第11章 三角形的证明及其应用章末复习-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

练测考七年级数学下册J 章末 一核心考点练真题 》考点一三角形的内角与外角 1.(2025·南充)如图，把含有60°的直角三角板 斜边放在直线1上，则∠α的度数是() ○602一1 A.120° B.130°C.140° D.150° 2.(2025·台湾)如图，△ABC中有AD,D点在 BC上.根据图中标示的度数，求p+g+r之值 是多少？ A.140 B.150 C.160 D.180 p30 r°70c D B 第2题图 第3题图 》考点二全等三角形 3.(2025·凉山州)如图，AB=AC,AE=AD,点E 在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则 ∠ABC的度数为 () A.56° B.60° C.62° D.64° 4.(2025·福建)如图，点E,F分别在AB,AD的 延长线上，∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD 求证：AB=AD, 136 复习 5.(2025·河北)如图，四边形ABCD的对角线 AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB, 点F在ED上，∠BAF=∠EAD. (1)求证：△ABC≌△AFD. (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD B 》考点三等腰三角形 6.(2025·资阳)如图，在四边形ABCD中， ∠A=∠B,点E在线段AB上，CE∥DA.若使 △BCE成为等边三角形，可增加的一个条件 是 第6题图 第7题图 7.(2025·南通)南通是“建筑之乡”，工程建筑 中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计 图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD, EF垂直于横梁BC.若AC=4.8m,∠C=30°， 则EF的长为 m. 8.（2025·广安改编)如图，在等腰Rt△ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC=2,D是BC边上的一个 动点，连接AD,则AD的最小值为 B 》考点四直角三角形 9.(2025·辽宁)如图，在长方形ABCD中，点E 在边AD上，BE=BC,连接CE,若AB=3,AE= 4,则CE的长为 D B A.1 B.5 C.22 D.√10 10.(2025·连云港)如图，长为3m的梯子靠在 墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m, 则梯子顶端的高度h为 m. 1.8 》考点五线段垂直平分线 11.(2025·连云港)如图，在△ABC中，BC=7, AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E, AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G, 则△AEG的周长为 A.5 B.6 C.7 D.8 12.(2025·达州)如图，在△ABC中，AB=AC= 8,BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点 E,交AC于点D,则△BDC的周长为() A.21 B.14 C.13 D.9 第十一章三角形的证明及其应用 》考点六角平分线 13.(2025·北京)如图，∠M0N=100°，点A在 射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画 弧，交射线ON于点B.若分别以点A,B为圆 心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部 交于点C,连接AC,则∠OAC的大小为 IB N A.80° B.100° C.110° D.120° 14.(2025·大庆改编)如图，Rt△ABC中， ∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=√3.在AB和 AC上分别截取AM,AN,使AM=AN.分别以 M,N为圆心、以大于)MN的长为半径作 弧，两弧在∠BAC内交于点F.作射线AF交 BC于点D,则点D到AC的距离为 15.(2025·重庆)学习了角平分线和尺规作图 后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平 分线的另一种作法，并与她的同伴进行交 流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法 与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线。 小红在∠AOB的边OA上任取一点E,并过 点E作了OA的垂线（如图）.请你利用尺规 作图，在OB边上截取OF=OE,过点F作 OB的垂线与小红所作的垂线交于点P,作 射线OP,OP即为∠AOB的平分线（不写作 法，保留作图痕迹). 137 练测考七年级数学下册J 第二步：利用三角形全等证明她的猜想。 证明：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ① ② -’:.Rt△OEP≌Rt△OFP(HL), ③ ,∴.OP平分∠AOB. 新中考新考法 1.新课标应用意识)(2025·山西)如图，小谊 将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在 一起，记中点为O,即AO=C0,B0=D0.测得 C,D两点之间的距离后，利用全等三角形的性 质，可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中 △AOB与△COD全等的依据是 D--------7C A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 2.新考法逐项分析法(2025·潍坊)如图，甲 乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地， 甲：A→C→B,路程为l甲·乙：A→D→E→F→ B,路程为l2.丙：A→G→H一→B,路程为l丙：下 列关系正确的是 ( 609 60 4460°60>B 6060 60°60 A B 甲 乙 丙 A.l甲>lz>l丙 B.lz>l甲>l丙 C.lm>l丙>lz D.l甲=lz>l丙 3.新课标推理能力(2025·福建)如图，△ABC 是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂 足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的， 已知EF过点A,BE交CD于点G. 138 (1)求∠DCE的大小. (2)求证：△CEG是等边三角形 4.新考法尺规作图综合(2025·长沙)如图，在 △ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心， 适当长为半径作弧，交CA于点M,交CB于 点N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的 长度为半径作弧，两弧相交于点P,作射线 CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数. (2)若BC=2.5,求AD的长. 、/D(2)证明：如图1，作DE⊥BA交BA的延长线于点E,DF⊥ BC于点F. BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF, ∴.DE=DF ·.·∠BAD+∠C=180°， ∠BAD+∠EAD=180°， ∴.∠EAD=∠C. 图 在△DEA和△DFC中， (∠DEA=∠DFC, ∠DAE=∠DCF,.∴.△DEA≌△DFC(AAS), DE=DF. .AD=CD (3)证明：如图2，在BC上截取BK=BD,连接DK .AB=AC,∠A=100°， ..∠ABC=∠C=40 BD平分∠ABC, ·∠DBK= 2 ∠ABC=20 图2 ,·BD=BK, ∴.∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=180° 由(2)的结论，得AD=DK, .:∠BKD=∠C+∠KDC, .∴.∠KDC=∠C=40°， .DK=CK,..AD=DK=CK .BD+AD=BK+CK=BC. 8.证明：连接BD,如图 .DE⊥AB,DF⊥BC .∴.∠BED=∠BFD=90° 在Rt△BED和RI△BFD中」 DE=DF,:R△BED≌R△BFD(HL) (BD=BD, .∴.∠EBD=∠FBD. DG∥AB,.∠GDB=∠EBD, ∴.∠GDB=∠FBD,.DG=BG 9.(1)证明：·∠ADB是△BCD的外角」 ∴.∠ADB=∠BCD+∠DBC .:∠BCE=∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE .∠BCD+∠ECA=∠BCD+∠DBC, ∴.∠ECA=∠DBC. 在△ECA和△DBC中， (AC=CB, ∠ECA=∠DBC,.△ECA≌△DBC(SAS), 、CE=BD, .∴.AE=CD (2)解：设∠ACB=, AC=BC, ∠ABC=LBAC=)180°-LACB)=90 2 由(1)，可知△ECA≌△DBC, ,∴.∠EAC=∠ACB=ax ·,∠FAB=107° ∴.∠BAC=∠FAB-∠EAC=107°-a, .90° 2=107°-a,解得a=34, ∠ABC=90°-1 2a=73 10.(1)证明：△ABC,△CDE都是等边三角形， .∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+LBCD, .∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中 AC=BC, ∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS), CD=CE. ∴.AD=BE (2)解：△ACD≌△BCE, .∠ADC=∠BEC ,·△DCE是等边三角形 .∠CED=∠CDE=60°， .∠ADE+∠BED =∠ADC+∠CDE+∠BED =∠BEC+60°+∠BED =∠CED+609 =60°+609 =120°. ∴.∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED)=180°-120°=60° (3)证明：.·△ACD≌△BCE ∴，∠CAD=∠CBE,AD=BE. 又.·点M,N分别是线段AD,BE的中点， ∴.AM= AD,aV-- BE ∴.AM=BN. 在△ACM和△BCN中， AC=BC, ∠CAM=∠CBN. AM=BN. .·.△ACM≌△BCN(SAS), ∴.CM=CN,∠ACM=∠BCN 又∠ACB=60°， .∴.∠ACM+∠MCB=60° ∴.∠BCN+∠MCB=60°， .∠MCV=60°，.△MNC是等边三角形. 章末复习 核心考点练真题 1.D2.C3.C 4.证明：.·∠CBE=∠CDF, .180°-∠CBE=180°-∠CDF ·.∠ABC=180°-∠CBE,∠ADC=180°-∠CDF ..∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∠ABC=∠ADC, ∠ACB=∠ACD AC=AC. ..△ABC≌△ADC(AAS), .AB=AD. 5.证明：(1)·AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在 ED上， .∠ACB=∠ADF ·.:∠BAF=∠EAD .∠BAF-LCAF=∠EAD-∠CAF, .∠BAC=∠FAD. 在△ABC和△AFD中 I∠BAC=∠FAD, AC=AD. ∴.△ABC≌△AFD(ASA). 、∠ACB=∠ADF, (2)由(1)得△ABC≌△AFD .AB=AF. .BE=FE,∴AC⊥BF,即AC⊥BD. 6.∠BCE=∠B(答案不唯一)7.1.28.√2 9.D10.2.411.C12.C13.B14.1 15解：作图如图所示. 证明：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， {OE=0P:R△0EP≌Ru△OFP(H), .∠POE=∠POF,.OP平分∠AOB. 答案：OE=OFOP=OP∠POE=∠POF 新中考新考法 1.B2.D 3.(1)解：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°. :D是AB的中点，LDCB=∠DCA=)∠ACB=30 ,CE⊥BC,.∠BCE=90°，.∠DCE=∠BCE-∠DCB= 90°-30°=60°. (2)证明：由平移可知，CD∥EF,∠EAC=∠DCA=30. 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°， .∠EAC=∠ECA,∠AEC=120°，∴.AE=CE. 又AB=CB,心BE垂直平分AC,一∠GEC=)∠AEC=60 由(1)知，∠GCE=60°，·.∠EGC=60°， .∠GEC=∠GCE=∠EGC=60°，.△CEG是等边三角形 4.解：(1)，AB=AC,∠B=72°， .∴∠ACB=∠B=72°. 由作图，可知CD是∠ACB的角平分线， ∠BCD=∠ACD=】∠ACB=36° (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC=180°- ∠B-∠BCD=72°， ∴.∠BDC=∠B,∴.CD=CB 在△ACD中，.∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°， .∴.∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°， ∴.∠A=∠ACD,∴.AD=CD, ∴.AD=BC ,BC=2.5,∴.AD=2.5. 综合与实践 1.C2.C3.A4.55.x<3 6.解：(1)方案一中y与x之间的函数关系式为y=0.9×160x= 144x, 方案二中y与x之间的函数关系式为y=160×10+0.8× 160(x-10)=128x+320. (2)选择该旅行社方案二更优惠.理由如下： 当x=30时，选择方案一：y=144×30=4320,选择方案二： y=128×30+320=4160. .4320>4160, .选择该旅行社方案二更优惠. 7.解：(1)如图.（答案不唯一） 3 ⑥ (2)如图.（答案不唯一） ② ⑤ 、③N (3)如图，一个正方形、一个平行四边形和三个等腰直角三 角形构成一个正方形.（答案不唯一） ⑤ ③/ ⑦ ⑥趴④ 1 8.8 9.4 10.解：如图所示.（答案不唯一) 图1 图2 图3 11.解：(1)设B种文创产品每件的进价为x元.根据题意，可 得2(x+3)+3x=26,解得x=4. 答：B种文创产品每件的进价为4元. (2)设小张购进m件A种文创产品，由(1)，可知A种文创 产品每件的进价为4+3=7（元），则7m+4(100-m)≤550， 解得m≤50. 答：小张最多可以购进50件A种文创产品. 12.解：(1)设每盏甲种路灯的价格是x元，每盏乙种路灯的价 格是y元， 根据题意，得2+32,60，解得二480. (x+2y=1280, (y=400. 答：每盏甲种路灯的价格是480元，每盏乙种路灯的价格 是400元. (2)设购买这批路灯花费w元，其中购买甲种路灯m盏， 则购买乙种路灯(60-m)盏， 根据题意，得w=(480-50)m+400×0.9×(60-m),即w= 70m+21600. “m≥ 2(60-m）,m≥20 70>0,∴，w随着m的增大而增大， .当m=20时，心取得最小值，最小值为70×20+21600= 23000(元). 答：购买这批路灯最少需要花费23000元 测试卷参考答案 第七章测试卷 1.C2.B3.A4.A5.A6.C 7.C解析：将方程的解代入方程3ax+2by=20中，得到3a×2+ 2b×1=20,化简得6a+2b=20,等式两边同时除以2，得3a+