3.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（第一课时） 随堂练习2025-2026学年鲁教版数学九年级上册

4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 随堂练习 第一课时 学习目标 1. 会画二次函数y=ax²+k的图象. 2. 能说出y=axz²+k的图象与y=ax²的图象之间的关系. 3. 能运用二次函数y=ax²+k的性质解决问题. --------------------------------------------------- 课标考点 考点1二次函数y=ax²+k图象的性质 1.已知抛物线：y=+5,则它的顶点坐标是______,对称轴是______,开口方向是____.当x__时，函数y=+5的值随x的增大而增大；当x____时，函数y=+5的值随x的增大而减小. 2.已知二次函数y=ax²+c,当x取()时，函数值相等，则当x取时，对应的函数值为( ) A.a+c B.a-c C.-c D.c 考点2二次函数y=ax²与y=ax²+k的关系 3.抛物线y=4x²+3是将抛物线y=4x²向平移________个单位得到的. 4.将抛物线y=mx²+n向上平移2个单位得到抛物线y=3x²-1,则m=________, n=______. ----------------------------------------------------------- 典例解析 例1如图，已知抛物线y=-2x²+2与直线y=2x+2交于A,B两点. (1)求A,B两点的坐标； (2)求△ABO(点O为坐标原点)的面积. 【点拨】(1)联立两个函数表达式求解即可.(2)求出OA与OB,即可求得△ABO的面积. 解(1）联立y=-2x²+2,y=2x+2. 解得x=-1,y=0,,或x=0，y=2. ∴A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2). (2)∵A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(0,2), ∴OA=1,OB=2. =OA·OB=×1×2=1. 例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+3与y轴交于点 A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于B.C两点，求BC的长. 【点拨】先根据y轴上点的坐标特征得到A点的坐标为(0,3),再利用BC//x轴得到B,C两点的纵坐标都为3,然后利用函数y=算出函数值为3时所对应的自变量即可得到B,C两点的坐标，再计算BC的长. 【解】当x=0时，y=ax²+3=3,则A点的坐标为(0,3). ∵BC//x轴， ∴B,C两点的纵坐标都为3. 当y=3时，=3. 解得 ∴B,C两点的坐标分别为(-3,3),(3,3), ∴BC=3-(-3)=6. 【方法小结】 二次函数y=ax²+k中的a决定图象的开口大小和方向. 当a<0时，开口向下； 当a>0时，开口向上； |a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大. k决定图象由抛物线y=ax²上下平移的方向和距离. 当k<0时，向下平移|k|个单位； 当k>0时，向上平移|k|个单位. ----------------------------------------------------------- 同步训练 1.抛物线y=-x²+4与y轴的交点坐标是( ) A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,-4) D,(0,4) 2.将抛物线y=3x²-3向下平移3个单位得到抛物线( ) A.y=3(x-3)²-3 B.y=3x² C.y=3(x+3)²-3 D.y=3x²-6 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-mx+n²与二次函数y=x²+m的图象可能是( ) 4.二次函数y=-x²+3的图象的顶点坐标是_____. 5.二次函数y=-x²+b的图象经过点(一4,5),则b=______. 6.已知函数 (1)当x=时，求y的值； (2)当y=8时，求x的值. 7.已知二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象经过A(2,3),B(-1,6). (1)求该函数的表达式； (2)若点C(-3,m),D(n,5)也在该函数的图象上，求m,n的值. 8.已知抛物线y=-3x²,把它向上平移，得到的新抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点.如果△ABC是直角三角形，那么应将抛物线y=-3x²向上平移几个 单位? 9.将抛物线y=a(x-h)²向左平移2个单位得到抛物线y=-3(x+5)²,求a,h的值. 参考答案： 【课标考点】 1.(0,5) y轴 向下 <0 >0 2.D 3.上 3 4.3 -3 【同步训练】 1.D 2.D 3.D 4.(0,3) 5.21 6.解：(1)∵x=<2,∴当x=时，y=()²+2=5. (2)①当x≤2时，x²+2=8.解得x=-√6. ②当x>2时，x-2=8.解得x=10. 综上，当y=8时，x=或10. 7. 解：(1)将A,B的坐标代入y=ax²+k, 得解a=-1，k=7 ∴y=-x²+7. (2) 当x=-3时，y=-(-3)²+7=-2, 即m=-2. 当y=5时，-x²+7=5.解得x=±√2, 即n=土√2. 8. 解：由题意知，△ABC必为等腰直角三角形. 设平移后得到的新抛物线为y=+k, 则C(0,k),A(-k,0),B(k,0). 把(k,0)代入y=+k,得0=-3k²+k. ∴k=0(舍去),或k=3. ∴应将抛物线y=向上平移3个单位. 9. 解：将抛物线y=a(x-h)²向左平移2个单位后， 得到抛物线y=a(x-h+2)², ∴x-h+2=x+5,且a=-3. ∴a=-3,h=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $