培优专题4 平行线常见“拐点”模型-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

培优专题四平行纟 【方法指导】平行线“拐点”模型中添加辅助线 的常见图形： 类型一“猪蹄”模型 模型解读 如图，AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C(过拐，点P 作AB(CD)的平行线可证) C -D 方法也是过拐点作平行线 变形 得∠1+∠2+∠3=∠4+∠5. 总结：左边角度之和等于 右边角度之和. 1.如图所示，直线a∥b,∠1=35°，∠2=90°，则 ∠3的度数为 A.125° B.135° C.145° D.155° 第1题图 第2题图 2.如图，已知AB∥CD,EF⊥AB于点E,∠AEH= ∠FGH=20°，∠H=50°，则∠EFG的度数是 3.（1)如图1，AB∥CD,点P在AB与CD之间 连接AP,CP,求证：∠APC=∠A+∠C. B 图1 第八章证明 线常见“拐点”模型 (2)如图2，AB∥CD,点P,E在AB与CD之 间，AE平分∠BAP,CE平分∠DCP. 求证：∠APC=2∠AEC. 图2 类型二“铅笔”模型 :度型解， 如图，AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°（过拐 ,点E作AB(CD)的平行线可证) D D 方法也是过拐点作平行线， 1 有4个拐点就作4条平行线，得 变形 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=900 总结：有(n-2)个拐点，∠1+∠2 +…+∠n=180°(n-1). 4.（2025·济南平阴县期中)近几年中学生近视 的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公 司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意 图如图2所示，其中BC⊥AB,CD,DE分别可 以绕点C,D上下调节一定的角度，经使用发 现：当∠DCB=140°，且ED∥AB时，台灯光线 最佳.此时∠EDC为 ( E A 图1 图2 A.110° B.120°C.130° D.140° 43 练测考七年级数学下册山 5.如图，∠1=40°，∠2=140°，直线ab,则∠3 的度数为 b a 3 2 6.如图，已知AB∥EF,若=∠A+∠F,B=∠B+ ∠C+∠D+∠E,则a与B之间的数量关系为 7.如图，AE∥DF,含30°的三角板的直角顶点为 A,∠C=30°，BC平分∠ABD (1)若∠CAE=20°，求∠BDF的度数 (2)若∠BDF=5∠CAE,求∠CAE的度数， D B 30°>C 44 类型三“鹰嘴”模型 模④型解， 如图，AB∥CD,则∠AEC=∠C-∠A. E N 3 3 13 变形 2 2 2 ∠1-∠2= ∠1-∠2= ∠3=∠1+ ∠3=∠1+ ∠3 ∠3 ∠2-180° ∠2-1809 8.（2025·东营一模)如图，直线a∥b,∠1= 60°，∠B=20°，则∠2的度数为 () -b A.20° B.30° C.40° D.50° 9.(荆州中考)如图所示的“箭头”图形中，AB∥ CD,∠B=∠D=80°，∠E=∠F=47°，则图中 ∠G的度数是 () E D A.80° B.76° C.66° D.56° 10.(2025·德州宁津县期中)如图，AB∥CD,点 E为AB上方一点，FB,CG分别为∠EFG, ∠ECD的平分线，若∠E+2∠G=150°，则 ∠EFG的度数为 C -D 11.如图，已知AB∥DE,∠BCD=30°，∠CDE= 138°，则∠ABC的度数为 B D图2 图3 ②如图3，当α=135时，AC∥0B.理由如下： .'AC∥OB,∴.∠CAB=∠B=45°， .∠BAD=∠CAB+∠CAD=45°+90°=135°， .当a=135时，AC∥0B. ③如图4，当a=150时，DC∥AB.理由如下： DC∥AB,∴.∠C=∠BAC=60°， .∠BAD=90°+60°=150°， .当x=150°时，DC∥AB. D D 图4 图5 ④如图5，当x=165时，CD∥0B.理由如下： 连接BC, .DCOB,.∠DCB+∠OBC=180° ∠ACD=60°，∠0BA=45°， .∠ACB+∠ABC=180°-60°-45°=75°， ..∠CAB=180°-75°=105°， .∠BAD=360°-90°-105°=165°， .当a=165时，CD/0B. ⑤如图6，当ax=135时，ADOB.理由如下： AD/0B,∠DA0=∠0=90°， .∠BAD=90°+45°=135°， .当a=135时，AD/∥0B. 图6 图7 ⑥如图7，当a=75时，CD∥0A.理由如下： .·CDOA,∴.∠D=∠DA0=30°， ·.∠BAD=30°+45°=75°， .当a=75时，CD/∥0A. ⑦如图8，当=45°时，AC∥0B.理由如下： AC∥OB,.AO与AD重合， ∠BAD=45°，.当a=45时，AC/∥0B. 图8 图9 ⑧如图9，当a=30°时，CD∥AB.理由如下： CD∥AB,∴.∠BAD=∠D=30°， .当a=30°时，CD∥AB. 第2课时平行线的性质定理 1.A2.30°3.B4.50°5.C6.120° 7.证明：AB/∥CD,.∠A+∠C=180°. AC∥DE,.∠C=∠D. 又：∠D+∠E=180°，.∠A=∠E. 8.A9.120° 10.证明：AE平分∠BAC.∠1=∠2. AC∥DE,∠1=∠3，∠2=∠3. ,DF∥AE,∴.∠2=∠5，∠3=∠4， .∠4=∠5，.DF平分∠BDE 11.证明：如图，延长ME交CD于点P. .AB∥CD ∠1=∠3. ∠1=∠2， .∠2=∠3，.MEHN, ∴.∠MGH=∠GHN :∠MGH=∠MEF,.∠MEF=∠GHN. 12.①②④解析：根据题意可知，∠A+∠AHP=180°， ..PH//AB. ABCD,CDPH,.结论①正确， .AB∥CD∥PH. .∠BEP=∠EPH,∠DFP=∠FPH, ∴.∠BEP+∠DFP=∠EPF: 又.PG平分∠EPF, ∴.∠EPF=2∠FPG=2∠EPG, .∠BEP+∠DFP=2∠EPG, 结论②正确. ∠GPH与∠FPH不一定相等， .∠FPH=∠GPH不一定成立， .结论③错误 .·∠AGP=180°-∠PGH=180°-(180°-∠HPG-∠PHG)= ∠HPG+∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+∠GPH=∠FPG, ∠FPG=∠EPG. .∴.∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG =∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG =∠A+∠FPG+∠PHG-∠FPG =∠A+∠PHG=18O°，即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG= 180°，.结论④正确. 综上所述，正确的结论有①②④. 微专题5直尺与三角板中的平行问题 【典题】26° 【针对训练】1.A2.B3.C4.B 培优专题四平行线常见“拐点”模型 1.A2.140 3.证明：(1)如图，过点P作PQ∥AB. AB∥CD,ABPQ, .CDPQ(平行于同一条直线的两条直线平行)， .∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C(两直线平行，内错角相等)， ..∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C. Q D (2).·AE平分∠BAP,CE平分∠DCP, .可设∠EAB=∠EAP=x,∠ECD=∠ECP=y, 由(1)可知∠AEC=x+y,∠APC=2x+2y, .∴.∠APC=2∠AEC. 4.C5.80°6.B=3a 7.解：(1)过点B作BHDF,如图. ·AEDF,.AE∥BH∥DF, .∴.∠BDF+∠DBH=180°， ∠HBA=∠BAG ,∠CAE=20°，∠BAC=90°. .∠BAG=180°-90°-20°=70°」 ∴.∠HBA=70°. :∠ABC=60°，BC平分∠ABD, .∴.∠ABD=2∠ABC=120°， .∠DBH=120°-70°=50° ∴∠BDF=180°-50°=130° (2)设∠CAE=x,则∠BAG=90°-x,∠BDF=5x. 由(1)可知，∠ABD=120°，∠HBA=∠BAG=90°-x, ∴.∠DBH=120°-(90°-x)=30°+x, ,∴.∠BDF=180°-(30°+x)=150°-x=5x, 解得x=25°， ∴.∠CAE=25 8.C9.C10.100°11.72 滚动练习二(1~3节) 1.B2.C3.C4.D5.C6.55°7.1258.75° 9.解：(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角 中，条件是两个角的和等于180°，结论是这两个角互为 补角. (2)等式两边都加上同一个数或同一个整式，等式仍然成立 中，条件是等式两边都加上同一个数或同一个整式，结论是 等式仍然成立 (3)两个钝角相等中，条件是两个角是钝角，结论是这两个 角相等. (4)如果a=b,b=c,那么a=c中，条件是a=b,b=c,结论是 a=c. 10.证明：BD∥GF,∴.∠1=∠ABD. .∠1=∠2，∴.∠2=∠ABD, .DE∥AB,.∠DEC=∠ABC 11.证明：.DE⊥BC,FG⊥BC, .∠DEB=∠FGB=90°， .FGDE,.∠F=∠FED. ,·FE∥AB,∴.∠FED+∠ADE=180°， .∴.∠F+∠ADE=180°. 12.证明：∠AED=∠C, .'.DE∥BC,.∠B+∠BDE=180° .∠DEF=∠B, ∴.∠DEF+∠BDE=180°， ..AB∥EF,.∠1=∠2. 13.解：AD∥EF理由如下： ∠1=∠2，∴.∠ABE=∠DBC ,∠3=∠ABE .∠3=∠DBC,.EF∥BC. .·∠ADC+∠C=180° .ADBC,.AD∥EF 14.解：(1)过点P作直线PH∥AB,如图1， 则∠AEP=∠EPH. AB∥CD,PH∥AB, .∴.PHCD,∴.∠HPF=∠PFC 图 :∠EPF=∠EPH+∠HPF, ∴.∠EPF=∠AEP+∠PFC. (2)过点P作直线PH∥AB,如图2， .∴.∠AEP+∠EPH=180°. .AB∥CD,PH∥AB, .PH//CD. ∴.∠HPF+∠PFC=180°， .∠AEP+∠EPH+∠HPF+∠PFC=36O°. H- .·∠EPF=∠EPH+∠HPF, .∴.∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°， 图2 答案：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360 (3)∠PEB,∠PFD的平分线交于点Q, LBEQ=LPEB,LDFQ=2 LPFD. ①当点P在线段EF左侧时，如图3， B .·∠PEB+∠EPF+∠PFD=360°， ∠EPF=70°， .∴.∠PEB+∠PFD=360°-70°=290°， 图3 LB0F=∠BEQ+∠DFQ=2(LPEB+∠PFD)=145: ②当点P在线段EF右侧时，如图4， ·∠EPF=∠PEB+∠PFD,∠EPF=70°， .∴.∠PEB+∠PFD=70°， C 1 ·∠EQF=LBEQ+∠DFQ=2(LPEB+ 图4 ∠PFD)=35°. 答案：35°或145 章末复习 核心考点练真题 1.B2.AC3.0(答案不唯一)4.五5.C6.B7.A 8.A9.B10.B11.D12.C13.C14.145° 新中考新考法 1.D解析：如图，过点E作EMAB. AB∥CD,.EMCD, .∠ABE+∠BEM=∠CDE+∠DEM=180°， .∠ABE+∠BEM+LCDE+∠DEM=360°， ..∠ABE+∠CDE+∠BED=360°. .·∠ABE=130°，∠CDE=145°， .∠BED=360°-130°-145°=85°.故选D 2.A3.B4.105 第九章概率初步 1可能性大小 1.D2.D3.D4.B5.必然6.C7.A8.甲9.B 10.B11.④12.红球或黄球13.⑤④③②① 14.解：(1)要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球 1个、白球1个，蓝球2个. (2)要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红 球2个、白球1个、蓝球1个 15.解：(1)当n=5或6时，这个事件必然发生 (2)当n=1或2时，这个事件不可能发生 (3)当n=3或4时，这个事件可能发生. 2频率的稳定性 1B2.D3214B5B60.957.D8D9. 2 10.D11.800