微专题14 二次函数与几何图形的综合问题-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第三章 二次函数 微专题十四二次函数与几何图形的综合问题 类型一动点问题 (3)若点P是该图案上的一动点，点P,点Q 1.如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形， 关于直线y=一x对称，连接PQ,求PQ的 点E,点F分别为边AD,CD的中点，点O 最大值及此时点Q的坐标 为正方形的中心，连接OE,OF,点P从点E 出发沿E一O一F运动，同时点Q从点B出 发沿BC运动，两点运动速度均为1cms,当 点P运动到点F时，两点同时停止运动，设 运动时间为ts,连接BP,PQ.设△BPQ的 面积为Scm,下列图象能正确反映出S与t 的函数关系的是 B S/cm2 S/cm2 2t/ S/cm S/cm2 2 ts D 2.(连云港海州区模拟)如图，“爱心”图案是由 抛物线y=一x2十m的一部分及其关于直 线y=一x的对称图形组成，点E,F是“爱 心”图案与其对称轴的两个交点，点A,B, C,D是该图案与坐标轴的交点，且点D的 坐标为(6,0) (1)求m的值及AC的长； (2)求EF的长； 数字5：五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑 和声大厦的基石.（待续） 103 练测考九年级数学全一册L小 类型二存在性问题 4.如图，已知抛物线y=ax2十3ax十c(a>0) 3.(贺州中考)如图，抛物线y=一x2+bx十c 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点 过点A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于点C. A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，点C (1)求抛物线的表达式； 的坐标为(0，一3). (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当 (1)求抛物线的函数关系式； △PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求 (2)若点D是x轴上的一点，在抛物线上是 点P的坐标； 否存在点E,使以A,C,D,E为顶点且以 (3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第 AC为一边的四边形是平行四边形？若存 一象限上的点，使得S△BCM=S△BCP？若存 在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明 在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明 理由 理由 备用图 类型三相似三角形问题 5.抛物线y=ax2+3ax+b的 一部分图象如图，设该抛物线 与x轴的交点为A(一5,0)和 B,与y轴的交点为C,若 △ACO∽△CBO,则∠CAB的正切值为 R等 e 吗 五度相生律的优点在于所有五度的两个音听起来是非常“协和”的，因为任何两个五度音的频率比都 104是23，它仅次于八度的“协和”感，这是其他任何一个律法都无法做到的. 第三章二次函数 6.(烟台中考)如图，抛物线y=ax2十bx+2与 类型四最值问题 x轴交于A,B两点，且OA=2OB,与y轴 7.(西安未央区模拟)为了改善小区环境，某小 交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线 区决定在一块一边靠墙（墙长为25m)的空地 工号D为第一象限内抛物线上一动点，过 上修建一个矩形小花园ABCD.小花园一边 靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图 点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F, 所示.设矩形小花园AB边的长为xm,面积 设点D的横坐标为m. 为ym2. (1)求抛物线的表达式； (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当线段DF的长度最大时，求点D (2)当x为何值时，小花园的面积最大？最 的坐标； 大面积是多少？ (3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D, E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由 备用图 8.(临沂中考)第二十四届冬奥会在北京成功 举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金 牌.在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑 道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空 中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终 止.本项目主要考核运动员的飞行距离和动 作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学 问题进行了深入研究： 如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停 止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与 x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立 平面直角坐标系.着陆坡AC的坡角为30°， OA=65m,某运动员在A处起跳腾空后，飞 数字6：六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调. 105 练测考九年级数学全一册L小 行至着陆坡的B处着陆，AB=100m.在空 类型五平移或旋转问题 中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m) 9.(衡水模拟)如图，点P(a,6)是抛物线C: 与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数 y=4(x十2)+2上位于第二象限内的一 关系，其表达式为y=一 022+bx+c. 1 点，点A是抛物线C与y轴的交点 (1)求b,c的值； 程序演示： (2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中， 第一步：输人m.n 第二步：执行 其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间 t(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点 腾空时，t=0,x=0;空中飞行5s后着陆. ①求x关于t的函数表达式； ②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距 (1)写出抛物线C的对称轴和顶点坐标，并 离h最大，最大值是多少？ 求出a的值； (2)某同学设计了一个程序：已知数对[m, 助滑道 n],表示输入m和n的值，可将抛物线C沿 x轴方向向右(m>0)或向左(m<0)平移 |m|个单位长度，再沿y轴方向向上(n>0) 着陆坡 或向下(n<0)平移n个单位长度得到C' B 30°C 停止区 0 C D 若平移后的越物线C:y=2一x-2与 y轴交于点A',求数对[m,n]的值及△AA'P 的面积 数字7：常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派 106之后，中古教会七声调式部分得到复兴.（待续）整理，得2-10r十空-0.解得1=)子 点M的坐标为号-2)。 (3)如图，过点N作NEy轴交x轴于点D,交AB于点 C,过点B作BE⊥NE于点E, -2 公 设N(,2--)则c(-） cv=4--（--）= ++ S=Saa+Sam=·CN,0D叶7·CN,BE 1 8 =-》+ -g<00<5 当/=受时，△MBN的面积取最大值，最大值为经此 时，-名=一名当△ABV的面积最大时， 点V的坐标为号，)】 15.D16-0.5≤≤2.517D18.-1Ka≤-} 19.解：(1)-1≤x≤3. (2)设y=x2-1,则y是x的二次函数， ,a=1>0,∴抛物线开口向上. 又当y=0时，x2-1=0,解得x1=-1,x2=1, ,由此得抛物线y=x2一1的大致图象如图所示， =x2-1 观察函数图象可知：当x<-1或x>1时，y>0. .x2-1>0的解集是x<一1或x>1. 微专题十四二次函数与几何图形的综合问题 1.D 2.解：(1)把点D的坐标(W6,0)代入y=一x2十m,得m=6, y=-x2+6,.OA=6 由对称性得O℃=OD=√6，∴.AC=OA十OC=6十√6. (2)联立y=一x2+6与y=一x,得y=-x2+6. y=-x, 2 ∴.-x2十6=一x,即x2一x一6=0， x=-2或x=3,∴E(-2,2),F(3,-3) .E℉=√/(-2-3)2+(2+3)7=5√2. (3)当点P在抛物线y=一x2十6上时，设过点P与EF平 行的直线为y=一x十n,当直线y=一x十n与抛物线y= 一x2十6仅有一个交点时，PQ最大. 由-x2+6=-x十n得x2-x十n-6=0, 1 4=1-4(m-6)=0∴n=5, 2,x1=x2=2 r(2) :点P,点Q关于直线y=-x对称Q(-翠-）， Q=√（合+》+(+）52. A 当点Q在抛物线y=一x2+6时，同理可得点Q的坐标为 (2,)此时亦满足题意。 Q的最大值为52此时点Q的坐标为(-孕。》 或》 3.解：(1)把A(一1,0)，B(3,0)代入y=-x2十bx十c, 得幼部码 y=-x2+2x+3. (2),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. P(1.m),.PB=PC,..PB2=PC2, .(3-1)2十m2=1+(3-m)2, m=1,.P(1,1). (3)假设存在点M满足条件， 如图，作PQBC交y轴于Q,作MNBC交y轴于N. B 由(1)可知，C(0,3),设直线BC的表达式为y=kx十t, 将B(3.0).C(0.3)代入，得3十1=0， t=3, k=一1y=-x+3 t=3, PQBC,∴.设PQ的表达式为y=一x+p. P(1,1),.p=2, ∴PQ的表达式为y=一x十2，.Q(0,2). C(0,3),S△BCM=S△n.V(0,4). MNBC,.设MN的表达式为y=-x十n. 将N(0,4)代入，得n=4, .直线MN的表达式为y=一x+4. 由-x2+2x十3=-1十4，得x=3士5 2 点M横华标为3斗y或。石 21 9 4.解：(1)抛物线y=ax2十3ax十c(a>0)过点B(1,0), C(0,-3), a+3a+c=0, 3 解得 41 c=-3, c=-3 3 9 “抛物线的函数关系式为y=4x+41一3. (2)在抛物线上存在点E,使以A,C,D,E为顶点且以AC 为一边的四边形是平行四边形.理由如下： ①如图1，当点E在x轴下方时，则CE∥AD, D B 图1 .点E的纵坐标为一3， 令3=-3则+-3=-3 解得x1=一3，x2=0, .点E的坐标为（一3，一3）. ②如图2，当点E在x轴上方时 ,·平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三 角形，点C到x轴的距离为3， 图2 .点E到x轴的距离为3， 令y=3则+号x-3=3,解得一-3士四 2 E,(3,④，3)，E(3+①，3) 2 2 综上，在抛物线上存在点E,使以A,C,D,E为顶点且以 AC为一边的四边形是平行四边形，点E的坐标为 (3-3别(32团)(3. 2 5.C 6.解：(1)设OB=t,则OA=21,则点A,B的坐标分别为(21， 0),(-t,0), 则号-号2红-0.解得1=1： 故点A,B的坐标分别为(2,0)，（一1,0）， 则抛物线的表达式为y=a(x-2)(x十1)=ax2十bx十2， 解得a=-1,b=1, 故抛物线的表达式为y=一x2十x十2. (2)对于y=一x2十x十2，令x=0,则y=2,故点C(0,2), 由点A,C的坐标得直线AC的表达式为y=一x十2. 点D的横坐标为m, ∴.点D(m,-m2+m十2)，点F(m,-m+2), 则DF=-m2十m十2-(-m+2)=-m2十2m= -(m-1)2+1, :-1<0,0<m<2,故DF有最大值，DF最大时，m=1, .点D(1,2) 3 (3)存在，理由： 点D(m,-m2+m+2)(2>m>0), 则OE=m,DE=-m2+m十2， 以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似， 则8-8器-即=或 DE =2, 即mm十2名或m2=2。 m 解得m=1+3或m=1-3(舍去)或m=1或-2 4 4 (舍去)， 经检验，m=1或m=1十√33是方程的解， 4 1+√/33 故m=1或m= 4 7.解：(1)由题意，得y=x(40-2x)=-2x2十40x, 9040-2x≤2595<r<20 ∴y与r之间的函数关系式为y=一2x+0r(5<r< 20). (2)由(1)知，y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200, 15 “-2<0,7≤x<20 ∴.当x=10时，y有最大值，最大值为200. 故当x=10时，小花园的面积最大，最大面积是200m. 8解：(1)如图，作BE⊥y轴于点E,则∠ABE=30°， 因为OA=65m,AB=100m, 所以A0,65,AE-2AB=50m,BE=AB=505m, 所以OE=OA-AE=65-50=15(m), 所以B(503,15). 把A(0,65),B(503,15)代人y= 60x2+bx+c, 1c=65, 得 60×(503)2+5036+c=15 解6-。 c=65, 即6的值是 2c的值是65. y↑ 助滑道 着陆坡 E B 30停止区 0 C D (2)①设x关于t的函数表达式是x=kt十m(k≠0)， 因为点(0,0)，(5,50√5)在该函数图象上， 所以/m=0, 、解得k=105, 5k+m=50√3， m=0, 即x关于t的函数表达式是x=10W3t. ②设直线AB的表达式为y=px十g(p≠0)， 因为点A(0,65),点B(50W3,15)在该直线上， 所以/9=65， 解得p=、3 3 503p+g=15 g=65, 0 即直线AB的表达式为y= 3x+65, 则五=（ 60x2+3 1 2x+65白-3x+65=白 5W3 6, 53 6 所以当x= =253时，h取得最大值，此时 2×（-60 因为0<25√3<50W3, 所以当x=25√3时，h取得最值，符合题意， 将x=25√3代入x=10√3t,得25√3=10W3t, 解得t=2.5, 即当t为2.5s时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最 大值是5m 9.解：(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=一2，顶 点坐标为（一2,2），将点P(a,6)代入抛物线表达式， 得6=子（a十2)+2，解得a=-6或2（含去）， 即点P的坐标为（一6,6）. 故抛物线的对称轴为直线x=一2，顶点坐标为（一2,2）， a=-6. (2)对于抛物线C:y=4(x十2)+2， 当x=0时，y=3,即点A(0,3). 抛物线C:y=2-x-2可整理为y=(x-2)-3. 1 。1 相当于把抛物线C:y=4(x+2)2+2,先向右平移4个单 位长度，再向下平移5个单位长度，所以m=4,n=一5. 则数对[m,n]的值为[4，-5]. 抛物线C:y-子-t-2与y轴交于点A则点A0,-2》. 则△AAP的面积=专×AM·xr=号×5×6=15，即 △AA'P的面积为15. 章末复习 1.x>1且x≠22.①③④3.B4.D5.A6.C 7.-1-√38.D 9.解：(1)对于y=一x十5，令y=0,则x=5,故点B的坐标 为(5,0)， 将点A的坐标代入y=-x十5，得m=-2+5=3,故点A 的坐标为(2,3)， 把A(2,3),B(5,0)代入y=-x2+bx十c, 得一4+26十c=3:解得6=6， -25+5b+c=0, lc=-5, ∴.y=-x2+6x-5. (2)假设存在符合条件的点P,并设点P的横坐标为， 则E(n,-n2+61-5),P(n,5-n), .∴.PE=-n2+6n-5-(5-n)=-n2+7n-10= -(n-3.5)2+2.25. 3 一1<0，∴PE有最大值 2<n<5,当n=3.5时，PE最长，PE长度的最大值为2.25， 此时点P的坐标为(3.5,1.5). 10.B11.11 12.解：(1)设框架的长AD=xcm,则宽AB=60,2 3 cm, 根据题意，得x.60,2红=14，解得x=12或1=18. 将x=12或x=18代入602z 3 得AB=12cm或8cm. 所以AB的长为12cm或8cm. (2)设框架的长AD为xcm, 则宽AB为0之m 所以S=x.60-2x 3 即s=号+20x=号-15r+150, 因为一号<0，所以要使框架的面积最大则上=15，此时 AB=10,最大面积为150cm2. 答案：150 13.解：(1)根据题意，得w=(x一8)(24-x)-60=-x2+ 32x-252. (2)①因为该产品第一年利润为4万元， 所以4=-x2+32x一252，解得x=16. 故该产品第一年的售价是16元. ②因为第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超 过13万件， 所以s6. 解得11x16. 24一x13, 设第二年利润是'万元， =(x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148. 因为抛物线开口向下，对称轴为直线x=15,又11≤ x16,所以当x=11时，'有最小值，最小值为(11一 6)×(24-11)-4=61(万元). 故第二年的利润最少为61万元. 14.解：(1)因为二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点 B(0,一4)，所以c=一4. 因为抛物线的对称轴为直线x=1,经过点A(一2,0)， 所以 2a =1 解得 a=2 4a-2b-4=0, 6=-1, 1 所以抛物线的表达式为y=2x2-x一4 (2)①设直线AB的表达式为y=kx十n(k≠0)， 把A(-2,0),B(0,-4)代入， 得厂2十n=0 n=-4, 解得2. (n=-4,. 所以直线AB的表达式为y=一2x一4. 因为点A,C关于直线x=1对称，所以C(4,0). 设N(m,0)(0m<4),因为MN⊥x轴， 所以M(m,一2m-4),所以MN=2m+4, 因为MN=3NC,NC=4-m,所以2m+4=3(4-m), 所以m=号所以点M停-）。