精品解析：上海市三林中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试卷

三林中学2025学年第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 【答案】 【解析】 【详解】由弧长公式，其中，，得． 2. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，，，所以，所以. 故答案为：. 3. 已知，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】. 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数定义及二倍角公式即可求解. 【详解】根据任意角的三角函数定义可知， 所以，. 6. 函数，的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得答案． 【详解】由，得， 因为，所以， 所以的定义域为. 故答案为：. 7. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的定义直接求解即可. 【详解】依题意，在方向上的数量投影为. 故答案为： 8. 已知，的图像如图所示，则函数解析式为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的最值、周期性以及特殊点的函数值求得的解析式. 【详解】由图可知的最小值为，所以， ， 所以， ， 所以 ， 由于，所以取，， 所以. 9. 若锐角满足_______________. 【答案】 【解析】 【详解】因，故， ，应填答案． 10. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，得到，注意排除与反向共线这种情况，进而即可求出答案． 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 11. 已知等腰中，分别为的中点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 12. 已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______． 【答案】（3）（4） 【解析】 【分析】化简函数后作出函数在一个周期内的图象，根据函数图象求出函数的值域和周期判断（1）（2），结合函数图象及周期性判断（3），根据诱导公式和同角三角函数基本关系，分段化简求值即可判断（4）. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 即，所以， 综上，，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，故（1）不正确； 该函数是以为最小正周期的周期函数，故（2）不正确； 该周期内的区间为， 故恒有，故（3）正确； 当时， 当时， 当时， ； 综上，任意恒成立，故（4）正确． 故答案为：（3）（4） 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 14. 是或的（　　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 15. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（ ） A. 关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B. 关于直线成轴对称，且以2π为周期 C. 以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D. 夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时； 当时，； 综上，在一个周期内的， 在一个周期内的图象如下： 由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，共52分，须写出答题步骤） 17. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，，求； （2）若面积等于，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可求得，结合，可求得； （2）由三角形面积公式可求得，进而利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，因为，，， 所以，所以，又因为，所以 所以. 【小问2详解】 若面积等于，则，所以， 所以，又因为，所以. 在中，由余弦定理可得， 所以，所以. 19. 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调递减区间； 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算求解即可. （2）利用整体代入法求解的单调递减区间即可. 【小问1详解】 由题意可知，，， 则由平面向量的坐标得， 故，则. 【小问2详解】 由辅助角公式得， 令，得， 故的单调递减区间为. 20. 已知函数的最小正周期为. （1）化简函数的表达式，并求出的值； （2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用辅助角公式化简，利用最小正周期为求出的值； （2）把不等式 在上恒成立转化为在上恒成立即，利用三角函数求出在上的值域，再求出实数的取值范围. 【小问1详解】 所以. 【小问2详解】 即在上恒成立 在上恒成立， 由于，所以 ，故， 所以，，实数的取值范围为. 21. 定义有序实数对的“跟随函数”为. （1）记有序数对的“跟随函数”为，若，求满足要求的所有； （2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数与直线有且仅有二个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入有序数对得跟随函数，令化简得，结合求得唯一解. （2）代入有序数对得，进而得，化为，结合分析单调性、最值及图象，确定的取值范围为. （3）由得 ，化为正弦型函数，利用最大值点性质推出，再用二倍角公式化简，结合分析单调性，得的取值范围为. 【小问1详解】 由定义，有序数对的跟随函数为. 令，即，移项得. 当时，两边同除以，得. 已知，满足的解为. 当时，显然不成立. 验证：当时，，符合条件. 故满足要求的所有为. 【小问2详解】 由题意，有序数对的跟随函数为，则，. 整理得. 令，由得，则，. 函数在上递增，在上递减. ，，. 作出函数，的图象. 由图象可知，当时，函数与直线有且仅有2个不同的交点. 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题意. 其中， 易知 时，，， ， 同理，，， 时，函数是增函数，因此. 从而，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三林中学2025学年第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 2. 已知，，若，则______． 3. 已知，则_____________. 4. 已知，则______． 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则_____________. 6. 函数，的定义域为__________. 7. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 8. 已知，的图像如图所示，则函数解析式为_____________. 9. 若锐角满足_______________. 10. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 11. 已知等腰中，分别为的中点，若，则___________． 12. 已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 14. 是或的（　　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（ ） A. 关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B. 关于直线成轴对称，且以2π为周期 C. 以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D. 夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 三、解答题（本大题共5题，共52分，须写出答题步骤） 17. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，，求； （2）若面积等于，，求的值. 19. 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调递减区间； 20. 已知函数的最小正周期为. （1）化简函数的表达式，并求出的值； （2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围. 21. 定义有序实数对的“跟随函数”为. （1）记有序数对的“跟随函数”为，若，求满足要求的所有； （2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数与直线有且仅有二个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $