.∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， .△APQ是等边三角形. 14.证明：(1)：△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABC=60°. .·CE=CD,.∠E=∠CDE. ∠ACB=LB+LCDE,∠E=2∠ACB=30 .·DM⊥BC,.DE=2DM.练测考七年级数学下册LJ 第2课时 等腰 基础夯实 》知识点一双角平分线问题 1.如图，在△ABC中，AB=10, AC=8,∠ABC,∠ACB的平 分线相交于点O,MN过点 M O,且MN∥BC,分别交AB, AC于点M,N,则△AMN的 B 周长为 》知识点二双垂线问题 2.如图，在△ABC中，AB=AC,高BD和CE相交 于点F,求证：△BFC是等腰三角形 》知识点三中线、垂线问题 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 中线，CE⊥AB于点E.求证：∠CAD=∠BCE. 》知识点四角平分线、垂线问题 4.如图，CE平分∠ACB,CD=CA,CH⊥AD于点 H,则∠ECA与∠HCA的关系是 ( A.相等 B.和等于90° C.和等于45° D.和等于60° 110 三角形中的重要线段 5.如图，在△ABC中，过点A作AD平分∠BAC,交 BC于点F,过点C作CD⊥AD,垂足为点D,在 AC上取一点E,使DE=CE,求证：DEAB. 》知识点五中线、角平分线问题 6.如图，在△ABC中，AD既是底边的中线，也是顶 角的平分线，求证：△ABC是等腰三角形， 能力提升 7.如图，△ABC的面积为 9cm2,BP平分∠ABC, AP⊥BP于点P,连接PC, 则△PBC的面积为 A.3 cm2 B.4 cm2 C.4.5cm2 D.5 cm2 8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,BD⊥AD, 垂足为点D,过点D作DE∥AC,交AB于点 E.求证：△BDE是等腰三角形 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,BE 平分∠ABC,G为EF的中点，AG=2,EG=1, 求△AEF的面积 微专题10解题模型 角平分线模型之 【模型解读】如图，在 △ABC中，BD平分∠ABC, DE∥BC,交AB于点E AF∥BC,交BD的延长线于 点F,则△BDE和△BAF都是等腰三角形 构造等腰三角形时，通常过已知端点作平行 线，也可以过，点D或C作AB的平行线来构造 等腰三角形 【题组训练】 1.在△ABC中，BC=5cm,BP,CP分别是 ∠ABC,∠ACB的平分线，且PD∥AB,PE∥ AC,求△PDE的周长 第十一章三角形的证明及其应用 索养培优 10.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC, CE⊥AD,BE⊥CE,垂足分别为D,E. (1)求证：AD=DE+DF, (2)点G在AB上，若∠DGF=∠DFG,求证： G是AB的中点. 平分平行构等腰 2.如图，在△ABC中，AB=AC,M,N分别是 AB,AC边上的点，并且MN∥BC (1)求证：△AMN是等腰三角形 (2)点P是MN上的一点，并且BP平分 ∠ABC,求证：△BPM是等腰三角形 111 练测考七年级数学下册L小 培优专题九等腰三 类型一等腰三角形的腰和底不明确时需讨论 1.已知等腰三角形的两边长分别是m,n,若m, n满足1m-31+(n-5)2=0,则它的周长是 A.11 B.13 C.11或13 D.11或15 类型二等腰三角形顶角与底角不明确时需讨论 2.若△ABC中刚好有∠B=2∠C,则称此三角形 为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”.现 有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的 同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是 A.45°或36° B.72°或36 C.45°或72° D.36°或72°或45 3.等腰三角形的一个外角为102°，则等腰三角 形的顶角为 A.24° B.78° C.24°或78° D.102° 类型三等腰三角形形状不确定时需讨论 角度1有高无图时 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，则该三角形底角的度数为 角度2有垂直平分线时 5.已知线段AB的垂直平分线上有两点C,D,若 ∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=() A.80° B.90° C.60°或100° D.40°或90° 角度3有角平分线时 6.△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分线与AC边 所夹的锐角为60°，则∠A= 112 角形中的分类讨论思想 类型四中线分割等腰三角形周长问题中的分 类讨论 7.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把 其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为 cm. 8.已知一个等腰三角形的周长为45cm,一腰上 的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部 分，则这个等腰三角形的腰长为 类型五因动点引起的分类讨论 9.如图，已知点P是射线OD上一动点（即点P 可在射线OD上运动)，∠A0D=30°，当∠A= 时，△AOP为等腰三角形.（) 0 A.120° B.30°或75° C.30°或75°或120° D.120°或75°或45°或30° 10.如图，平面直角坐标系中存在点A(3,2),点 B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP, 使得点P在坐标轴上，则这样的点P有 () 2 B -10123x -2 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 11.如图，直线a,b相交于点0，∠1=50°，点A 是直线a上的一个定点，点B在直线b上运 动，若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰 三角形，则∠OAB的度数是 .b 70