培优专题11 角平分线中常用的作辅助线的方法&培优专题12 线段垂直平分线、角平分线的综合应用-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

在△AED与△AFD中， (∠E=∠AFD=90°， ∠EAD=∠FAD, AD=AD. .△AED≌△AFD(AAS),.AE=AF .AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AF=2AE. 15.(1)证明：如图1，过点E作EF⊥DA于点F ∠C=90°，DE平分∠ADC, ∴.CE=EF. E是BC的中点， .'BE=CE,..BE=EF. ,·∠B=90°，∴.EB⊥AB 图 又.·EF⊥AD,.AE平分∠DAB. (2)证明：如图2，延长DE交AB的延长 线于点M. ABCD,.∠2=∠M. ∠1=∠2，.∠1=∠M, .AD=AM, .△ADM为等腰三角形 图 E是BC的中点，.BE=CE. (∠M=∠2」 在△BEM和△CED中，{∠MEB=∠DEC, BE=CE '.△BEM≌△CED(AAS) .EM=ED,点E为DM的中点，.AE⊥DE. (3)解：AE平分∠DAB. [提示]由(2)，知△ADM为等腰三角形，ED=EM, .AE平分∠DAB. 第2课时角平分线的应用 1.D2.C3.814.6 5.解：如图所示，点P即为所求。 6.(1)证明：：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBF. DF⊥BC,.∠DFB=∠BAD=90 又.BD=BD,∴.△ABD≌△FBD(AAS), ∴.∠ADB=∠BDF,AB=BF. (2)解：AD=AG.理由如下： :AE是斜边BC上的高，.AE⊥BC 又.DF⊥BC,∴.∠AEB=∠DFB=90°，∴.AEDF ∴.∠BGE=∠BDF. 又.∠BGE=∠AGD,∠ADB=∠BDF, ·∠AGD=∠ADB, .AD=AG. 7.A8.29.10 10.证明：如图，过点C作CG⊥OA于点 G,CF⊥OB于点F. 在△MOE和△VOD中 .·OM=ON,∠MOE=∠NOD,OE=OD, EF .∴.△MOE≌△NOD(SAS), .S△MoE=S△0D, .S△MOE-S四边形ODGE=S△oD-S四边形0DcE, 即SAMDC=S△EC 3 OM=ON,OD=OE,..MD=NE. 2DM CC=2 EN CF,CG=CF. 又.：CG⊥OA,CF⊥OB .点C在∠AOB的平分线上. 11.证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F .·A0平分∠BAC,.OE=OF .·∠1=∠2，.OB=0C 在Rt△OBE和Rt△OCF中， .OB=OC,OE=OF, .Rt△OBE≌Rt△OCF(HL), .∠5=∠6，.∠1+∠5=∠2+∠6， 即∠ABC=∠ACB, .AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 12.解：BF=CG.证明如下： 连接EB,EC,如图. AE是∠BAC的平分线 且EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G, ∴.EF=EG .·ED⊥BC于点D,D是BC的中点. .EB=EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中， (EB=EC, EF=EG. ..Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),.BF=CG. 微专题12角平分线在求图形的面积中的应用 1.31.52.2:3:43.4 培优专题十一角平分线中常用的作辅 助线的方法 1.解：能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长 理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E,则点E就是 所要确定的点（如图）. .·AD平分∠CAB,∠C=90° DE⊥AB,.DC=DE 在Rt△ACD和Rt△AED中， (AD=AD, DC=DE. .Rt△ACDRt△AED(HL),.∴.AC=AE. .·AC=BC ∴.△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+ BE=AE+BE=AB. 2.解：∠BDP+∠BEP=180°.证明如下： 如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则 ∠PMD=∠PWE=90° .·BP平分∠ABC ..PM=PN. 在Rt△DPM和Rt△EPW中， (PD=PE, PM=PN. .Rt△DPM≌Rt△EPN(HL), .∠ADP=∠BEP .∠BDP+∠ADP=180°， .∠BDP+∠BEP=180° 3.证明：如图，延长CE,BA交于点F .CE⊥BD ∴.∠BEF=∠BEC=90° ,·BD平分∠ABC .∠FBE=∠CBE 在△BEF和△BEC中， ,∠BEF=∠BEC,BE=BE,∠FBE=∠CBE .∴.△BEF≌△BEC(ASA),∴.EF=EC, .CF=2CE. .∠BAC=90°， .∠FAC=∠BAC=90°，.∠F+∠ACF=90°， ,·CE⊥BD,∴.∠F+∠ABD=90°，∴.∠ACF=∠ABD 在△ACF和△ABD中， .·∠FAC=∠DAB,AC=AB,∠ACF=∠ABD ..△ACF≌△ABD(ASA),.BD=CF .BD=2CE. 4.证明：如图，在AB上截取AF=AD,连 接EF AE,BE分别平分∠BAD,∠ABC, .∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEF和△AED中， 2 ,·AF=AD,∠3=∠4，AE=AE, .△AEF≌△AED(SAS), .∠AFE=∠D. .:AD∥BC,∴.∠D+∠C=180° ·∠AFE+∠BFE=180°，∴.∠BFE=∠C 在△BEF和△BEC中、 ∠BFE=∠C,∠1=∠2，BE=BE, .△BEF≌△BEC(AAS),.BF=BC, ∴.AD+BC=AF+BF=AB 即AB=AD+BC 培优专题十二线段垂直平分线、 角平分线的综合应用 1.D2.65° 3.(1)证明：DE⊥AB于点E, .∠DEB=90°. 又AD平分∠BAC,∠C=90° .DC=DE. 在RI△DCF和RI△DEB中，DC=DE, (DF=DB. Rt△DCF≌Rt△DEB(HL), .CF=EB. (2)证明：连接CE,如图， 在R△ACD和R△MBD中，DC=DE, (AD=AD ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴.AC=AE, .·.点A在CE的垂直平分线上。 DC=DE. ,,点D在CE的垂直平分线上， .AD垂直平分CE. (3)解：设CF=BE=x, .AB=10,AF=6, .AE=AB-BE=10-x,AC=AF+FC=6+x AE=AC,.10-x=6+x,解得x=2, ∴.CF=2. 4.(1)证明：连接CD,BD,如图所示. :DG为BC的垂直平分线， .CD=BD ·DE⊥AB,DF⊥AC, ..∠DEB=∠DFC=90° 在Rt△DEB和Rt△DFC中， (BE=CF, BD=CD. .'.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL), .DE=DF. 又DE⊥AB,DF⊥AC, .AD为∠CAB的平分线。 (2)解：在R△AFD和R△AED中，{D=AD, (DF=DE, .Rt△AFD≌Rt△AED(HL), .AE=AF. 又BE=CF, 片AB-AE=AF-AC,即AE=】(AB+AC). 2 .AB=8,AC=6,∴.AE=7. ★问题解决策略：反思 1.C2.53.14 4.证明：(1)，AD平分∠BAC, .∠BAD=∠EAD. .DE∥AB,.∠BAD=∠ADE ∴.∠EAD=∠ADE,∴.AE=DE. (2)由(1)，知AE=DE 又AE=BF,.BF=DE. 又DE∥AB,∴.∠BFD=∠EDF. 在△BFD与△EDF中， (BF=ED. ∠BFD=∠EDF,.△BFD≌△EDF(SAS), FD=DF .BD=EF 5.(1)证明：.BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥BC,垂 足分别为点E,F, .DE=DF. (2)解：DE⊥AB,DF⊥BC,DF=DE=4, 5m24B.0B=2×164=2, Sam=78C.DF=7B0x4=80-32=48, ..BC=24. 6.(1)解：.·CA=CD=3,.∠CAD=∠CDA .AD⊥DF,∴.∠ADF=90°， ∴.∠F+∠FAD=90°，∠ADC+∠CDF=90°， ..∠F=∠CDF,∴.CD=CF=3, ..AF=AC+CF=6. (2)证明：：∠B=30°，∠ADC=40°，AC=CD, .∠ADC=∠CAD=40°， ..∠CAB=180°-30°-40°-40°=70°. CE//AD, ∴.∠BCE=∠ADC=40」 .∠AEC=∠B+∠BCE=30°+40°=70°， ..∠AEC=∠CAB, .AC=EC. 7.(1)解：BD平分∠ABC,∠BAD=90°，∠BCD=90°， DA=DC(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 8练测考七年级数学下册J 培优专题十一角平分线中常用的作辅助线的方法 因为含有角平分线的三角形已经具备了全 方法三延长线段作对称图形法 等三角形的两个条件（角相等和公共边），所以 3.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分 在处理角平分线的问题时，常作出全等三角形 ∠ABC,CE⊥BD于点E.求证：BD=2CE. 的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作 垂线段或延长线段等来构造全等三角形 方法一作一边的垂线段 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平 分∠CAB,交BC于点D,能否在AB上确定一 点E,使△BDE的周长等于AB的长？并说明 理由. 方法四截取线段作对称图形法 4.如图，AD∥BC,∠ABC和∠BAD的平分线相 方法二作两边的垂线段 交于点E,过点E的直线分别交AD,BC于点 2.如图，P为∠ABC的平分线上的一点，点D和 D,C,求证：AB=AD+BC. 点E分别在BA和BC上，且BD<BE,PD= PE,试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并 给予证明. 132 第十一章三角形的证明及其应用 培优专题十二线段垂直平分线、角平分线的综合应用 1.如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交 4.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平 点，O是三边垂直平分线的交点，连接A1,B1, 分线，分别过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 A0,B0,若∠A0B=140°，则∠AIB的大小为 分别为点E,F,且BE=CF (1)求证：AD为∠CAB的平分线， A.160° B.140° (2)若AB=8,AC=6,求AE的长， C.130° D.125° D C 第1题图 第2题图 2.如图，点A为∠MON的平分线上一点，过点A 任意作一条直线分别与∠MON的两边相交 于B,C,P为BC的中点，过点P作BC的垂线 交射线OA于点D,若∠MON=115°，则 ∠BDC的度数为 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°， DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF (1)求证：CF=EB. (2)连接CE,求证：AD垂直平分CE. (3)若AB=10,AF=6,求CF的长. 133