培优专题8 与三角形相关的角的综合应用技巧-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

14.解：(1).“黄金角”为锐角， .·.设“黄金角”的度数为x,则另一个内角的度数为x-36°， 则x+x-36°+92°=180°，解得x=62° 这个“黄金角”的度数为62°.答案：62 (2).·∠A=70°，∠B=60° ∴∠BDC=180°-∠ADC=180°-(180°-∠A-∠ACD)= ∠A+∠ACD=70°+∠ACD,∠ACB=180°-70°-60°=50°， ∴.70°<∠BDC<120°，∠BCD<50°， .∴.∠BDC>∠B>∠BCD. 由题知△BCD为“似黄金三角形”，则∠BCD不可能为“黄 金角”. 若∠B为“黄金角”，则∠BCD=60°-36°=24°， .∠BDC=180°-60°-24°=96°，符合题意； 若∠BDC为“黄金角”，则 ①∠BCD=∠BDC-36°. .:∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴.60°+∠BDC-36°+∠BDC=180°， ∴.∠BDC=78°，此时∠BCD=42°<50°，符合题意： ②∠B=∠BDC-36°，∴.∠BDC=60°+36°=96°，此时 ∠BCD=24°<50°，符合题意. 综上，∠BDC的度数为96或78. 第2课时三角形的外角 1.B2.A3.75°4.100°5.105°6.68 7.(1)解：.AE∥BC,∠C=30°，∴.∠CAE=∠C=30° 又.∠E=45°， .∴.∠AFD=∠E+∠CAE=45°+30°=75°. (2)证明：.·AE∥BC,∠DAE=45° .∴.∠ADB=∠DAE=45°. ,△ABD的内角和为180°，∠B=60°， ∴.∠BAD=180°-60°-45°=75°， ∴.∠BAD=∠AFD. 8.C9.C10.B11.∠3=3∠2-2∠112.116 13.解：.·AB∥CD,∠CDE=122°， ∴.∠BED=∠CDE=122°. .EF平分∠BED ∠BEF-寸∠BED=61, .∴.∠GEF=180°-∠BEF=180°-61°=119° .:∠AGF=150°， .∴.∠F=∠AGF-∠GEF=150°-119°=31°. 14.(1)解：∠AOC=∠ODC.理由如下： 三个内角的平分线交于点0， 1 1 L0AC+L0CA=2（LBAC+LBCA)=2(180°- ∠ABC). .'∠OBC= 1 ∠A0C=180°-(L0AC+∠0CA)=90+2∠ABC =90°+∠OBC. .OD⊥0B,∴.∠B0D=90°， .∴.∠ODC=90°+∠OBD,∴.∠AOC=∠ODC (2)证明：·BF平分∠ABE, ÷∠BBr-3∠ABE=2(180-LABC)=90-∠D0 .:∠ODB=90°-∠OBD. .∠FBE=∠ODB,∴.BF∥OD. 第3课时三角形的内角、外角的应用 1.B2.A3.100°4.32°5.118 6.解：如图，连接AD并延长至点E, .∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE ∠C+∠CAD. .∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=20°， D ·.∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+A ∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C=30°+90°+20°=140° .140°≠142° 这个零件不合格。 7.证明：(1)：E是AC延长线上的一点， ∴.∠BCE=∠A+∠B. D是BC上的一点， ∴.∠BDE=∠E+∠BCE ∴.∠BDE=∠E+∠A+∠B. (2)由(1)，得∠BDE=∠E+∠A+∠B, .∠BDE>∠A 8.证明：延长CD交AB于点E,如图 .·CD⊥AD, ..∠ADE=∠ADC=90° :AD平分∠BAC, .∠DAE=∠DAC, ..∠AEC=∠ACD. ·.∠AEC=∠ABC+∠BCD .∠ACD=∠ABC+∠BCD ..∠ACD>∠ABC. 9.B10.B11.45°12.25 13.证明：(1)∠EGH是△FBG的外角， .∠EGH∠B. 又，DE∥BC, ∴，∠B=∠ADE,.∠EGH>∠ADE. (2):∠BFE是△AFE的外角， ∴.∠BFE=∠A+∠AEF. .·∠EGH是△BFG的外角： .·.∠EGH=∠B+∠BFE,..∠EGH=∠B+∠A+∠AEF 又.DE∥BC, ∠B=∠ADE,∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF 培优专题八与三角形相关的角的综合 应用技巧 1.(1)证明：.：∠A+∠C=180°-∠A0C ∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD. .∠A+∠C=∠B+∠D. (2)解：如图， .·∠DME=∠A+∠E, ∠3=∠DME+∠D ∴.∠A+∠E+∠D=∠3 ∠2=∠3+∠F,∠1=130°，∠1=∠2， ..∠3+∠F=130°， ∴.∠A+∠E+∠D+∠F=130. .∠B+∠C=∠1=130°， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=130°+130°=260 (3)解：①：以M为交点的“8字型”中，∠P+∠CDP= ∠C+∠CAP, 以N为交点的“8字型”中，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, .∴.2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP. AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC, 6 ..∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,.2∠P=∠B+∠C ∠B=100°，∠C=120°， ∠P=2(∠B+∠0)=2(100+120)=10. 1 ②4∠P=∠B+3∠C,理由如下： ∠CAP=LCAB,∠CDP= 1 4 -L CDB, 3 3 LBAP=L CAB,Z BDP=CDB. 以M为交点的“8字型"中，∠P+∠CDP=∠C+∠CAP 以N为交点的“8字型”中，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, 1 ∠C-LP=∠CDP-∠CMP=4(LCDB-LCAB), ∠PLB=LBDP-∠AMP=(LCB-∠CAB. .3(∠C-∠P)=∠P-∠B,.4∠P=∠B+3∠C 2.(1)证明：如图1，连接AP,并延长至点D. ∠BPD为△ABP的一个外角，.∠BPD=∠BAP+∠B. 同理可得∠CPD=∠CAP+∠C, ,∴.∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠CAP+∠B+∠C=∠BAC+ ∠B+∠C. 又.·∠BPD+∠CPD=∠BPC .∴.∠BPC=∠BAC+∠B+∠C. 图1 图2 图3 (2)解：如图2，设BE,CD交于点P, 由(1)可得∠BPC=∠A+∠B+∠C. ,'∠DPE=∠BPC,∠DPE+∠D+∠E=180°， .∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°， .五角星五个“角”的和是180° (3)解：∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A.理由如下： 如图3，连接AD, 由(1)可得∠4=∠1+∠BAD+∠ADP ∠5=∠3+∠CAD+∠ADG, ∴.∠4+∠5=∠1+∠3+（∠BAD+∠CAD)+(∠ADP+ ∠ADG)=∠1+∠3+∠BAC+∠2=∠1+∠2+∠3+∠BAC. 3.解：(1).∠B=35°，∠C=65°. ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°. EAD平分∠BAC,.LBAD=7∠BAC=40° ·AE⊥BC,∴.∠AEB=90°， .∴.∠BAE=90°-∠B=90°-35°=55°、 ..∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15 (2)如图1，过点A作AH⊥BC于点H,由(1)得∠DAH=15 FE⊥BC,.∠FEB=∠AHD=9O°，.AH∥EF,·.∠DFE= ∠DAH=15°， D H D HE 图 图2 2 (3)如图2，过点A作AH⊥BC于点H, 由(1)得∠DAH=15°. ,·FE⊥BC,.∠FEC=∠AHB=90°， ∴.AH∥EF,∴.∠DFE=∠DAH=15° (4)△ABC中，∠BAC的平分线所在的直线与过该角平分线 上的点所作BC的垂线的夹角的度数为定值， 4.证明：(1)·BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠1=∠ABC,L2=LACR .·∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°， ∠D=180-2(LABC+∠ACB). 即∠n=0+寸< (2):BD,CD分别平分∠EBC,∠FCB, .∴.∠EBD=∠DBC,∠BCD=∠DCF .∠DBC+∠DCB+∠D=180° ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∠ABC=180°-2∠DBC,∠ACB=180°-2∠DCB, ..∠A+180°-2∠DBC+180°-2∠DCB=180°， .∠A-2(∠DBC+∠DCB)=-180°， .∠A-2(180°-∠D)=-180°， ∠A+2∠D=180°LD=90°-)∠A (3).BD,CD分别平分∠ABC,∠ACE, ∠DCE=∠DBC+∠D, ∴.∠A+2∠DBC=2∠DCE .∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D,·.∠A=2∠D. ·∠D= 2∠A. 2全等三角形 第1课时全等三角形的判定 1.A 2.证明：.·BC∥EF,.∠ABC=∠DEF .'AE=BD,∴.AE+EB=BD+EB,即AB=DE 在△ABC和△DEF中， (AB=DE. ∠ABC=∠DEF,.△ABC≌△DEF(SAS). (BC=EF、 3.D 4.证明：.·点B为线段AC的中点， .AB=BC. .·AD∥BE,.∠A=∠EBC .BD∥EC,.∠ABD=∠BCE. 在△ABD与△BCE中， (∠A=∠EBC, AB=BC, ∠ABD=∠BCE ..△ABD≌△BCE(ASA). 5.SSS解析：由尺规作图的操作，可知O'D'=OD,O'C'=OC, C'D'=CD,..△D'O'C'≌△DOC(SSS). 6.证明：.BD=CE, .BD-CD=CE-CD.BC=ED. 在△ABC和△AED中， AB=AE.AC=AD,BC=ED. .∴.△ABC≌△AED(SSS).第十一章三角形的证明及其应用 培优专题八与三角形相关的角的综合应用技巧 类型一常见模型问题 角度2飞镖型问题 角度18字型问题 2.（1)如图1，在∠A内部有一点P,连接BP, 1.如图1，已知线段AB,CD相交于点O,连接AC, CP,求证：∠P=∠B+∠A+∠C. BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型” 李敏同学给出了如下证法：延长BP交AC于 点D,因为∠BDC为△ABD的一个外角，所以 ∠BDC=∠A+∠B,同理∠BPC=∠C+∠BDC,所 以∠BPC=∠A+∠B+∠C.请你给出另一种 图1 证法 (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D. (2)如图2，利用上面的结论，你能求出五角 利用以上结论解决下列问题： 星五个“角”的和吗？ (2)如图2，∠1=130°，求∠A+∠B+∠C+ (3)如图3，如果在∠BAC间有两个向上凸起 ∠D+∠E+∠F的度数 的角，请你根据前面的结论猜想∠1，∠2， (3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP ∠3，∠4，∠5，∠A之间有什么等量关系，并 和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于 说明理由， 点M,N. ①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数 ②若角平分线中角的关系改成“∠CAP= cB,<c0p-<8,试写出∠与 1 奥 ∠B,∠C之间存在的数量关系，并证明理由. 备用图 图2 图3 99 练测考七年级数学下册山 类型二三角形中特殊线问题 角度2双角平分线问题 角度1角平分线与高问题 4.(1)如图1，BD,CD分别是△ABC的内角 3.(1)如图1，△ABC中，点D,E在边BC上，AD ∠ABC,∠ACB的平分线，求证：∠D=90°+ 平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=35°，∠C=65°，求 ∠DAE的度数. <1 (2)如图2，若把(1)中的条件“AE⊥BC”变成 (2)如图2，BD,CD分别是△ABC的两个外 “F为DA延长线上一点，FE⊥BC”,其他条件 角∠EBC,∠FCB的平分线，求证：∠D= 不变，求∠DFE的度数， (3)若把(1)中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD 延长线上一点，FE⊥BC”,其他条件不变，请画 (3)如图3，BD,CD分别是△ABC的一个内 出相应的图形，并求出∠DFE的度数 角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，求证： (4)结合上述三个问题的解决过程，你能得到 <D= 什么结论？ <4 D D E D 图1 图2 图1 图2 图3 100