微专题16 垂径定理的几种常见应用类型-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

第五章圆 微专题十六 垂径定理的几种常见应用类型 类型一求弦长及弦心距 1.(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD 交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC= B 30°，则CD的长为 ( A.√/15 B.25 第4题图 第5题图 C.215 D.8 5.(淄博周村区月考)一块圆形玻璃镜面碎成 了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长 20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径 P 0 是 () A.24厘米 B.26厘米 第1题图 变式图 C.28厘米 D.30厘米 【变式】如图，在半径为10的⊙O中，AB,CD 6.如图所示，小区内有个圆形花 是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB= 坛O,点C在弦AB上，AC= CD=16,则OP的长为 11,BC=21,OC=13,则这个 花坛的面积为 .(结 A.6 B.62C.8 D.8√2 果保留π) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 7.(武汉中考)如图，OA,OB,OC都是⊙O的 3,BC=4,以点C为圆心，CA为半径的圆与 半径，∠ACB=2∠BAC AB交于点D,则AD的长为 (1)求证：∠AOB=2∠BOC: 4 6.6 C. 5 0.2 (2)若AB=4,BC=5,求⊙O的半径. 第2题图 第3题图 3.(永州中考)如图，⊙O是一个盛有水的容器 的横截面，⊙O的半径为10cm,水的最深处 到水面AB的距离为4cm,则水面AB的宽 度为 cm. 类型二求半径（直径） 4.(凉山州中考)如图，在⊙O中，OA⊥BC, ∠ADB=30°，BC=23,则OC=( ) A.1 B.2 C.23 D.4 祖冲之与圆周率祖冲之是我国南北朝时期河北省涞水县人.他从小就阅读了许多天文、数学方面 的书籍，勤奋好学，刻苦实践，最终成为了我国古代杰出的数学家、天文学家.（待续） 137 练测考九年级数学全一册L小 类型三求拱高（拱桥、隧道） 12.如图，AB,CD是半径为5的⊙O的两条 8.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为 弦，AB=8,CD=6,MN是⊙O的直径， 250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂 AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为 直相连，其正下方的路面AB的长度为300m, EF上的任意一点，求PA十PC的最小值. 那么这些钢索中最长的一根为 ) AB路面 钢索桥拱 A.50m B.45m C.40m D.60m 9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点 P表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工 作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心， 5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被 水面截得的弦AB长8米，则筒车工作时，盛 水桶在水面以下的最大深度为 米 0 水面 图1 图2 类型四利用垂径定理解决最值问题 10.如图，AB是圆O的直径，AB=8,点M在 圆O上，∠MOB=60°，N是MB的中点，P 为AB上一动点，则PM十PN的最小值是 M B 第10题图 第11题图 11.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点， 且AB⊥OC,P为圆上一动点，M为AP的 中点，连接CM.若⊙O的半径为2，则CM 长的最大值是 祖冲之在数学上的成就，是关于圆周率的计算.秦汉以前，人们以“径一周三”作为圆周率，也就是“古 138 率”.后来人们发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一.（待续）微专题十六垂径定理的几种常见应用类型 1.C【变式】B2.C3.164.B5.B6.400π 1 7.I)证明：“∠ACB=2∠AOB, 1 ∠BAC=2∠BOC,∠ACB=2∠BAC, .∠AOB=2∠BOC (2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB. ..AE=BE. ,∠AOB=2∠BOC, ∠DOB=)∠AOB, ∴.∠DOB=∠BOC. ∴.BD=BC. D .AB=4,BC=5,..BE=2,DB=5. 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， ∴.DE=√BD2-BE2=1. 在Rt△BOE中，∠OEB=90°， .OB2=(OB-1)2+2, 解得OB=号，即⊙0的半径是 2 8.A9.210.4211.√5+1 12.解：如图，连接BC交MN于点P,此时 PA十PC的值最小，连接OB,OC,作 CH⊥AB于点H. M ,AB=8,CD=6,MN是⊙O的直径， AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F, B ∴BE=2AB=4,CF=2CD=3. ∴.OE=√OB2-BE=√52-4=3. OF=√OC2-CF2=√52-32=4， ∴.CH=OE+OF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7. 在Rt△BCH中，根据勾股定理，得 BC=√BH+CH=√72+72=7√2， 由圆的对称性可知PA=PB, ..PA+PC=PB+PC=BC=72, 即PA十PC的最小值为72. 5确定圆的条件 第1课时三角形的外接圆 1.C2.A3.可以4.C5.D6.D7.B8.1409.42 10.解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E,连接BE 则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°. ⊙O的半径为2， .CE=4, C-CE-2 0. CD⊥AB,∠CBA=45°， :CD=2BC=2. 2 1B2B1a5279 14.9+9215.6 3 16.(1)证明：如图，连接D℃， 则∠BDC=∠BAC=45°. BD⊥BC, .∴.∠BCD=90°-∠BDC=45°， ∴.∠BCD=∠BDC, ∴.BD=BC. (2)解：，∠DBC=90°， .CD为⊙O的直径， ∴.CD=2r=6, ÷BC=CD·sim∠BDC=6x 2 =3√2， .EC=√BE2+BC=√62+(32)=3N6. BF⊥AC, .∠BMC=∠EBC=90. :∠BCM=∠ECB, .△BCM∽△ECB, 瓷器器 .BM-BC-EB362. EC 3√6 CM-DC:/6. EC 36 连接CF,则∠F=∠BDC=45°，∴∠MCF=45°， ∴.MF=MC=√6， .BF=BM+MF=2W3+√6. 第2课时圆内接四边形 1.C2.A【变式B3.A4.211°5.A6.D7.70 8.C9.B10.40°11.y=2-x2 12.(1)证明：如图1，连接AC. .BC=CD, ∴BC=CD .∴.∠BAC=∠EAC CD=CE, 图1 ∴∠E=∠CDE,BC=CE. :∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角， ∴∠B=∠CDE, ∠B=∠E. I∠B=∠E, 在△ABC与△AEC中，{∠BAC=∠EAC, AC=AC, .△ABC≌△AEC(AAS), ∴.AB=AE. (2)解：如图2，连接BD. :∠BAD=90°， BD是⊙O的直径， ∠BCD=90°. 由(1)可得AB=AE. .AD=DE=2, 图2 ∴.AE=AB=4. 在Rt△ABD中， BD=√AB2+AD=2√5. 在Rt△BCD中，CD=BC=,BD三√10， 8