11.5 第2课时线段的垂直平分线的画法及应用-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

.△AEF≌△DEF(ASA),..EA=ED 又.·AC=DE,.EA=CA,.∠ACE=∠AEC. 11.证明：(1)，'AB=AC,.∠B=∠ACB. .∠BAC=∠DAE,.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 ·.·AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, .∴.△BAD≌△CAE(SAS), .∴.∠B=∠ACE,∴.∠ACB=∠ACE .CA是∠BCE的平分线. (2)在CB上取一点G,使CG=CE,连接FG,如图. B DG 由(1)可知∠BCA=∠ECA,即∠GCF=∠ECF 在△CFG和△CFE中， .FC=FC,∠GCF=∠ECF,GC=EC, .△CFG≌△CFE(SAS), .·.FG=FE,∠CGF=∠CEF 在△DEC中， .:∠DCE=30°，∠CDE=50° .∴.∠DEC=180°-∠DCE-∠CDE=180°-30°-50°=100°， ∴.∠CGF=100°. 又.·∠CGF=∠FDG+∠DFG. ∴.∠DFG=∠CGF-∠FDG=100°-50°=50°， 即∠DFG=∠CDE,.FG=DG .FG=FE,∴.DG=EF, .CD=DG+CG=EF+EC. 5线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质及判定 1.A2.B3.19cm 4.证明：.DE是AC的垂直平分线， ∴.AD=CD,∴.∠ACD=∠A=36°. AB=AC,.∠ACB=∠B=180°-∠A_180°-36 =72°， 2 2 .∴.∠BCD=72°-36°=36°， ∴.∠BDC=∠B=72°，∴.BC=DC 5.C 6.证明：∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.∠ACB=∠BDE=90°. 在R△BDE和RL△BCE中， .·BE=BE,BD=BC .∴.Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),.'.ED=EC ED=EC,BD=BC. E,B两点在线段CD的垂直平分线上，即BE垂直平 分CD. 7.A解析：如图，连接AP,延长BP交AC于点D ∴.∠BPC=∠PDC+∠ACP=∠BAC+ ∠ABP+∠ACP. ·,·点P是AB,AC的垂直平分线的交点， .∴.PA=PB=PC, ∴.∠ABP=∠BAP,∠ACP=∠CAP ∴.∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP= ∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=2X50°= 100°.故选A. 8.D9.30° 10.解：(1)：直线D0,E0分别是线段AB,AC的垂直平分线， 3 ∴.AD=BD,AE=CE .AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC. △ADE的周长为9cm,即AD+DE+AE=9cm, .∴.BC=9cm. (2).·∠BAC=118°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-118°=62. DA=DB,EA=EC, ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB. ,·∠BAC=118°，，∴，∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)= ∠BAC-(∠ABC+∠ACB)=118°-62°=56°. 11.解：(1)AB=AC,AD是边BC上的中线， ∴.∠B=∠C,AD⊥BC ·∠BAC=120°， ∠B=∠C-=2(180-∠B4C)=2(180-120)=30 1 BD=BE, .·.∠BDE=∠BED= （180-2=2180-0)=75 AD⊥BC,..∠ADB=90° .∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-75°=15°. (2)MF垂直平分CD, ∴.∠FMC=90°，DF=CF, ∴.∠FDM=∠C=30. .∠ADC=90°， .∴.∠ADF=∠ADC-∠FDM=90°-30°=60°，∠CAD= 180°-∠ADC-∠C=180°-90°-30°=60°， .△ADF是等边三角形， ..AF=DF,..AF=CF. 在Rt△FMC中，：∠C=30°，MF=2, ∴.CF=2MF=4, .AC=AF+CF=2CF=8,..AB=8. 12.解：DE=BF,DE⊥BF.理由如下： 如图，连接BD,延长BF交DE于 点G. ·点D在线段AB的垂直平分线上， .AD=BD. .∠ABD=∠A=22.5 在Rt△ABC中， .·∠ACB=90°，∠A=22.5°， .∠ABC=90°-22.5°=67.5°， ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=67.5°-22.5°=45°， .△BCD为等腰直角三角形， ∴.BC=DC. 在△ECD和△FCB中， ·CE=CF,∠DCE=∠BCF,CD=CB. .△ECD≌△FCB(SAS), ∴.DE=BF,∠CED=∠CFB :∠CFB+∠CBF=90°， .∠CED+∠CBF=90°， .∠EGB=90°，即DE⊥BF 第2课时线段的垂直平分线的画法及应用 1.D2.C 3.75°解析：由题意可知，MN是线段BC的垂直平分线， ..DB=DC,.∠DCB=∠B=30°. 在△ABC中，.·∠B=30°，∠A=45°、 .∠ACB=180°-30°-45°=105°， .∠ACD=∠ACB-∠DCB=105°-30°=75°. 4.解：如图，点D为所作 设CD=x,则DA=DB=8-x 在Rt△ACD中， AC2+CD2=AD2, 六63+2=(8-)2，解得x=7 份长是 5.34° 6.解：(1)如图所示，△ABC即为所求。 (2):△ABC为等腰三角形，BC⊥AD, :BD=BC 2×10=5 ·在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ∴.AB2=BD2+AD, ..AB2=52+122,..AB=13. 7.解：(1)，DEFG分别为AB,AC的垂直平分线， ∴.DA=DB,FA=FC, .∴.∠DAB=∠B,∠FAC=∠C, ∴.∠DAB+∠FAC=∠B+∠C .·∠DAF=20°， ∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C=180°-20°=160°， .∴.∠DAB+∠FAC=80°， .∠BAC=80°+20°=100° (2).·△DAF的周长为6，.DA+FA+DF=6. 由(1)知DA=DB,FA=FC ..BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=6. 8.解：(1)如图所示，点P与点Q即为所求. A (2)如图所示，点T即为所求。 M e A (3)存在，如图所示，点H即为所求 N 9.B10.10° 11.(1)解：如图，AD即为所求作的高. D B (2)证明：在Rt△ABD中，.·∠ADB=90°，∠B=30°， .∠BAD=90°-30°=60. AC平分∠BAD,.∠BAC=∠CAD=30°， .∴.∠B=∠BAC,∴.BC=AC 在Rt△ACD中，.·∠CAD=30° .∴.AC=2CD,.BC=2CD. 12.解：(1)DE⊥DP. 理由：PD=PA,∴.∠A=∠PDA. ·EF是BD的垂直平分线，.EB=ED, .∠B=∠EDB. .·∠C=90°，∴.∠A+∠B=90° ∴.∠PDA+∠EDB=90°，∴.∠PDE=180°-90°=90°， .DE⊥DP (2)如图，连接PE.设DE=x,则EB=ED=x,.CE=4-x. .AC=3,PA=1,..PD=PA=1,PC=2. ,·∠C=∠PDE=90°， .PC2+CE2=PE2=PD2+DE2, 22+(4-)2=12+2,解得x=19 则DE=19 8 6角平分线 第1课时角平分线的性质及判定 1.B2.18 3.证明：AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD, .CD=CE. 在Rt△CBE和Rt△CFD中. CB=CF,CE=CD. ..Rt△CBE≌Rt△CFD(HL),'.BE=FD 4.D5.90 6.PF=PGPH⊥BCPG=PH在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上 7.证明：CE=BF,S△DCE=S△Br, 点D到CE,BF的距离相等， .·.AD平分∠BAC. 8.20 9.解：(1)如图所示，DE即为所求. (2)DE∥AC. B 10.解：不正确，以上解法忽视了OD,OE分别垂直于AB,AC的 条件，故产生错误，正确的结论是“AO不一定平分 ∠CAB” 11.C12.6 13.证明：BD为∠ABC的平分线， ..∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中 .·AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD, .△ABD≌△CBD(SAS),.∠ADB=∠CDB, 即DP是∠ADC的平分线. .PM⊥AD,PN⊥CD,.PM=PNW 14.(1)证明：DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, .∠E=∠DFC=90°， .△BDE与△CDF均为直角三角形 在Rt△BDE与RL△CDF中， :∫BD=CD, BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴.DE=DF. DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, .AD平分∠BAC. (2)解：AB+AC=2AE. [「提示].AD平分∠BAC .∴.∠EAD=∠FAD.第十一章三角形的证明及其应用 第2课时 线段的垂直平分线的画法及应用 基础夯实 》知识点二线段垂直平分线的综合应用 》知识点一线段垂直平分线的尺规作图 5.如图，线段AB,BC的垂直平 1.已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在 分线11,12相交于点0.若 BC上确定一点P,使PA+PB=BC,则一定符 ∠AOC=68°，则∠ABC= 合要求的作图痕迹是 ) 6.（1)尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底 边上的高，求作这个等腰三角形 已知：如图，线段a,h. 求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. (要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求 写出作法.) (2)若等腰三角形底边长a=10,底边上的高 2.在△ABC中，AB=AC>BC, 的长h=12,求等腰三角形的腰长. 小明按照下面的方法作图： ①以点B为圆心，BC的长 h 为半径画弧，交AC于点D; ②分别以点C,D为圆心， 大于，CD的长为半径画弧，两弧交于点M: ③作射线BM,交AC于点E.根据小明画出的 图形，判断下列说法正确的是 () A.E是AC的中点 B.∠ABE=∠CBE C.BE⊥AC D.BE=AE 3.（2025·东营利津县期 YM 7.[教材P162T1变式]如图，在△ABC中，DE, 中)如图，已知△ABC,按 FG分别为AB,AC的垂直平分线，E,G分别 以下步骤作图：①分别以 为垂足，∠DAF=20° 点B,C为圆心，以大于 (1)求∠BAC的度数 2BC的长为半径作弧，两 (2)若△DAF的周长为6，求BC的长， 弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于 点D,连接CD.若∠B=30°，∠A=45°，则 ∠ACD的度数为 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8.在 CB上找一点D,使DB=DA(利用尺规作图， 保留作图痕迹)，并求出此时CD的长 125 练测考七年级数学下册LJ 》知识点三线段的垂直平分线的实际应用 11.(2025·菏泽郓城县期末)如图，在△ABC 8.如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行 中，∠B=30° 驶，M,N分别是位于公路AB同侧的村庄， (1)用尺规作图法作BC边上的高AD,垂足 (1)设汽车行驶到公路上点P的位置时，距 为D. 离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离 (2)若AC平分∠BAD,求证：BC=2CD. 村庄N最近，请在公路AB上分别画出P,Q 的位置 (2)在公路AB上寻找一点T,汽车行驶到该 点时，与村庄M,N的距离相等（尺规作图）： (3)在公路AB上是否存在这样的一点H,汽 车行驶到该点时，与村庄M,N的距离之和最 短？如果存在，请在图中AB上画出此点H; 如果不存在，请说明理由。 M 素养培优 12.[方程思想]如图，在△ABC中，∠C=90°，点 P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始 终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC 于点E,交BD于点F,连接DE (1)判断DE与DP的位置关系，并说明 理由 (2)若AC=3,BC=4,PA=1,求线段DE 的长. 能力提升 9.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC 上的点，DE垂直平分AB,∠C=90°，∠BAC= 15°.若BC=3cm,则AE的长度为() A.9 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 10.如图，在锐角三角形ABC中，∠A=80°，DE 和DF分别垂直平分边AB,AC,则∠DBC的 度数为 126