微专题6 求三角函数值的几种常见类型-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

'S△ABc=48, 1 2BC·AD=48.2×8x×3x=48, .x2=4,∴.x=士2（负值舍去）， ,∴.x=2,∴.AB=AC=10,BC=16, ∴.△ABC的周长为36. 微专题六求三角函数值的几种常见类型 1.C2.2+√33.C4.A 5.解：过点C作CH⊥AF,交AF的延B 长线于点H,如图 :EF⊥AF,sin∠FAC=3' 1 在△A中mFC-E 设EF=k,则AE=3k, 由勾股定理，得AF=√AE2一EFz=2√2k, EF⊥AF,CH⊥AF, ..EF//CH. .AF:FH=AE:EC=2:1,∠CFE=∠HCF, ,.2√2k:FH=2:1, .FH=√2k,∴AH=AF+FH=3√2k, .EFCH,∴.△AEF∽△ACH, ..AF AH=EF CH,..22k:32k=k:CH, .CH=1.5k, FH√2k_2√2 在R△CFH中，an∠HCF=C7-1.5k-3, 2√2 .∴.tan∠CFE=tan∠HCF= 3 6B7B819或对 10.解：如图，过点D作DE⊥AB,交AB于点E B 在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=45°，AC=5. .∠DAC=45°，AC=DC=5,..AD=5√2. 在Rt△ABC中，∠C=90°， “mB-品瓷是脚石-高 解得AB=13.根据勾股定理，得BC=12, ∴.BD=BC-DC=12-5=7. 在Rt△BDE中，∠BED=90,sinB=i3, 5 號高DE-落 在Rt△AED中，根据勾股定理， 得A=AD-D-器 35 ∴.tan∠BAD ED13_7 AE8517 13 A2号3B14号 15.解：(1)，cos(a十3)=cos acos B-sin asin B, .cos75°=cos(30°+45)=cos30°cos45°-sin30°sin45°= 32_1×2_6-② 2 222 4 1 22 (2):sna=3sina十cosa=1a为锐角，解得cosa 3 '.sin 2a-sin(a+a)-sin acos a+cos asin a-2Xx 22_42 39 5三角函数的应用 第1课时仰角、俯角问题 1.D2.C3.C4.C5.(3003-300) 6.解：如图，过点B作BH⊥AE于点H, 坡度i为1：0.75， ∴.设BH=4x,AH=3x, ∴.AB=/AH2+BH2=5.x=10, x=2,AH=6,BH=8. 过点B作BF⊥CE于点F, 则EF=BH=8,BF=EH, 设DF=a, .a=2635'. BF= am2535*05=2a.AE=6+2a DF 坡度i为1：0.75， ∴.CE:AE=(20+a+8):(6+2a)=1:0.75, ∴.a=12,∴.DF=12, ∴.DE=DF+EF=12+8=20. 故堤坝高为8m,山高DE为20m. 7.解：如图所示 过点P作PH⊥AB于点H,过点C作CQ⊥PH于点Q, 而CB⊥AB,则四边形CQHB是矩形，.QH=BC, BH=CQ, 由题意可得AP=80,∠PAH=60°，∠PCQ=30°，AB= 70..PH=APsin 6080x=403AH=AP. 2 c0s60°=40， ∴.CQ=BH=70-40=30,∴.PQ=CQ·tan30°=10W3, ∴.BC=QH=403-10√3=303. 故大楼的高度BC为30W3米 8.169.423第二章直角三角形的边角关系 微专题六求三角函数值的几种常见类型 类型一利用定义法 【方法点睛】直接根据定义求三角函数值，首先 3E为AC上-点，且AE:BC=2:1 求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计 EF⊥AF,求tan∠CFE. 算即可. 1.(烟台芝罘区期中)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=2,BC=1,则sinB的值为 ( 1 5 B.2 2w5 C. 5 D.2 类型三构造直角法 B 第1题图 第2题图 【方法点睛】若要求的三角函数值的角不在直 2.如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=1,点D 角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直 是CB延长线上的一点，且BD=BA=2,连 角三角形解决。 6.(东营广饶县期中)如图，点 接AD,则tan∠DAC的值为 A,B,C均在小正方形的顶 类型二设参数法 点上，且每个小正方形的边 【方法点睛】若已知两边的比值或一个三角函 长均为1，则cos∠BAC的值为 数值，而不能直接求出三角函数相应边的长， 则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角 B号 C.1 D.2 函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它 7.(泰安东平县期中)如图，在由小正方形组成 们的比值，即可得出三角函数值. 的网格中，小正方形的边长均为1，点A,B, 3.(威海荣成期中)已知∠A十∠B=90°，且 O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正 easA=子则amB的值为 ) ( 弦值是 ( 3/10 B.6 3 c 4 A. 10 B.10 D. 10 0.2 3 4.(泰安新泰月考)如图，在矩 D 形ABCD中，点E是边BC 的中点，AE⊥BD,垂足为F, 则tan∠BDE的值是( ) A号 B4 D② 3 第7题图 第8题图 8.(淄博周村区期中)如图，在网格中，每个小 5.(烟台蓬莱区期中)如图，在Rt△ABC中， 正方形边长均为1，AB与CD相交于点P, ∠BAC=90°，点F在边BC上且sin∠FAC 则tan∠CPB的值为 他对天资聪颖又爱动脑子的女儿非常喜爱，想方设法帮助她一步一步踏入知识的王国，希望她长大 以后也能成为一位受人尊敬的学者.（待续) 39 练测考九年级数学全一册L小 9.（东营广饶县期末)若一等腰三角形的两边 2一3.类比这种方法，请你计算tan22.5的值 长分别为4cm和6cm,则其底角的余弦值 为 () 为 1 10.（泰安宁阳县期末)如图，在Rt△ABC中， A.√2+1B.2-1C.2 D.2 ∠C=90,smB=5D在5边上，且 ∠ADC=45°，AC=5,求∠BAD的正切值. 30° B 第13题图 第14题图 14.如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3,AB= 5,∠A=a,易知ane=,题明的小强想 求tan2a的值，于是他在AB上取点D,使 得CD=AD,则tan2a的值为 类型四等角转化法 15.同学们，在我们进入高中以后，还将学到下 【方法点睛】若要求的角的三角函数值不容易 面三角函数公式： 求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直 sin(a-B)=sin a cos B-cos asin B, 接求转化后的角的三角函数值. sin(a+B)=sin acos B+cos asin B, 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是 cos(a-B)=cos acosβ+sin asinβ， 斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交 cos(a+B)=cos acos B-sin asin B. AC于点F.若BC=4,△AEF的面积为5， 例：sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30° 则sin∠CEF的值为 ( c0s45°sin30°= 6-√2 3 2√5 4 A.6 B. C. D. (1)试仿照例题，求出cos75°的值； 1 (2)若已知锐角a满足条件sina=3,求sin2a 的值. 第11题图 第12题图 12.(泰安肥城期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=5,BC=12,CD⊥AB 于点D,则cos∠ACD的值为 类型五在几何图形中求三角函数值 13.(泰安新泰期中)阅读理解：为计算tan15°的 三角函数值，我们可以构建Rt△ACB(如图)， 使得∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使 BD=AB,连接AD,可得到∠D=15°，所以 tan15°= AC 、1 2-3 CD2+3(2+3)(2-3) 10岁的希帕蒂亚已经显露出超人的才华.她用心攻读数学，对欧几里德的《几何原本》已经有了初步 40 的了解，尤其对各种各样的数学应用题最感兴趣.（待续）