11.5线段的垂直平分线同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

11.5 线段的垂直平分线 知识梳理 1.线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。注意其为直线（向两端无限延伸），而非线段或射线；过线段中点且与线段垂直的直线有且仅有一条。 2.线段垂直平分线的核心性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。这是线段垂直平分线最核心的性质，可直接实现线段的等量转化，无需再通过全等三角形证明，是构造等腰三角形的重要依据。 o延伸性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，该点称为三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等；外心的位置随三角形类型变化：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 3.线段垂直平分线的判定定理 o基本判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； o直线判定：若一条直线上有两个不同的点都到某条线段的两端点距离相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）。 4.线段垂直平分线的尺规作图方法 o步骤：①分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径作弧，两弧在线段两侧分别交于两个点；②连接这两个交点，所得直线即为该线段的垂直平分线； o作图原理：依据SSS全等判定，所作弧的半径相等，得到的两个交点到线段两端点的距离相等，再结合垂直平分线的判定定理确定直线。 5.线段垂直平分线的常见应用 o证明线段相等：直接连接垂直平分线上的点与线段端点，利用性质定理得到线段相等，简化证明过程； o计算边、角的度数：结合“等角对等边”将线段相等转化为角相等，再利用三角形内角和、外角性质、直角三角形相关性质进行计算； o解决最短路径问题：利用性质定理将线段进行等长转化，把两条线段的和转化为同一直线上的线段，依据“两点之间线段最短”求解最小值； o判定三角形形状：通过垂直平分线得到多条线段相等，结合等腰、等边三角形的判定定理确定三角形类型。 6.与等腰/直角三角形的综合运用 o与等腰三角形互推：线段垂直平分线上的点与线段端点连接，直接构造等腰三角形；等腰三角形“三线合一”，其底边上的高、中线、顶角平分线所在直线，就是底边的垂直平分线； o与直角三角形结合：直角三角形斜边的垂直平分线经过斜边中点（外心），且斜边中点到三个顶点的距离相等，可结合斜边中线定理（斜边中线=斜边一半）进行边的转化； o与含30°角的直角三角形结合：利用垂直平分线得到等腰三角形后，结合30°角的直角三角形性质（30°角对的直角边=斜边一半）快速计算边长。 7.常见辅助线作法 o连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，利用性质定理得到线段相等，构造等腰三角形，实现边、角的转化； o作某条线段的垂直平分线：当题目需证明线段相等或构造等腰三角形时，通过尺规作图作线段垂直平分线，为解题创造条件； o最短路径问题中，利用垂直平分线将其中一条线段进行等长转化，使两条线段的和转化为“两点之间的线段”，求解最小值。 8.核心解题思路 o遇“垂直平分线”，优先连接线上点与线段端点，利用性质得线段相等，转化为等腰三角形问题求解； o证“某直线是线段的垂直平分线”，先找到直线上两个点，证明这两个点都到线段两端点距离相等，再利用判定定理得出结论； o计算边、角时，结合垂直平分线的性质+等腰三角形“等角对等边”+三角形内角和/外角性质，将未知边、角转化为已知量； o解决最短路径问题时，核心是线段的等长转化，利用垂直平分线将不在同一直线上的两条线段的和，转化为同一直线上的线段，再依据“两点之间线段最短”求解。 9.常见易错点 o混淆图形类型：误将线段的垂直平分线当作线段/射线，实际其为向两端无限延伸的直线； o尺规作图误区：作弧时半径等于或小于线段一半的长度，导致两弧无交点，无法作出垂直平分线； o判定定理误用：仅找到一个点到线段两端点距离相等，就判定该点所在直线为垂直平分线，需两个点才能确定直线； o外心位置误判：认为所有三角形的外心都在三角形内部，忽略直角三角形外心为斜边中点、钝角三角形外心在外部的情况； o最短路径转化错误：未正确利用垂直平分线进行线段的等长转化，导致无法找到最短路径。 同步训练 一、单选题 1．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧相交于点，连接交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交、于点D、E．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 8．如图，D是线段，的垂直平分线的交点．若，，则的大小是__________． 9．如图，等腰面积为21，底边，点D，F分别是，的中点，交于H，点E是上一动点，则的周长的最小值为__________． 10．如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长度是________ ． 11．如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 12．如图，在中，，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接．则_____： 三、解答题 13．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．如图，在中，，．    (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 16．已知，如图，点A是上的一点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 《11.5 线段的垂直平分线 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学七年级下册》参考答案 1．B 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 2．B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理．由垂直平分线得到，，，由勾股定理得到，再由面积法得到，接着求出，即可计算的周长． 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，连接，由垂直平分线的性质可得，先通过勾股定理求得，设，则，再根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 4．C 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．C 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，等腰三角形的性质，根据作图可知，三线合一，得到，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故选项C正确；其它选项均条件不足，都不能成立； 故选C． 6．B 【分析】根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 7．C 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 8．/度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质，得，再根据等腰三角形的性质，易求，，从而可求，最后再根据等腰三角形的性质，计算即可求解． 【详解】解：D是线段，的垂直平分线的交点， ，， 则， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 9．10 【分析】连接，，由等腰面积为21，底边，求出，根据点是的中点，，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据当、E、F三点在同一直线上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵F为的中点，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵等腰面积为21，底边， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵当、E、F三点在同一直线上时，最小， ∴此时最小，且最小值为， 即最小，最小值为， ∴的周长的最小值为10． 10． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，，求出，根据得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 12．/60度 【分析】由垂直平分线性质可得，，所以，，然后通过三角形内角和定理求得，则有，最后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上作图步骤和性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）：如图，即为所求；    （2）解：如图所示，   垂直平分线段， ， ． ， ， ． 15．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，可得，再结合已知条件可得结论； （2）先证明，可得，结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：连接并延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $