11.3 第1课时等腰三角形的性质与判定-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

第十一章三角形的证明及其应用 3等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质与判定 基础夯实 》知识点二三线合一 》知识点一等边对等角 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD 1.如图，在△ABC的边BC上有两点D,E,连接 是BC边上的中线，且BD=BE,则∠ADE= AD,AE,若AB=BE,CA=CD,且∠BAC=100°， () 则∠DAE的度数为 B D E C A.25° B.22° A.80° B.40° C.30° D.100° C.15° D.12° 2.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为 人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪” D,点E是AD上一点，DE=BD,∠ABC=65°， 能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有 则∠ACE的度数为 槽的棒OA,OB组成，两根棒在点O相连并可 绕O转动，点C固定，OC=CD=DE,点D,E 可在槽中滑动，若∠BDE=78°，则∠CDE的 度数是 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点， 0 图1 图2 BE⊥AC于点E.求证：∠BAC=2∠EBC 3.如图，在△ABC中，AC=BC,点E,F在边AB 上，CE=CF,延长CF至点D,使DC=BC (1)求证：△ACE≌△BCF (2)若∠ACE=20°，求∠BDC的度数 107 练测考七年级数学下册L小 》知识点三等角对等边 (1)AD=CD. 7.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是 (2)AD=BC. A.只要两个角相等，那么它们所对的边也 相等 B.在两个三角形中，如果有两个角相等，那么 它们所对的边也相等 C.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么 它们所对的边也相等 D.以上说法都是正确的 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,CE 分别平分∠ABC与∠ACB,且相交于点F,CE 交AB于点E,BD交AC于点D,则图中的等 腰三角形共有 个 素养培优 12.[推理能力]如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,E是BC上一点，BE=CD,EF∥AD交 AB于点F,交CA的延长线于点P,CH∥AB 交AD的延长线于点H.求证： 9.如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°， (1)△APF是等腰三角形 AB=3,则CD= (2)AB=PC. D 能力提升 10.[应用意识]（淄博中考）某城市几条道路的 位置关系如图所示，道路AB∥CD,道路AB与 AE的夹角∠BAE=50°.城市规划部门想新修 一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为 B D A.23 B.25 C.27° D.30° 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，CD是 △ABC的角平分线.求证： 108 第十一章三角形的证明及其应用 微专题9数学思想 方程思想与整体思想在等腰三角形中的应用 一、方程思想 二、整体思想 111111111 【模型1】“腰”连环 3.如图，△ABC,△ADE中，C,D两点分别在 【条件】AB=AC,CD=CE,DE=EF,∠F=x AE,AB上，BC与DE相交于点F.若BD= 【结论】∠B=∠ACB=2∠DEC=4∠F=4x. CD=CE,∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC 的度数为 4x42 C B 模型1图 模型2图 【模型2】“腰”套“腰” A.114° B.123o 【条件】AB=AC,BD=AD,∠A=x. C.132 D.147° 【结论】∠BDC=2∠A=2x. 4.如图，O是四边形ABCD内一点，OA=OB= 1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点， OC,∠ABC=∠ADC=70°，求∠DAO+∠DC0 ∠DBC=20°，AD=DB=BC,求∠A的度数 的度数 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别在 AC,AB上，且BD=BC,BE=DE=AD,求∠C 的度数， 109I∠AGB=∠DHE 在△ABG和△DEH中，{BG=EH, ∠ABG=∠DEH, .△ABG≌△DEH(ASA),.AG=DH,AB=DE CH=80 cm,AD=10 cm, .AG+DH=GH-AD=80-10=70(cm), 1 ..AG=DH= 2×70=35(cm). ·.AB=2AG,AB=DE .∴.AB=DE=2×35=70(cm), ∴.设计出的闸机一侧边缘（即AB或DE)的长度为70cm. 第3课时全等三角形的判定与性质的综合运用 1.C2.3 3.证明：.∠BCE=∠DCA, ∴.∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠ACB=∠ECD. 在△ACB和△ECD中、 (∠A=∠E, AC=EC. ..△ACB≌△ECD(ASA), (∠ACB=∠ECD .AB=ED. 4.证明：ABCD(已知)， ∴，∠A=∠D,∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)： 在△ABO和△DCO中 ∠A=∠D(已证) AB=DC(已知)，.△ABO≌△DCO(ASA), (∠B=∠C(已证)， .OB=OC(全等三角形的对应边相等). 在△OBE和△OCF中 (∠B=∠C(已证)， OB=OC(已证). (∠EOB=∠FOC(对顶角相等)， ..△OBE△OCF(ASA), 'OE=OF(全等三角形的对应边相等). 5.解：BE=CF,BE∥CF.理由如下： AB∥CD,.∠ABC=∠BCD :BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的平分线， F2∠BCD, .∠EBO=)∠ABC,∠FCO= .∴.∠EBO=∠FCO,∴.BE∥CF. 在△BEO和△CFO中， ,∠EOB=∠FOC,BO=CO,∠EBO=∠FCO ..△BEO≌△CFO(ASA),.BE=CF 6.A 7.(1)解：2对，△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF (2)证明：：Rt△ABC≌Rt△ADE, ,∴，AC=AE,AB=AD,∠CAB=∠EAD,∠ACB=∠AED, .∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB, 即∠CAD=∠EAB. ∴.△CAD≌△EAB(SAS), .CD=EB,∠ACD=∠AEB 又.∠ACB=∠AED .∴，∠ACB-∠ACD=∠AED-∠AEB 即∠DCF=∠BEF '∠DFC=∠BFE, 在△CDF与△EBF中， ∠DCF=∠BEF CD=EB, .△CDF≌△EBF(AAS),'.CF=EF 2 8.解：BD=CE且BD⊥CE.理由如下： .·∠BAC=∠DAE=90°， ,.∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC, ..∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中 (AB=AC. ∠BAD=∠CAE,.∴.△BAD≌△CAE(SAS), AD=AE. ..∠ACE=∠B,BD=CE. .·∠BAC=90°，∴.∠ACB+∠B=90°， .∴.∠ACB+∠ACE=90°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ..BD=CE且BD⊥CE. 9.解：(1)△C0E≌△0BD.理由如下： 由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC: .∠B0C=90°， .∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°， ..∠COE=∠OBD 在△COE和△OBD中， (∠C0E=∠OBD, ∠CEO=∠ODB,∴.△COE≌△OBD(AAS). OC=BO. (2).△COE≌△OBD,∴.CE=OD,OE=BD. .BD=1.6 m,CE=2 m .DE=0D-0E=CE-BD=2-1.6=0.4(m). .MD=1.1m,.ME=MD+DE=1.1+0.4=1.5(m) 答：爸爸是在距离地面1.5m的地方接往张华的. 3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质与判定 1.B2.76 3.(1)证明：AC=BC,CE=CF ∴.∠A=∠CBA,∠CEF=∠CFE .∠AEC=∠BFC,∴.△ACE≌△BCF(AAS) (2)解：.∠ACE=20°， 由(1)，得△ACE≌△BCF, ∴.∠BCF=∠ACE=20. .DC=BC, 0C=)180°-L5cF)三2180-20 4.C5.20° 6.证明：AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC,∠BAC=2LDAC, .∠ADC=90° BE⊥AC,∠BEC=90°， .∴.∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90° ..∠DAC=∠EBC,∴.∠BAC=2∠EBC. 7.C8.89.310.B 11.证明：(1)，AB=AC,∠A=36°， ∠B=∠4CB=180°-∠A_180°-36 =72° 2 2 CD是△ABC的角平分线， .∴.∠BCD=∠ACD=36°， .∠A=∠ACD,∴.AD=CD. (2).·∠B=72°，∠BCD=36° .∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-72°-36°=72°， .∠B=∠BDC,∴BC=CD. AD=DC,..AD=BC. 12.证明：(1)如图 .·EFAD, .∴.∠1=∠4，∠2=∠P AD平分∠BAC, .∠1=∠2，..∠4=∠P ∴.AF=AP,即△APF是等腰三角形 (2).·CH∥AB, ∴.∠5=∠B,∠H=∠1. EF∥AD,.∠1=∠3，.∠H=∠3. 在△BEF和△CDH中， I∠B=∠5， ∠3=∠H,.△BEF≌△CDH(AAS), BE=CD, .BF=CH. .AD平分∠BAC, .∠1=∠2，.∠2=∠H,.AC=CH,AC=BF AB=AF+BF,PC=AP+AC.AF=AP, ∴.AB=PC. 微专题9方程思想与整体思想在等腰三角形中的应用 1.解：设∠A=x. .AD=BD,.∠ABD=∠A=x .·DB=BC,∴.∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2x 在△BDC中， ,∠DBC+∠C+∠BDC=180° .∴20°+2x+2x=180°，解得x=40°，即∠A=40° 2.解：·BE=DE=AD, ∴.设∠EBD=∠EDB=x,则∠A=∠AED=2x, ..∠BDC=∠A+∠ABD=3x. AB=AC,BD=BC,∴.∠BDC=3x=∠C=∠ABC. ,·在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180°， 即2x+3x+3x=180°，解得x=22.5°， .∴.∠C=67.5°. 3.B解析：BD=CD=CE, ∴.∠B=∠DCB,∠E=∠CDE. ∠ADC+∠ACD=114°， .∴.∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=114°， .∴.∠DCB+∠CDE=57°， .∠DFC=180°-57°=123°.故选B. 4.解：.OA=OB=OC ∴.∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB, ∴.∠OAB+∠OCB=∠ABC. ,·∠ABC=70°，∴.∠AOB+∠C0B=360°-70°×2=220° ,∴.∠A0C=360°-220°=140°. ,·∠D=70°，∴.∠DA0+∠DC0=360°-140°-70°=150° 第2课时等腰三角形中的重要线段 1.18解析：在△ABC中， ∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O, ,∴.∠AB0=∠OBC. ·MNBC,∴.∠MOB=∠OBC, .∴.∠ABO=∠MOB, .BM=OM.同理CN=ON ·△AMN的周长是AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+ BM+CN+AN=AB+AC=10+8=18. 2.证明：，·AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, BD,CE是高，.∠BEC=∠CDB=90° 在△BEC和△CDB中， .·∠BEC=∠CDB,∠EBC=∠DCB,BC=CB, ..△BEC≌△CDB(AAS), ∴.∠DBC=∠ECB, .FB=FC,∴.△BFC是等腰三角形 3.证明：AB=AC,AD是BC边上的中线， ..∠B=∠ACB,AD⊥BC .∠CAD+∠ACB=90°. 又.CE⊥AB,∴.∠BCE+∠B=90° .∠CAD=∠BCE. 4.B解析：：CE平分∠ACB, 1 LACE=LBCE=2∠ACB .CD=CA,CH⊥AD于，点H, 1 ·∠ACH=∠DC1=2∠ACD(等腰三角形三线合一)， ∠ECA+∠HCA=)×180°=903.故选B 5.证明：.CD⊥AD, .∠DAC+∠ACD=∠ADE+∠EDC=90°. .DE=CE,.∠EDC=∠ACD .∠DAC=∠ADE. AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC, .∠BAD=∠ADE,.DE∥AB. 6.证明：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE. AD是底边的中线， .BD=CD. 在△ADC和△EDB中、 .AD=ED,∠CDA=∠BDE,CD=BD .△ADC≌△EDB(SAS), ..BE=AC,∠E=∠CAD AD是角平分线， ∴.∠CAD=∠BAD,.∠E=∠BAD, .AB=BE,.AB=AC,即△ABC是等腰三角形 7.C解析：如图，延长AP交BC于 点E. :BP平分∠ABC, .∴.∠ABP=∠EBP .AP⊥BP .∴.∠APB=∠EPB=90 在△ABP和△EBP中， :∠ABP=∠EBP,PB=PB,∠APB=∠EPB, .△ABP≌△EBP(ASA), ∴.AP=PE,.SAABP=S△EBP,S△ACn=S△BGP, Saac=2Sac=2×9=4.5(cm).故选C 8.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠CAD. AD平分∠BAC,.∠EAD=∠CAD .∠EAD=∠EDA. BD⊥AD, ∴.∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA=90°， .∠EBD=∠BDE,DE=BE, .△BDE是等腰三角形. 9.解：BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE. .·∠BAC=90°， ∴.∠AEF=90°-∠ABE. .·AD⊥BC,∴.∠AFE=∠DFB=90°-∠CBE, .∠AFE=∠AEF, AE=AF,即△AFE为等腰三角形. 又.G为EF的中点，EG=1,