精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（B卷）

2024~2025学年上海市建平中学高一下学期期中测试卷（B卷） 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 函数的单调递减区间是__________． 【答案】； 【解析】 【详解】因为，所以单调递增区间即为所求，由于正弦曲线在区间是单调递增的，所以函数的单调递减区间是，应填答案 2. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，再利用二倍角公式展开，结合弦化切可得结果. 【详解】因为，则， 所以， . 故答案为：. 3. 若为第一象限角，则__． 【答案】## 【解析】 【分析】先对利用同角三角函数的关系化简，然后利用对数的换底公式化简计算即可. 【详解】解：因为为第一象限角，， 所以， 则． 故答案为：． 4. 函数（其中）为奇函数，则____________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答. 【详解】函数是奇函数，则，而， 所以. 故答案为： 5. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围. 【详解】令，，解得，， 令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为， 故答案为：. 6. 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______. 【答案】7 【解析】 【详解】由，因为，所以共7个 考点：三角函数图像 7. 已知，则的值为______________； 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 8. 已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，分析该函数在上的性质即可. 【详解】函数，当时，， 当时，函数单调递增，函数值从1增大到， 当时，函数单调递减，函数值从减小到， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即关于的方程在有两个不等的实根， 所以的取值范围为. 故答案为： 9. 锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2＋c2-bc＝9，则b的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理可得，由为锐角三角形，可得，所以，再由正弦定理，所以即可得解. 【详解】因为且，，故， 因为为锐角三角形，则，， 由正弦定理，因为， 所以由可得， 故的取值范围是. 故答案为： 10. 在中，若，且，则的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 11. 已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 12. 已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为_____________.（写出所有可能的结果） 【答案】 【解析】 【分析】根据，可分类讨论时，结合正弦函数的图象和性质，即可得出答案. 【详解】“存在，使得”是假命题， 则，，任意实数均有， ①当时，任意实数均有，且， ，时，符合题意； ②当时，任意实数均有，即， ，， 当且仅当任意实数均有，则， 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 综上所述：满足条件的有序实数对为：. 故答案为：. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式根据正弦定理和充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】在中，等价为， 若，则，由正弦定理得成立，即必要性成立， 若，则由正弦定理得，即成立，即充分性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C 14. 李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为： 下列判断错误的是（ ） A. 当时，辅助角 B. 当时，辅助角 C 当时，辅助角 D. 当时，辅助角 【答案】D 【解析】 【分析】根据的正负确定的正负，进而结合确定的范围，再结合反三角函数的定义即可求解. 【详解】， 其中， 当时，，则，所以，故A正确； 当时，，则，所以，故B正确； 当时，，则，所以，故C正确； 当时，，则，所以，故D错误. 故选：D. 15. 下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 16. 已知下列命题，其中假命题有（ ） A. 要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度． B. 已知函数，当时，函数的最小值为． C. 已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限． D 对任意角均有：． 【答案】C 【解析】 【分析】对A，利用平移变换求出解析式判断；对B，利用二次函数求出最小值判断；对C，利用正弦函数单调性推理判断；对D，根据三角恒等变换化简即可.. 【详解】对于A，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度， 得的图象，而， 即得到函数的图象，故A正确； 对于B，，，而，， 所以当时，函数的最小值为，故B正确； 对于C，在锐角中，，且， 因此， 而正弦函数在上单调递增，则，即，于是， 同理，即，所以点在第四象限， 故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：C 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. （1）若，求：A的大小； （2）若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求. （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，，则，又， 所以. 【小问2详解】 由边上的高等于，得，即， 由余弦定理得，于是， 则，， 由，得，因此，， 所以的取值范围为. 18. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】（1）； （2）详见解析；元. 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【小问1详解】 在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 【小问2详解】 由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 19 已知函数（）. （1）化简的解析式，并写出函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；最小正周期为 （2） （3）图象见解析； 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. 【小问3详解】 解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线 由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为. 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【小问1详解】 ， 由， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； 【小问3详解】 ， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上海市建平中学高一下学期期中测试卷（B卷） 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 函数的单调递减区间是__________． 2. 若，则______． 3. 若为第一象限角，则__． 4. 函数（其中）为奇函数，则____________； 5. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 6. 定义在区间[0,3π]上函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______. 7. 已知，则的值为______________； 8. 已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 9. 锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2＋c2-bc＝9，则b的取值范围是________． 10. 在中，若，且，则的周长为______. 11. 已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 12. 已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为_____________.（写出所有可能的结果） 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为： 下列判断错误的是（ ） A. 当时，辅助角 B. 当时，辅助角 C. 当时，辅助角 D. 当时，辅助角 15. 下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ） A. B. C. D. 16. 已知下列命题，其中假命题有（ ） A. 要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度． B. 已知函数，当时，函数的最小值为． C. 已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限． D. 对任意角均有：． 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. （1）若，求：A大小； （2）若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 18. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 19. 已知函数（）. （1）化简的解析式，并写出函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）用五点法画出函数，图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 20 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求取值范围. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$