第3章 二次函数测试卷-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

:BM=号AB=150m=EF, ∴.DE=DF-EF=600-150=450(m), .登山缆车上升的高度DE为450m. (2)在Rt△BDE中，∠DBE=53°，DE=450m, DE ≈450=562.5(m), ∴.BD=sin∠DBE≈0.80 ,∴，需要的时间t=t步行十t缆车 300+562.5≈19.4(mim. 3060 从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟. 20.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D,在BD上取点 E,使CE=BE, ∴.∠BCE=∠B=15°， .∠CED=∠BCE+∠B=30」 在Rt△ACD中，∠A=45°，AC=1, AD-CD-AC- 2 在Rt△CDE中，∠CED=30, DE-CD-.CE-2CD ∴.BE=CE=√2， AB=AD+DE+E-号++反-36 2 21.解：如图，过点B作BD LAC,垂足为D. 由题意，得∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45 在Rt△ABD中，AB=100海里， .AD=AB·cos50°≈100×0.643=64.3（海里）， BD=AB·sin50°≈100×0.766=76.6（海里）. 在△B0C中.CD-0=766海里. ∴.AC=AD+CD=64.3+76.6≈141（海里）， ,∴.此时货轮与A港口的距离约为141海里. 25 700 22.解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度 如图，作EG⊥AB,垂足为G,作AH⊥CD,垂足为H 肥 E D 由题意，知EG=BF=40米，EF=BG=12.88米，∠HAE= 16=∠AEG=16°，∠CAH=9°，AB=DH,AH=BD. 在Rt△AEG中，：tan∠AEG=E AG tam16°=AG,即0.287≈ AG 40 40 ∴.AG≈40×0.287=11.48（米）， 5 ∴.AB=AG+BG=11.48+12.88=24.36(米)， .∴.HD=AB=24.36米 在Rt△ACH中，：AH=BD=BF+FD=8O(米)， ianCAB m9r-即a158* 80 ∴.CH≈80×0.158=12.64（米）， ∴.CD=CH+HD=12.64+24.36=37.00(米)， .综合楼的高度约是37.00米. 23.解：【拓展探究】 如图，作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E. 在R△ABE中，SimB=AE_AE AB c 同理sinB=CDCD BC=a,sin∠BAC CD AC ,sin∠BCA=AE=AE CD AC 6 ∴.AE=csin B,AE=bsin∠BCA,CD=asin B, CD=bsin∠BAC, b b 'sin B sin∠BCA'sin∠BAC sin B' a b :sin∠BAC=sinB-sin∠BCA' 即ABiC b 【解决问题】 如题图3，在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C= 180°-75°-60°=45. ·ABAC AB 60 sin Csin B'sin 60sin 45 ∴.AB=30√6m,∴点A到点B的距离为30√6m. 第三章测试卷 1.B2.C3.D4.D5.B6.D7.D8.C9.D10.A 1.①@02.-4 13.914.<15.19 16.解：(1)由题意可得，二次函数的顶点坐标为(1,1). 设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+1, 把点(0,0)代入y=a(x-1)2+1,得a=-1, 故抛物线的表达式为y=一(x一1)2十1， 即y=-x2十2x. (2)根据表格中的数据作抛物线的图象如图所示. 4 3 -5-4-3-2-1912345x 人3 (3)当y=-3时，即-x+2x=-3, 解得x1=一1，x2=3, 结合函数图象，当y<-3时，x>3或x<-1. 答案：x>3或x<-1 17.(1)证明：当y=0时，即x2-(2m-1)x十m2-m=0. :'△=[-(2m-1)]2-4(m2-m)=1>0, ,方程有两个不相等的实数根， ,∴，此抛物线与x轴必有两个不同的交点 (2)解：当x=0时，根据题意，得m2-m=-3m十4， 解得m1=-1十√5,12=-1-√5. 18.解：(1)设函数的表达式为y1=a(x-3)2十2， 将点A的坐标代入上式，得0=4a十2， 1 解得a=一之 则抛物线的表达式为y=一2（红一3）+2 ∴，抛物线的对称轴为直线x=3. A(1,0),根据函数的对称性，知点B(5,0), 则AB=5-1=4. (2)由题意，得，=-2（x-3)+2+m, 1 令：=-2(x-3》+2+n=0, 则x=3士√2n+4, 则CD=2√2十4=8， 解得n=6, 则y=- 2x-3)+8. 19解：1将A1.0代人y号 2x十c, 得0=号×1+2×1+=-2 +2-2 1 令y气2x2十号x2=0,解得无1，=4 ∴.B(-4,0),即t=-4. (2)设点P的纵坐标为n,其中n>0. 3 n=20C. 抛物线y=名+号-2与y轴交于点C ∴.C(0,-2),即OC=2, m=×2=8.令22+2-2=3， 3 解得x1=2,x2=一5（舍去），故P(2,3). 20.解：(1)根据题意，可知较大矩形的宽为2xm,长为 24-x-2x=(8-x)m, 3 .(x十2x)X(8一x)=36,解得x=2或x=6 经检验，当x=6时，3x=18>10,不符合题意，舍去， x=2. 答：此时x的值为2. (2)设矩形养殖场的总面积是ym, -10 因为墙的长度为10m,所以0<3x≤10，即0<x≤3 5 根据题意，得 y=(x+2x)X(8-x)=-3.x2+24x=-3(x-4)2+48. :-30且0≤号 .当x= 时y取最大值， 3 最大值为-3×(9-4)°+48-1g(m)。 答：当x三。m时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 1 3 m. 21.解：(1)由题意，可得 p=500-10(x-50)=-10x+1000(x≥50)， 即日销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是 p=-10x+1000(x≥50)， 当x=60时，p=-10×60+1000=400. 答案：400 (2)由题意，可得 W=(x-40)(-10x+1000)=-10.x2+1400x-40000 =-10(x-70)2+9000, 由题可知，每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， 之50，即≥50. p≥350， -10x+1000≥350， 解得50x65. .-10<0,50≤x≤65，对称轴为直线x=70, .当x=65时，W取得最大值，此时W=8750. 答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W(元)最大，最 大利润是8750元. (3)小强的说法正确.理由如下： ,50≤x≤65， 设日销售额为y元，则 y=x·p=x(-10x+1000)=-10x2+1000x =-10(.x-50)2+25000. ,-10<0,50≤x≤65，对称轴为直线x=50, .当x=50时，y值最大，此时y=25000, ,当x=65时，W值最大，此时W=8750, ∴.小强的说法正确. 小红的说法不正确.正确结论为当日销售利润不低于 8000元时，60≤x65. 当日销售利润不低于8000元时， 即W≥8000， 即-10(x-70)2十9000>8000，解得60≤x≤80. .50≤x≤65， .当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65. 故小红的说法错误，当日销售利润不低于8000元时，每盒 售价x的范围为60≤x≤65. 22.解：(1)直线AC:y=一8x十8，当x=0时，y=8, ,∴.C(0,8).令y=0,即y=一8.x十8=0时，解得x=1, ∴.A(1,0). ,抛物线y=x2十bx十c经过A,C两点， 小-一0深得伦 c=8, .抛物线的表达式为y=x2-9x十8. (2)当y=x2-9x十8=0时，解得x1=1,x2=8, ∴，B(8,0),.易得直线BC的表达式为y=一x十8. 设M(m,m-9m十8)(1<m<8),则N为(m,-m十8)， ,∴.MN=-m+8-(m2-9m+8)=-m2+8m= -(m-4)2+16, .当M运动到(4，一12)时，线段MN的长度最大为16. 23.解：(1)二次函数的最小值为一1，点M(1,m)是其对称 轴上一点，∴.二次函数图象的顶点坐标为(1，一1). 设二次函数的表达式为y=a(x一1)2-1， 将点O(0,0)代入，得a-1=0,.a=1, .二次函数的表达式为y=(x一1)2一1=x2-2x. (2)如图，连接OP. 当y=0时，即x2-2x=0,x=0或2，.A(2,0). ,点P在抛物线y=x2一2x上，点P位于第四象限， .点P的纵坐标为t2一2t,0t<2, ∴.点P到x轴的距离为一t2+2t, ∴.S=S△A0B+S△OAP-S△0BP ×2x1+2×2-+20)7=+24+1 1 1 (3)存在.N(1,-1)或(3,3)或(-1,3). ,N是二次函数y=x2一2x图象上一点， ∴.设V(n,n2-2),利用平移法或对点法求解： 如图1，当AB为对角线时，由中点坐标公式，得2十0= 1+n,∴n=1,.N(1,-1); ↑y N 图1 如图2，当AM为对角线时，由中点坐标公式，得2+1= n+0,∴.n=3,.N(3,3): 0 图2 如图3，当AN为对角线时，由中点坐标公式，得2十= 0+1,∴.n=-1,∴.N(-1,3). 5 图3 综上：V(1,一1)或(3,3)或(-1,3) 第四章测试卷 1.C2.A3.D4.A5.C6.B7.A8.B9.C10.A 11.中心投影12.平行四边形（答案不唯一）13.614.8√3 15.(3.6,0) 16.解：如图所示. 主视图 左视图 俯视图 17.解：(1).此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 答案：中心投影 (2)AB⊥CP,PO⊥PC, ..OP//AB, ∴.△ABC∽△OPC, 0瓷品3.5 12 3 解得OP=5m, ∴路灯的高度为5m. 18.解：(1)如图所示. 从正面看从左面看 图2 (2)如果现在还有一些大小相同的小立方块，要求保持从 正面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加3个小 立方块，如图所示。 2 答案：3 19.解：(1)A1B1=AB=10cm (2)如图，过A作AH⊥BB2于点H,则易得AH=A2B. B /a B2 在Rt△BAH中，∠BAH=30°，AB=10cm, AH=ABcs30°=10X5 2 =5√5(cm), 即A2B2=53cm.第三章测试卷 电- (时间：120分钟分值：120分) 碧 、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小 舜 郑 题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.函数y=(a一1)+1十x-3是二次函数时，a的值是( A.1 B.-1 C.±1 D.0 2.函数Vx3 3 中，自变量x的取值范围是 √/5-x A.x>5 B.3≤x<5 C.x<5 D.3≤x≤5 3.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x一1)2+1的图象向 左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数 的表达式为 () A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 4.下列关于二次函数y=3(x十1)(2一x)的图象和性质的叙 述中，正确的是 ( ) A.点(0,2)在函数图象上 布 B.开口方向向上 即 C.对称轴是直线x=1 D.与直线y=3x有两个交点 5.- 次函数y=ax十b与二次函数y=ax2+bx十c在同一平 面直角坐标系中的图象可能是图中的 是来 6.当a≠b时，将(a,b),(b,a)两个点称为一对“关联的对称 点”.若抛物线y=一x2十x十c(c是常数)总存在一对“关联 的对称点”，则c的取值范围是 A.c<2 B.c<1 C.c>2 D.c>1 7.如图，已知抛物线y=ax2十c与直线y=k.x十 m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点，则关于x 阁 的不等式ax2+c≥一kx+m的解集是( 拼 A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 8.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0，a,b,c为常数)的部分对应 值列表如下： 0 1 2 c+6 则代数式9a+3b的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 9.2024年的卡塔尔亚洲杯足球赛受到广泛关注，在半决赛中， 某球员的一脚射门使足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球 距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关 系式为h=一t2十bt.已知足球被踢出9s时落地，那么足球 到达距离地面最大高度时的时间t为 () A.3 s B.3.5s C.4s D.4.5s 10.已知二次函数y=ax2+bx十c图象的对 称轴为直线x=1,其图象如图所示，现有 下列结论：①abc>0,②b-2a<0,③a b+c>0,④a+b>n(an+b)(n≠1)，-l01:2 ⑤2c<3b,其中正确的是 ( A.④⑤ B.②⑤ C.③④ D.①③ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11.下列函数中：①y=-3x2;②y=-3(x十3)2；③y=-3x2-1; ④y=一2x2+5;⑤y=一(x一1)2，图象形状、开口方向相 同的是 12.如图，抛物线y=ax2+1(a<0)与过点 (0,一3)且平行于x轴的直线相交于点 A,B,与y轴交于点C,若∠ACB为直 角，则a= 13.已知抛物线y=x2一6x+m与x轴有且 只有一个交点，则m= 14.已知点A(m,0),B(-1,y1),C(5,y2)在抛物线y=ax2十 bx(a>0)上，若2<m<4,则y1 y2(填“>”或 “<”) 15.2025年3月30日，C919国产大飞机首航沈阳成功.沈阳桃 仙国际机场以民航“水门礼”为“国之重器”接风洗尘.如图1， 在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱， 喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如 图2，当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时，两 条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面 20米，喷水口A,B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退 10米，两条水柱的形状及喷水口A',B到地面的距离均保持 不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米. H HBB' 0 图1 图2 三、解答题：本大题共8个小题，共75分.解答要写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤， 16.(7分)在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点 的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： -1 0 1 2 y -3 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)若y<一3，结合函数图象，直接写出x的取值范围 是 4 3 2 1 -5-4-3-2-012345 3 3 -5 17.(8分)已知抛物线的函数关系式为y=x2一(2m一-1)x十 m2-m. (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线y=x一3m+4的一个交点在y轴 上，求m的值. 5 18.(8分)已知抛物线y1的顶点坐标为(3,2)，与x轴交于A, B两点，且A(1,0). (1)求y1的表达式及A,B间的距离； (2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与 抛物线交于C,D两点，且CD=8.求出新坐标系下抛物线 y2的表达式及n的值. 19.8分)如图.已知范物线y=+ 2x十c与x轴交于 A(1,0),B(t,0),与y轴交于点C. (1)求c,t的值； (2)若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足 S△ABP= )SAMc,求点P的坐标 20.(10分)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资 源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m),另外三面用栅 栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知 栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如图). 6 (1)若矩形养殖场的总面积为36m,求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ -10m- 21.(10分)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临 前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每 盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往 销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为 500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒 售价为x元，日销售量为p盒. (1)当x=60时，p= (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最 大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小 红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范 围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请 说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论. 22.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=一8x十8与 x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过 A,C两点，与x轴的另一交点为B (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式： (2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC 于点N,当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最 大，求此时点M的坐标及线段MN的长度. B 23.(12分)如图，二次函数y=ax2+bx十c的图象与x轴交于 O(O为坐标原点)，A两点，且二次函数的最小值为一1，点 M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上有一点B(0,1). (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连接PA, PB,设点P的横坐标为t,△PAB的面积为S,求S与t的 函数表达式； (3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符 合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. B M 0