第5章 9 弧长及扇形的面积-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

9 弧长及 (教材P5 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>>[难度等级基础题 知识点一：弧长公式及应用 1.将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的 方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪 开，则虚线①所对的圆弧长为( ·一金 B牙 C. D.π 2.生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的 莱洛三角形（如图①），是由三段相等的圆弧 构成的，虽然不是圆，但是做成滚轮同样不会 颠簸，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离 都为等边三角形的边长.如图②，已知△ABC 的中心O到三个顶点的距离均为2√3，则这 个莱落三角形的周长为( ) 0 B ① ② A.12π B.6π C.4π D.2π 3.(济宁学院附中模拟)如图，已知AB是⊙O 的一条直径，延长AB至点C,使AC=3BC, CD与⊙O相切于点D.若CD=√3，则劣弧 AD的长为 知识点二：扇形面积公式及应用 4.(济南中考)如图，正五边形ABCDE的边长 为2，以A为圆心，AB为半径作弧BE,则阴 第五章圆☑ 扇形的面积 3~55练习) 影部分的面积为 (结果保留π) B 5.[一题多辨](1)如图①，在半径为6的⊙O 中，点A,B,C都在⊙O上，四边形OABC是 平行四边形，则图中阴影部分的面积 为() A.6π B.3v3π C.2√3π D.2x 0 ① ② (2)如图②，扇形纸片AOB的半径为2，沿 AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的 点C处，则图中阴影部分的面积为 知识点三：求弓形的面积 6.(遂宁中考)如图，△ABC内接于⊙O,若∠A= 45°，⊙O的半径为4，则阴影部分的面积为 () A.4π-8 B.2π C.4π D.8π-8 第6题图 第7题图 7.[几何直观]如图，在10×10的正方形网格中 有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙 两部分.S甲表示甲的面积，则S甲= 做神龙题得好成绩(55 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 知识点四：求阴影部分的面积 8.（包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2√2，以BC为直径作半圆，交 AB于点D,则阴影部分的面积是() A.π-1 B.4-πC.√2 D.2 9.如图，△OAB中，OA=OB=4,∠A=30°， AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面 积为 .(结果保留π) 30 B 第9题图 第10题图 10.如图，在□ABCD中，AD=2,AB=4,∠A= 30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交 AB于点E,连接CE,则图中阴影部分的面 积是 (结果保留π) 即能力提升 >>>>>>>>>> 难度等级中等题 11.[学科融合]如图，用一个半径为10cm的定 滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了 36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑 动，则重物上升了( 视频讲解 重物 A37cm及2xcm C.cm D.3x cm 12.(烟台中考)如图，AB是⊙O的直径，直线 DE与⊙O相切于点C,过A,B分别作 AD⊥DE,BE⊥DE,垂足为点D,E,连接 AC,BC.若AD=√3，CE=3,则AC的长 56做神龙题得好成绩 为( A26 3 B 3π C 2√ 2π D. 3π D 第12题图 第13题图 13.[空间观念]（黔西南州中考）如图，在△ABC 中，CA=CB,∠ACB=90°，AB=2,点D为 AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90° 的扇形DEF,点C恰在弧EF上，则图中阴 影部分的面积为 即培优创新 >>>》>》>>>难度等级综合题 14.(黔东南州中考)如图，AB是⊙O的直径，点 C是⊙O上一点（与点A,B不重合），过点 C作直线PQ,使得∠ACQ=∠ABC. (1)求证：直线PQ是⊙O的切线： (2)过点A作AD⊥PQ于点D,交⊙O于点 E,若⊙0的半径为2，sm∠DAC-,求图 中阴影部分的面积.9.C[解析]由折叠可得∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE= .tan∠MFG=tan∠MEG-EC=2 DG 1 90°，EF=ED.,AB和AE都是⊙O的切线，点G,H分 H 别是切点，∴.AG=AH,∠GAF=∠HAF,∴.∠GAF= ∠HAF=∠DAE=30°，∠BAE=2∠DAE,故A正确. 如图，分别延长EF,AB交于点N.OF⊥EF,OF是⊙O 的半径，∴.EF是⊙O的切线，∴.HE=EF,NF=NG, ∴.△ANE是等边三角形，.FG∥HE,FG=HE,∠AEF 12.2√613.3或43 =60°，.四边形EFGH是平行四边形，∠FEC=60°.又 14.(1)证明：如图，连接OC,OF,则OF=OD.四边形 :HE=EF,.四边形EFGH是菱形，故B正确.AG= ABCD是正方形，.∠ADC=∠B=90°，BC=DC.,将 AH,∠GAF=∠HAF,∴.GH⊥AO,故D正确.在 正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F Rt△EFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，∴.∠EFC=30°， 重合，∴∠B=∠EFC=90°，BE=EF,BC=FC,∴.CF= .EF=2CE,.DE=2CE.∠AED=60°，∴.AD= DC..OC=OC,.△OFC≌△ODC(SSS),∴.∠OFC= √3DE,∴.AD=2√3CE,故C错误 ∠ADC=90°，∴.CF与⊙O相切.(2)解：由(1)知 D ∠EFC+∠OFC=180°，.O,F,E三点共线.四边形 ABCD是正方形，∴.AD=AB=2.设BE=x,则AE= AB-x=2-x,OE=1+EF=1+x.AO2+AE2= 0e1+2-x=1+z,x=号AB=2-号 4 10.(1)证明：如图，连接AF.四边形ABCD为菱形， .∠ACF=∠ACE.在△ACF与△ACE中， CF-CE ∠ACF=∠ACE,.△ACF≌△ACE(SAS),∴.∠AFC AC-AC =∠AEC.,AB是⊙O的直径，∴.∠AFB=∠AFC= 90°，.∠AEC=90°.AB∥DC,∴.∠BAE+∠AEC= 9弧长及扇形的面积 180°，∠BAE=90°，.OA⊥AE.OA是⊙O的半径， 1A2B3 4 ∴AE是⊙O的切线.(2)解：如图，连接BP.,AB是 5.(1)A ⊙O的直径，.∠APB=90°.，AB=CB,AP=√3， (2)号x-256A ∴AC=2AP=2√5.设⊙0的半径为R.,AC2-CF2= F8D945-誓10.3-子x AF2,AB2-BF2=AF2,.(2V5)2-(2R-1)2=(2R)2 -1R=号（负值合去00的半径为受 I.B 12.D 3. 14.(1)证明：连接OC.,AB是⊙O的直径，∠ACB=90° ,OA=OC,.∠CAB=∠ACO.:∠ACQ=∠ABC, .∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即 OC⊥PQ,∴.直线PQ是⊙O的切线.(2)解：连接OE. C B :sin∠DAC=号，AD1PQ,∠DAC=30,∠ACD= 11.B[解析]如图，连接EG.E,G是切点，∴.EG过点O. 60°，∴∠AC0=30°，∴∠OAC=30°，∴∠EA0=60°.又 :O0是正方形ABCD的内切圆，DG=2CD,BG= ,OA=OE,∴.△AEO为等边三角形，∴∠AOE=60°， BC=CD.根据圆周角的性质可得∠MPFG=∠MEG, S阴影=S泉形A0E一S△Aam=S期形A0E一2OA·OE·sin60° —0×公-号×2×2X9-要-5，…图中阴影部分 360 3 圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，则2x一5，解得 的面积为 n=90,展开图的圆心角为90°，蚂蚁所走的最短路线 -3 长为√42+4=42. 10 圆锥的侧面积 14.D[解析]如图，过点B作BP⊥AC于点P,连接CE 1D2号 ,正六边形的每个内角都是120°，∴.AC=2AP= 2 ABsin60°=12√3.'AC=AE=CE,∴.△ACE是等边三 3.B[解析]设圆锥的底面半径为rcm,则2πr=2π，解得r 角形，∠CAE=60°，.弧CE的圆心角为60°，∴.弧长= =1.设圆锥的母线长为1cm,则120·L=2元，解得1= 180 180×π×123=43元，∴圆锥的底面半径r=4y3x 60 2x 3,所以圆锥的高=√32-1=2√2(cm). 2√3，.圆锥的高=√AC2一r2=2√105， 4.5√155.A 6.解：由三视图可知该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是 4,母线长为√(4√2)2十22=6.设这个几何体侧面展开图 的圆心角的度数为，则”动-红，解得=120，∴这个 几何体侧面展开图的圆心角的度数为120°. D 7.D8.2049.12元 15.解：如图，圆锥底面半径是6cm,高是6cm,△ABC 10.解：由题意得该直角三角形的斜边长为√32十4？= 是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即 5(cm).当以3cm的边所在直线为轴旋转一周时，其所得 CD=DE.由已知得，液体的体积为π×32X7= 1 到的几何体的表面积=×4华+号×5X2x×4= 63π(cm),圆锥的体积为3x×62×6=72x(cm),计 时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为72π一63π= 36π(cm2);当以4cm的边所在直线为轴旋转一周时，其 9π(cm3).设计时结束后，沙漏中液体的高度AD为xcm, 所得到的几何体的表面积=x×3+号×5×2m×3= 则CD=DE=(6-x)cm,∴寸x·(6-x).(6-x)= 24π(cm2);当以5cm的边所在直线为轴旋转一周时，其 9π，.(6一x)3=27,解得x=3,.计时结束后，沙漏中液 所得到的几何体为共底面的两个圆锥，易得其底面圆的 体的高度为3cm. 半径为号cm,所以此几何体的表面积-号×2x×号×8 +号×2x×号×4-(em)综上所述，以该三角形的 边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 36rem或2cm或84xem. 11.B 16.解：如图，连接OD交AC于点M.由折叠的知识，得OM 12 =合0D=合0A,∠0MA=90,i∠0AM=30 1 [解析]连接OA,作OD⊥AB于点D.在Rt△OAD ∠AOM=60.BD:AD=1:3,∠AOB=80°.设 中，0A=-2,∠0AD=7∠BAC=30,∴AD=0A· 圆维的底面半径为r,母线长为1，则贺=2，r:1 cos30°=√3，则AB=2AD=2√3，∴.扇形的弧长是 =2:9. 60·πX2√32√3 0 180 3元设底面圆的半径为r,则2x×r= 3,解得r一3 2w3 3 13.B[解析]底面圆的半径为1，.底面周长等于2π.设 同行学案 学练测·19·