微专题18 证明圆的切线的两种常用思路-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

,四边形ABCD是正方形， .∠B=90. .ON-OM, -0 ,.四边形MBNO是正方形 B :⊙O是边长为6的正方形ABCD的内 切圆， ∴BM=BN=OM=0N=2AB=2×6=3. 由切线长定理，得EM=EP,PF=FN, ∴.△BEF的周长为BF十EF+BE=BF+PF十PE十 BE=BF+FN+EM+BE=BN+BM=3+3=6. 9.D【变式610.25π11.B 微专题十八证明圆的切线的两种常用思路 1.证明：(1)如图1，连接AD 图1 'AB是⊙O的直径，AB⊥CD, .BC=BD,∴∠CAB=∠BAD. :∠BOD=2∠BAD, ∴.∠BOD=2∠CAB,即∠BOD=2∠A. (2)如图2，连接O℃ 图2 ,F为AC的中点，DF⊥AC ∴.AD=CD,∴∠ADF=∠CDF. .BC=BD,∴∠CAB=∠DAB. :OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, ,.∠CDF=∠CAB ,OC=OD,∴.∠CDF=∠OCD, ∴.∠OCD=∠CAB. .BC=BC.∠CAB=∠CDE,∴∠CDE=∠OCD, ∠E=90°，∴.∠CDE+∠DCE=90°， .∠OCD+∠DCE=90°，即OC⊥CE OC为⊙O的半径， .直线CE为⊙O的切线！ 2.(1)证明：连接OD,如图. ,AD平分∠CAM交⊙O于点D, .∴.∠DAE=∠DAO. .OA=OD, .∠DAO=∠ADO, ∴.∠DAE=∠ADO, ∴.ODMN. .DE⊥MN, ∴.DE⊥OD. OD为⊙O的半径， .DE是⊙O的切线. (2)解：连接DC,:AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90° 而∠DAE=∠DAC, ,Rt△ADECORU△ACD, 福把即品把 AD 15 AD=35. 在Rt△ADE中，.'AE=3,AD=3√5， ∴.DE=√AD2-AE=6. 3.证明：连接O℃，如图. ⊙0的半径为3， ∴.OC=OB=3. 又BP=2, ∴.O0P=5. 在△OCP中， OC2+PC2=32+42=25, OP2=52=25, ∴.OC2+PC2=OP2 △OCP为直角三角形， .∠OCP=90°，即OC⊥PC. 又，OC是⊙O的半径， ∴.PC是⊙O的切线. 4.证明：(1)连接OD,如图. .AD//OC. '.∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC 又OA=OD, .∠DAO=∠ADO, ∴.∠COB=∠COD .DE=BE. (2)由(1)知∠DOE=∠BOE. 在△COD和△COB中， CO=CO, ∠DOC=∠BOC, OD=OB, ∴.△COD≌△COB(SAS), ∴.∠CDO=∠B 又，BC⊥AB, ∴.∠B=90°=∠CDO,即OD⊥CD. 又，OD是⊙O的半径，.CD是⊙O的切线 5.证明：如图，连接OE .OA=OE. ∴∠OAE=∠OEA, ∴.∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE. :∠CAB=2∠EAB, ∴.∠CAB=∠FOE. 又：∠AFE=∠ABC .∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE. .AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠AFE, .∠OEF=90°，即OE⊥EF. OE是⊙O的半径， .EF是⊙O的切线. 6.证明：连接OD,作OM⊥BC于点M,如图. AC=BC,O是AB的中点， 3 .∴.CO平分∠ACB,CO⊥AB :AC切⊙O于点D, .∴.OD⊥AC, .∴.OD=OM, ,∴.BC是⊙O的切线. 7.(1)证明：如图所示，过点O作OE⊥AB 于点E AD⊥BO, .∠D=90°， ∠BAD+∠ABD=90°， ∠AOD+∠OAD=90°. :∠AOD=∠BAD, .∴.∠ABD=∠OAD 又，BC为⊙O的切线 AC⊥BC, ∠BCO=∠D=90° .∠BOC=∠AOD, ∴.∠OBC=∠OAD=∠ABD 在△BOC和△BOE中， I∠OBC=∠OBE .{∠OCB=∠OEB, BO=BO, '.△BOC≌△BOE(AAS), ∴.OE=OC OE⊥AB, AB为⊙O的切线， (2)解：，∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA十∠BAC=90°， .∠EOA=∠ABC n∠ABC-=专C=6 ∴AC=BC·tan∠ABC=6X 3=8 根据勾股定理，可得 AB=BC2+AC=√62+82=10. 由(1)可知BE=BC=6, ∴.AE=AB-BE=10-6=4. an∠EOA=am∠ABC=号， .OE=3,即⊙O的半径是3. 根据勾股定理，得 OB=√BE2+OE=√62+32=3√5. ∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°， .∴.△ABDC∽△OBC, 8把即00 35 3 ∴.AD=25. 8 正多边形和圆 第1课时圆内接正多边形的画法 1.A2.D3.54.C5.A 6.解：如图. ①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形 0 7.解：作法：(1)如图所示，作AB,BC的 垂直平分线相交于点O,以点O为圆 心，OA的长为半径作⊙O,⊙O就是 正六边形的外接圆. (2)如图所示，以点O为圆心，点O到 AB的垂线段(OH)的长为半径作圆， 所作的圆就是正六边形的内切圆. 8.C9.2r3 10.(1)解：由题图1知∠AFC对ABC CF=AD,而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD十 DBC=ABC. .∠AFC=∠DAF.同理可证，其余各角都等于∠AFC, 故题图1中六边形各角相等. (2)证明：：∠A对BEG,∠B对CEA, 又.∠A=∠B,.CEA=BEG,∴.BC=AG 同理，BA=CD=EF=AG=BC=DE=FG, ..AB=BC=CD=ED=EF=FG=AG, .∴.各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形， (3)解：猜想：当边数是奇数时（或当边数是3,5,7,9，… 时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形；当边数为偶 数时（或当边数为4,6,8,10，…时），各内角相等的圆内接 多边形不一定是正多边形 第2课时正多边形的有关计算 1.B2.B3.A4.A【变式1C5.A6.144°7.10 8.2+29.C10.D11.B【变式】24°12.3：2 13.24°14.215.8√316.2 9弧长及扇形的面积 1.B2B3x【变式D4B【变式B5.166元 716-领&（号-5）m94-元10空x-12 山. 12.B13.A 14.(1)证明：如图1，连接OC. :点C是AD的中点， ∴.AC=DC, ∠ABC=∠EBC. .OB=OC. ∴.∠ABC=∠OCB, 图1 ∴.∠EBC=∠OCB, ∴.OCBE. .'BE⊥CE .半径OC⊥CE, ∴.CE是⊙O的切线 (2)解：如图2，连接AC AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∴.∠ACB=∠CEB=90°. :∠ABC=∠EBC, 图2 ∴.△ACB∽△CEB, 0距成 .BC=2W3. (3)解：如图3，连接OD,CD. AB=4,练测考九年级数学全一册L小 微专题十八证明圆的切线的两种常用思路 思路一知半径证垂直 角度2利用平行证垂直 在求证圆的切线时，若直线与圆有公共点，则 2.(济宁邹城市一模)如图，直线MN交⊙O于 先连接圆心和公共点，再证明该半径垂直于直 A,B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交 线，即“连半径，证垂直” ⊙O于D,过D作DE⊥MN于E. 角度1借助角的转化证垂直 (1)求证：DE是⊙O的切线： 1.(北京中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是 (2)若直径AC=15cm,AE=3cm,求DE ⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD 的长 (1)求证：∠BOD=2∠A; (2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的 延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F 为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的 MEA B N 切线 0 老师讲道：“母亲生男孩还是生女孩，是由父亲的强弱决定的，父亲身体强壮，母亲就生男孩；父亲身 56体衰弱，母亲就生女孩.”教授的话音刚落，伽利略就举手道：“老师，我有疑间.”（待续） 第五章圆 角度3利用勾股定理的逆定理证垂直 角度5利用内角和证垂直 3.如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的 5.(辽宁中考节选)如图，AB是⊙O的直径，点 延长线上，⊙O的半径为3，PB=2,PC=4. C,E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB,点F在线 求证：PC是⊙O的切线. 段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC. 求证：EF与⊙O相切. 角度4利用全等证垂直 4.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B, 连接OC交⊙O于点E,弦ADOC,求证： (1)DE=BE; (2)CD是⊙O的切线， 比罗教授不高兴地说：“你提的问题太多了！你是个学生，上课时应该认真听老师讲，多记笔记，不要 胡思乱想，动不动就提问题，影响同学们学习！”（待续） 157 练测考九年级数学全一册LJ 思路二作垂直证半径 角度2利用全等三角形证半径 在求证圆的切线时，若直线与圆的公共点未明 7.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O 确，则常过圆心先作直线的垂线段，再证明垂 为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C, 线段与半径相等，即“作垂直，证半径” 过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D, 角度1利用角平分线证半径 且∠AOD=∠BAD 6.(恩施州中考节选)如图，△ABC是等腰直角 (1)求证：AB为⊙O的切线； 三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点， 连接CO交⊙O于点E,⊙O与AC相切于 (2若BC=6,am∠ABC=号，求AD的长。 点D.求证：BC是⊙O的切线 0 D “这不是胡思乱想，也不是动不动就提问题.我的邻居，男的身体非常强壮，可他的妻子一连生了5个 158女儿.这与老师讲的正好相反，这该怎么解释？”（待续）