微专题22 圆的综合问题-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第五章圆 微专题二十二 圆的综合问题 类型一圆与全等综合 类型二圆与相似综合 1.(眉山中考)如图，△ABC中，以AB为直径 2.(菏泽中考)如图，AB为⊙O的直径，C是圆 的⊙O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点 上一点，D是BC的中点，弦DE⊥AB,垂足 E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延 为点F 长线于点P (1)求证：BC=DE; (1)求证：PE是⊙O的切线； (2)P是AE上一点，AC=6,BF=2,求 62若mn-号8P=4,求CD的长 tan∠BPC; (3)在(2)的条件下，当CP是∠ACB的平分 线时，求CP的长 正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的，篱笆不够用.若要围成长40米，宽15米的羊 圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110).父亲感到很为难.（待续） 173 练测考九年级数学全一册L小 类型三圆与锐角三角函数综合 4.(乐山中考)如图，已知⊙O是Rt△ABC的 3.(广安中考)如图，以Rt△ABC的直角边AB 外接圆，∠ACB=90°，D是圆上一点，E是 为直径作⊙O,交斜边AC于点D,点E是 DC延长线上一点，连接AD,AE,且AD= BC的中点，连接OE,DE. AE,CA-CE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (1)求证：直线AE是⊙O的切线； (2)若snC=,DE=5,求AD的长： (2)若sinE= ,⊙0的半径为3，求AD (3)求证：2DE2=CD·OE. 的长。 若要按原计划建造，就要再添10米长的材料：要是缩小面积，每头羊的占地面积就会小于6平方米.小 174 欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的占地面积会小于原来的计划.他有办法.（待续） 第五章圆 类型四与圆有关的动态综合题 (1)求圆心M的坐标； 5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， (2)若直线AD与⊙M相切于点A,交y轴 CD⊥AB,垂足为D,AD=2,点E是⊙O上 于点D,求直线AD的函数表达式； 的动点（不与点C重合），点F为CE的中 (3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上 点，若在点E运动过程中DF的最大值为4， 有一动点P,过点P作PE∥y轴，交直线AD 则CD的值为 于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD 相交于另一点F.当EF=4,5时，求点P的 坐标 B 6如图，已知直线y=子-3与x轴、y轴分 别交于A,B两点，P是以C(0,2)为圆心， 2为半径的圆上一动点，连接PA,PB.则 △PAB面积的最小值是 D B 类型五圆与函数综合 7.(烟台中考)如图，在直角坐标系中，⊙A与 x轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在 随数y=兰（>0≥0》的图象上，D为y拍 上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 0 B 8.(潍坊中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，点A(4,0),点B(0,4), △ABO的中线AC与y轴交于点C,且⊙M 经过O,A,C三点. 父亲不相信小欧拉会有办法，没有理他.小欧拉急了，大声说，“只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行 了.”父亲听了直摇头，心想：“怎么可能这么简单？”（待续） 175·BE=2-2 2 1 .S△ABE= 2x(-》-2 2 5.2056.8-2√27.√178.√37 微专题二十二 圆的综合问题 1.(1)证明：如图，连接OE ,AE平分∠BAC, ∴.∠OAE=∠DAE .OE=0A. ∴.∠OEA=∠OAE, ∠DAE=∠OEA, ∴.OE∥AD. ED⊥AC,.OE⊥PD. OE是⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线， 2解，mP=号85BP=4.OB=0E OE ..OE=2, ∴.AB=2OE=4, .'.AP=AB+BP=8. 在△APD中mP-0-名 AD-号AP-景 .AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°=∠AEC AE平分∠BAC, ∠BAE=∠CAE .AE=AE, .△AEB≌△AEC(ASA), ,∴.AB=AC=4, CD=AC-AD=I8-合 GD的长为 2.(1)证明：：D是BC的中点，.CD=BD DE⊥AB且AB为⊙O的直径， ∴.BE=BD,∴.BC=DE, ∴.BC=DE. (2)解：连接OD,如图1. .CD=BD, .∠CAB=∠DOB. AB为⊙O的直径， .∠ACB=90 DE⊥AB,.∠DFO=90°， .∴.△ACBc∽△OFD, 图1 指需 设00的半径为则'，， 解得r=5,经检验，r=5是方程的根， ∴.AB=2x=10 ∴.BC=√AB2-AC=8, BC 84 ∴tan∠CAB=AC=6=3 ,∠BPC=∠CAB, a∠BPC=专 (3)解：如图2，过点B作BG⊥CP交 CP于点G, ∴∠BGC=∠BGP=90°. 10 ,∠ACB=90°，CP是∠ACB的平 分线， .∴.∠ACP=∠BCP=45°， .∠CBG=45°， 图2 ..CG=BG=BCcos 45=42. anC-手 ∴.GP=3W2,CP=4W2+3W2=72. 3.(1)证明：连接OD,BD,如图. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .∠BDC=180°-∠ADB=90. :点E是BC的中点， ..DE=BE=EC. OB.OD是⊙O的半径， ∴.OB=OD. 又，OE=OE, .∴.△ODE≌△OBE(SSS), .∴.∠ODE=∠OBE=90°， ∴.OD⊥DE. OD是⊙O的半径 DE是⊙O的切线. (2)解：由(1)知DE=BE=EC,∠ADB=∠BDC= ∠ABC=90°. DE=5, ∴.BC=10. 血c-台 腮 ∴.BD=8. :∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=9O°， .∴.∠ABD=∠C, ∴sn∠ABD=nC=手 温 设AD=4x,则AB=5.x, .AD2+BD2=AB2, .(4x)2+82=(5.x)2, 解得x-号（负值会去 832 AD=4r=4X3=3 (3)证明：由(1)(2)得∠BDC=∠OBE=90°，BE=DE. 点O是AB的中点，点E是BC的中点， 6 .∴.OE∥AC,BC=2BE ∴∠C=∠OEB, .△BCD∽△OEB, 品R .∴.2DE2=CD·OE. 4.(1)证明：，∠ACB=90°， .AB是⊙O的直径： .AD-AE. ∠E=∠D ∠B=∠D, ∴∠E=∠B. .CA=CE, .∠E=∠CAE, .∠CAE=∠B, ∴.∠OAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=90°，即OA⊥AE. 又，OA是⊙0的半径， ∴.直线AE是⊙O的切线 (2)解：作CF⊥AE于点F, 则∠CFE=90°. :∠E=∠CAE=∠B, 猎m8=mE思号 .OA=OB=3, AB=6, E=CA=号AB=号×6=4 cp=号cE=号 4=8 31 AF=EF=vCE-√-(-45 3 AD-AE-2AF=2x45_85 3 31 5.236.57.24 8.解：(1)AC是△ABO的中线 .点C的坐标为(0,2)】 ∠AOC=90°， .线段AC是⊙M的直径， 点M为线段AC的中点， ∴.圆心M的坐标为(2,1). (2),AD与⊙M相切于点A, .AC⊥AD,.∠CAO+∠OAD=90° ,∠OCA+∠CAO=90°，∠OCA=∠OAD, R△0CRa0A…80- .OA=4,∴.OD=8. ∴点D的坐标为(0，一8). 设直线AD的丙数表达式为yk红十6，可得心。6：一 .k=2,b=-8. ∴.直线AD的函数表达式为y=2x一8. (3)设抛物线的表达式为y=a(x一2)2十1，且过点(0,4)， 。3 .4=a(0-2)2+1,.a=4: 抛物线的表达式为y=子-虹十4 设点P(a,子m-3加+4).则点EUom.2m-8. PE=m2-5m+12 在Rt△OAD中， .OA=4.OD=8 AD=√OA2+OD2=45. 如图，过点P作PH⊥EF,垂足为H. PE∥轴，∴∠PEH=∠ADO, .'.Rt△EHPORt△DOA, ..EH_OD 8 PE AD 45 EH=2×(m-5m+12) 5 1 EF-45EH-2EF-25 25-号x(m-mt12). D 化简，得3m2-20m十28=0，解得m1=2,m2= 14 3 点P的坐标为2.或（学，号） 章末复习 1.A2.D3.C4.B5.A6.B 7.解：(1)过点O作OD⊥AB,垂足为点D,如图. :AB=8AD=BD=号AB=4 在△0BD.中LADC-8裙 BD ..OB= cOs∠ABC =5, .⊙0的半径为5. 0 (2)过点C作CE⊥AB,垂足为点E. 0C=20B.0B=5 B0-0B=1.5 OD⊥AB, ∴.ODCE, 部 BE=6, AE=AB-BE=8-6=2. 在Rt△BCE中，CE=√BC2-BE=√7.52-62=4.5， 在R△ACE中aBC蛋-号， ∴∠BAC的正切值为？ 8.解：(1)如图，连接OD. ,FD为⊙O的切线， ∴∠ODF=90° .DF∥AB, ∴.∠AOD=180°-∠ODF=90°， ∴∠ACD=2∠A0D=45